c. Giải thích hiệu ứng Zeeman thường

Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Việc tách các vạch phổ là một bằng chứng về hiện tượng lượng tử hoá momen động

lượng quỹ đạo bởi vì nếu momen động lượng quỹ đạo không bị lượng tử hoá thì hình

chiếu của nó lên trục Oz sẽ nhận giá trị bất kì.

3.9. Thí nghiêm Stern-Gerlach

a. Thí nghiệm Stern-Gerlach.

Năm 1921 hai ông Stern và Gerlach tiến hành một thí nghiệm nhằm khảo sát tác

dụng của từ trường B phụ thuộc tọa độ lên chuyển động của nguyên tử có mômen

động lượng quỹ đạo tổng cộng của các electron bằng không (L=0). Hai ông cho

phóng một chùm nguyên tử bạc trung hoà đi qua một khe chuẩn trực tới màn chắn

là một phim ảnh. Trên phim ghi lai một vết của chùm nguyên tử bạc. Khi cho chùm

nguyên tử bạc đi qua một từ trường không đều trước khi tới màn chắn thì ảnh trên

phim tách thành hai vết đối xứng với vết cũ.(xem hình 4.6). Sự tách một vết thành

hai vết như vậy là rất khó hiểu bởi vì các nguyên tử bạc đã được xử lí để cho

momen động lượng của nguyên tử bằng không, tức là nguyên tử bạc có momen từ

quĩ đạo bằng không.



Hình 3.5 Thí nghiệm Stern-Gerlach

b. Giải thích.

Hiện tượng chùm nguyên tử bạc bị tách ra trong từ trường không đều chỉ có thể

do lực từ tác dụng lên một momen từ có trong nguyên tử đó. Kí hiệu momen từ

r



đó là μ s để khỏi lẫn với mômen từ quĩ đạo μ (mà ở trên đã nói là bằng không ở

r



nguyên tử Ag). Tốc độ biến đổi của từ trường B theo phương Oz (vuông góc với



49



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



vết trên phim) là



r

dB

. Khi đó lực từ trường ngoài tác dụng lên mômen từ μ s theo

dz



phương Oz bằng:

dB

dz

r

r

trong đó θ là góc giữa μ s và B .

Fz = μ s cosθ



(3.35)



Như vậy do lực F tác dụng mà các nguyên tử bạc bị lệch đi. Một điều cần nói

r



nữa là nếu như các mômen từ μ s của tất cả các nguyên tử bạc có cùng một hướng

thì góc θ là như nhau với mọi nguyên tử và ta chỉ có một vết lệch trên phim. Tuy

nhiên thực nghiệm cho ta hai vết đối xứng nhau qua vết cũ. Điều đó chứng tỏ

r



vectơ mômen từ μ s của các nguyên tử bạc có hai hướng ngược nhau, do đó có

những nguyên tử bị làm lệch lên trên và có những nguyên tử bị lệch xuống dưới

tạo thành hai vết.

Nhưng điều cần bàn là nguồn gốc mômen từ ta nói đến là gì ? Tại sao mômen từ

lại có hai hướng ngược nhau như vậy? Rõ ràng là mômen từ này không phải là

mômen từ quỹ đạo như đã nói ở trên. Chính Stern và Gerlach cũng không giải

thích được điều này, vì lúc đó spin chưa được biết đến.

3.10. Spin - mômen động lượng riêng của electron. Mômen từ riêng.

Như đã nói ở 3.6, kết quả của việc giải phương trình Schrödinger chỉ cho phép

giải thích được trạng thái với 3 số lượng tử n, l và m, còn hiện tượng cấu trúc tinh

vi của vạch phổ Hidro vẫn là một câu hỏi. Thí nghiệm Stern-Gelach và hiệu ứng

Zeeman dị thường cũng cần một điều giải thích mới.



Hình 3.6



Năm 1925, S.A.Gousmith và G.E. Uhlenbeck đề ra giả thiết là electron có một

momen động lượng riêng gọi là spin (ở tiếng Anh spin nghĩa là quay) do electron

quay quanh trục của nó giống như Trái Đất quay quanh trục Bắc - Nam. Do

r



electron có spin nên nó có một momen từ riêng μ s . Chính nhờ có momen từ riêng

50



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



này mà từ trường ngoài đã tác dụng và làm lệch các nguyên tử bạc. Nghiên cứu

r



tiếp spin của electron, ta thấy tương tự momen động lượng L có 2l + 1 hình

chiếu trên trục Oz, spin cũng có 2s + 1 hình chiếu trên trục Oz. Trong thí nghiệm

Stern-Gerlach ta có hai vết lệch tức là số hình chiếu là 2, từ đó suy ra s = 1/2. Ta

nói số lượng tử spin của electron bằng 1/2.

