với mọi j cố định. Định nghĩa ma trận chuyển vị của A, kí hiệu adj(A).

Ta có



Lấy giá trị



Chú ý rằng



. Ta có



. Do đó ta có



Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần

tử dòng j cột i của ma trận ban đầu.

Định lí. Với mọi ma trận A cấp n, ta có



Đặc biệt, nếu



, khi đó



Cho ma trận vuông cấp hai, ta có



điều này dẫn đến



Đây là công thức đã dùng ở trang trước.

Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính.



Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình:

Qui tắc Cramer.

Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả

nghịch. Ta có thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma

trận hể số khả nghịch.

Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận)

AX=B

trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn. Ta có:

Dịnh lí. Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch.

Trong trường hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer:



trong đó xi là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận Ai được xác định từ A

bằng cách thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B. Khi đó, ta có



với bi những phần tử của B.

Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là

nghịch, nghiệm duy nhất của hệ là tầm thường , đó là



, khi đó nếu A khả

. Do đó nếu ta ta tìm nghiệm



khác 0 của hệ, ma trận hệ số A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ

nếu



. Đây là kết quả quan trọng.



Ví dụ. Giải hệ phương tình tuyến tính.



Giải. Trước hết, chú ý rằng



điều này chỉ ra ma trận hệ số khả nghịch. Sử dụng công thức Cramer. Ta có



và nghiệm là



Chú ý rằng, dễ thấy z=0. Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và

dòng cuối). Ta cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước.

Chú ý. Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch.



Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu.

Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi. Ví dụ, vấn đề

này là quan trọng trong việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mô hình tăng trưởng dân

số và tính toán bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận). Các lĩnh vực khác

như vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị

riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng và tính toán của chúng. Trước khi cung cấp khái

niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này trong một ví dụ.



Ví dụ. Xét ma trận



Xét ba cột của ma trận



Ta có



Suy ra



Tiếp theo xét ma trận P có các cột là C1, C2, và C3,



Ta có det(P) = 84. Nên ma trận khả nghịch. Tính toán đơn giản



Tiếp theo tính P-1AP



ta có



Sử dụng ma trận tích, ta được



điều này chỉ ra A đồng dạng với một ma trận chéo. Đắc biệt, ta có



. Chú ý rằng không thể tìm A75 , một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A.



với



Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước

ma trận vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách

khác, làm thế nào để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma

trận chéo?

Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ. Vì vậy các cột ma trận C1, C2, và C3 là các

vectơ. Chúng ta có định nghĩa.

Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông. Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu

và chỉ nếu tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho



mỗi giá trị là giá trị riêng của A. Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá

trị riêng .

Chú ý. Vectơ riêng C phải khác 0 bởi vì ta có



với bất kì số



.



Ví dụ. Xét ma trận



Ta thấy rằng



trong đó



Dó đó C1 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 0. C2 là vectơ riêng của A tương

ứng với giá trị riêng -4 , C3 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 3.

Lệu có thể tìm được tất cả các giá trị riêng trên không. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về

điều này.



Tính các giá trị riêng

Cho ma trận vuông A có cấp n, số

sao cho



là giá trị riêng nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ C khác 0



Sử dụng tính chât của tích hai ma trận, ta thu được



Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số



Chúng ta cũng biết rằng hệ này có một nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận hệ số khả nghịch, tức

là



Bởi vì vectơ 0 là một nghiệm C không là vectơ 0, nên ta phải có



Ví dụ. Xét ma trận



Phương trình



tương đương với



tương đương với phương trình bậc hai



Giải phương trình này dẫn đến



Nói cách khác, ma trận A chỉ có hai giá trị riêng.

Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình



cho nghiệm là giá trị riêng của A. Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa

thức đặc trưng của A. Đó là hàm đa thức bậc n. Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n

nghiệm. Do đó ma trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng.

Ví dụ. Xét ma trận đường chéo



Đa thức đặc trưng của nó là



Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo.

Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý. Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường

chéo, bạn có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng.

Nhận xét. Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển

vị AT của nó bởi vì



Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó



đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình



Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A. Nên đa

thức đặc trưng của A có thể được viết lại như sau



Cho giá trị của ma trận

B = A2 - tr(A) A + det(A) I2.

Ta có



Ta dẫn đến



Nói cách khác, ta có



Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton . Nó đúng cho mọi ma trận vuông có

cấp tùy ý.



trong đó



là đa thức đặc trưng của A.



Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận.

Định lí. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu



là một giá trị riêng của A, thì:



1.

là giá trị riêng của Am, với

2.



Nếu A khả nghịch, thì



là giá trị riêng của A-1.



3.

A không khả nghịch nếu và chỉ nếu



là một giá trị riêng của A.



4.

Nếu



là một số tùy ý, thì



là một giá trị riêng của



.



5.

Nếu A và B là đồng dạng nhau, then they have thì chúng có cùng đa thức đặc trưng

(điều này đãn đến có cùng giá trị riêng).

Câu hỏi tự nhiên tiếp theo là tìm vectơ riêng. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về vấn đề tìm

vectơ riêng.



Tính vectơ riêng.

Co ma trận A vuông cấp n và

. Ta phải có



là một giá trị riêng của nó. X là vectơ riêng của A ứng với



Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là

. Bởi vì vectơ 0 alf một

nghiệm, hệ này có nghiệm. Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ

là phong phú. Trong phanà này ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme.

Nhận xét. Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn

, thì vectơ Y =

c X (cho mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình

. Nói cách khác, nếu ta biết

X là một vectơ riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng.



Chúng ta bắt đầu với một ví dụ.

Ví dụ. Xét ma trận



Trước hết ta tìm giá trị riêng của A. Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng



Suy ra



Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được



Sử dụng biến đổi đại số, ta có



dẫn đến các giá trị rieneg của A là 0, -4, và 3.

Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng.

1.

Trường hợp



: Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính



điều này có thể được viết lại bởi



Có nhiều cách để giải hệ phương trình này. Phương trình thứ ba là đồng nhất với

phương trình đầu . Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn

đến 13x + z = 0. Nên hệ này tương đương với



Do đó vectơ X được cho bởi



Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi



trong đó c là một số tùy ý.

2.

Trường hợp



: Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ



điều này có thể được viết lại



Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải. Tước hết ta xét ma trận

bổ sung



, đó là



Ta sử dụng phép biến đỏi trên dòng để nhận được ma trận chéo. Chuyển đổi các dòng

cho nhau ta được