Tiếp tục làm tương tự, với số lượng tử quỹ đạo bằng l thì độ lớn của vectơ

r



r



momen động lượng L có giá trị L = l (l + 1)h , vậy ta có độ lớn của vectơ mômen

r



động lượng riêng s là :

r

1⎛1 ⎞

3

s = s(s + 1)h =

h

⎜ + 1⎟h =

2⎝2 ⎠

2



(3.37)

r



và thành phần dọc theo trục Oz (hình chiếu của s theo phương Oz) có giá trị là:

s z = m s h,



m s = s, s − 1 =



1 1

,−

2 2



(3.38)



Spin là một trong các đặc trưng cơ bản của electron. Việc đưa vào đại lượng spin

của electron như vậy mới đầu không dựa trên một lí thuyết nào, nhưng được thừa

nhận. Về sau, năm 1932, P. Dirac (1902-1984) lần đầu tiên đã giải thích spin của

electron bằng cách kết hợp các nguyên lí của cơ học lượng tử với thuyết tương

đối trong lí thuyết cơ học lượng tử tương đối tính. Khi đó sự xuất hiện số lượng

tử spin của electron là hoàn toàn tự nhiên.

Cần chú ý rằng không chỉ electron có spin mà tất cả các hạt cơ bản khác cũng

có spin. Người ta nói rằng spin là một trong các đặc trưng cơ bản của các hạt cơ

bản.

r



Tương tự như mômen động lượng L, mômen từ riêng μ s cũng tỷ lệ với mômen

r



động lượng riêng s , giữa chúng có mối quan hệ sau:

r



μs = −



r

eu

S

m



(3.39)



Công thức (3.39) phù hợp với kết quả tính giá trị mômen từ riêng khi đo góc lệch

của chùm tia trong thí nghiệm Stern-Gelach.

So (3.39) với (3.25) ta thấy tỷ số từ cơ của mômen động lượng riêng lớn hơn hai

lần so với ở mômen động lượng quỹ đạo. Điều này còn được gọi là tính dị hướng

của tỷ số từ cơ.



51



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



u

r



3.11. Mômen động lượng tổng cộng J



Do có mômen động lượng riêng của điện tử, mômen động lượng tổng cộng của

nguyên tử một điện tử lúc này sẽ là tổng của mômen quỹ đạo và mômen spin:

u u u

r r r

J = L+S



(3.40)

Tổng này được lấy theo mẫu véctơ, cũng áp dụng được cho nguyên tử có nhiều điện

tử. Ta ký hiệu như sau: các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của electron riêng lẻ

được ký hiệu như trước đây là các chữ thường, còn các số lượng tử đặc trưng cho

trạng thái của nguyên tử được ký hiệu bằng các chữ in hoa. Riêng trong trường hợp

nguyên tử một electron thì trạng thái của electron cũng là trạng thái của nguyên tử và

sẽ được ký hiệu là chữ in hoa.

u

r



u

r



Tương tự như với các mômen động lượng L và S , cơ học lượng tử chứng minh được

u

r



rằng độ lớn của J bị lượng tử hoá và được tính theo:

u

r

J = J ( J + 1) h



(3.41)



với J là số lượng tử ứng với mômen động lượng tổng cộng, các giá trị khả dĩ của số

lượng tử J là :

J = L + S , L + S − 1,..., L − S



(3.42)



với L, S là số lượng tử mômen động lượng quỹ đạo và spin của nguyên tử.



u

r



Cũng như trường hợp mômen động lượng quỹ đạo và spin, thành phần của J trên

trục z cũng bị lượng tử hoá :

J z = M j h;



M J = J , J − 1,.., − J



(3.43)



MJ là số lượng tử từ của nguyên tử.

Ví dụ, đối với nguyên tử giống hidro, S=1/2 ta có:

J=L+1/2 và L-1/2 với L>0, riêng khi L=0 thì chỉ có 1 giá trị của J=S.

3.12. Kết luận về các trạng thái lượng tử. Ký hiệu trạng thái của nguyên

tử.

Theo công thức (3.24), ứng với một mức năng lượng En ta có n2 hàm sóng

ψ nlm có ba số lượng tử n, l, m. Nếu kể cả spin của electron thì ta phải thêm một



số lượng tử nữa, kí hiệu là ms. Khi đó các hàm sóng ứng với mức năng lượng En

được kí hiệu là ψ nlmm với một bộ bốn số lượng tử. Ta bảo rằng một bộ bốn số

s



lượng tử (n, l, m, ms) đặc trưng cho các trạng thái suy biến của một mức năng

52



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



lượng En. Thực ra mức năng lượng En được tách thành các mức con ứng với các

trị số khác nhau của n, l, m, ms. Do đó ta có thể nói là mỗi hàm sóng ψ nlmm ứng với

s



một mức năng lượng Enlmms. Giữa các số lượng tử n, l, m, ms này có mối liện hệ

sau :

n = 1, 2, 3, . . . là các số tự nhiên nguyên dương khác không.

l = 0, 1, 2, 3 …, n – 1,

gồm n giá trị khác nhau một đơn vị từ 0 đến n – 1

m = - l, - l + 1, . . . ,0, . . ., l – 1 ,+l ,

gồm 2l + 1 giá trị khác nhau một đơn vị từ – l đến + l.

ms = 1/2 , -1/2 gồm hai giá trị.



(3.44)



Người ta kí hiệu như sau :

n=



1



2



3



4



5



Tên vỏ



K



L



M



N



O



Và

l=

Tên

con



0



1



2



3



4



5



vỏ s



p



d



f



g



h



Thí dụ, electron lớp K chỉ electron ở trạng thái có năng lượng E1 còn kí hiệu là

trạng thái 1s; 2p chỉ trạng thái năng lượng của electron với n = 2 , l = 1.

Kết luận:

1. Nguyên tử hiđro là một hệ điện gồm một hạt nhân mang điện dương (là hạt

proton) và một hạt electron chuyển động quay quanh hạt nhân. Các trạng thái

dừng và các mức năng lượng tương ứng được xác định từ phương trình

Schrödinger dừng. Trong hệ tọa độ cầu, toán tử Hamilton của hệ có liên quan đến

toán tử bình phương momen động lượng của electron trong chuyển động quĩ đạo

của nó.



53



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



2. Khi giải phương trình Schrödinger, ta thu được các hàm trạng thái ứng với các

năng lượng khác nhau đặc trưng bởi một bộ các số lượng tử n, l, m lần lượt là số

lượng tử chính, số lượng tử quĩ đạo và số lượng tử từ. Người ta còn dùng bộ ba số

lượng tử đó để chỉ trạng thái của nguyên tử hiđro.

3. Phổ năng lượng nguyên tử hiđro là phổ vạch, ứng với các mức năng lượng

gián đoạn của nguyên tử. Năng lượng nguyên tử hiđro tỉ lệ ngược với n2 (n là số

tự nhiên nguyên dương khác 0). Ở mức thấp nhất, giá trị năng lượng bằng -13,6

eV. Càng lên cao, các mức năng lượng càng xít lại gần nhau. Năng lượng nguyên

tử bằng 0 khi electron tách ra khỏi nguyên tử.

4. Khi nguyên tử chuyển từ mức năng lượng cao Em xuống mức năng lượng cơ

bản hay mức năng lượng thấp hơn thì nguyên tử bức xạ một photon có tần số thỏa

mãn công thức :

f =



Em − En

h



Ngược lại, khi nguyên tử ở mức năng lượng En nhận bức xạ có tần số f thỏa mãn

công thức trên thì nó nhảy lên mức năng lượng Em.

5. Khi nguyên tử đặt trong từ trường ngoài thì có hiện tượng tách các mức năng

lượng. Hiện tượng này còn gọi là hiệu ứng Zeeman.

6. Các hạt cơ bản có momen động lượng riêng gọi là spin. Spin là một đặc trưng

cơ bản của tất cả các hạt vi mô. Spin của electron bằng 1/2 và có hai hình chiếu

lên trục Oz. Do electron có spin nên mỗi vạch quang phổ nguyên tử hiđrô bị tách

thành hai vạch khi có từ trường ngoài.

7. Bộ các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của electron trong nguyên tử hidro

gồm bốn số n, l, m, ms.

Cấu hình electron của nguyên tử không cho phép ta biết trạng thái của nguyên tử

đó. Để ghi lại trạng thái của nguyên tử ta cần biết momen động lượng quỹ đạo



r

r

r

r

L = ∑ Li là tổng các momen động lượng của từng electron, spin tổng S = ∑ s i là

i



i



tổng các spin của các electron của nguyên tử và vectơ momen động lượng tổng

v r r

J = L + S (ở đây, ta bỏ qua tương tác spin – quỹ đạo, sẽ xét đến sau).

r

Giá trị L của momen động lượng tổng L của một trạng thái cho trước được kí



hiệu như sau :

Giá trị của L



:



0



1



2



3



4



5

54



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Kí hiệu băng chữ :



S



P



D



F



G



H



Các trạng thái của nguyên tử được ghi bằng kí hiệu chữ của L, với giá trị của 2S+1

ở phía trên bên trái và giá trị J ở phía dưới bên phải:



2 S +1



LJ , ta sẽ quay trở lại vấn



đề này kỹ hơn ở chương sau.

Chú ý: Đọc thêm về Quy tắc lọc lựa

Khi nguyên tử nhận được năng lượng đủ lớn, nó sẽ chuyển lên trạng thái với năng

lượng cao hơn- trạng thái kích thích của nguyên tử (ta có sự hấp thụ); nguyên tử

đang ở trạng thái kích thích sẽ chuyển về trạng thái với năng lượng thấp hơn và

phát xạ ra photon (ta có sự phát xạ). Phổ hấp thụ và phổ phát xạ quan sát được

thường ứng với các chuyển dời mạnh, có xác suất chuyển dời lớn hơn hẳn so với

các chuyển dời khác. Bằng cơ học lượng tử, có thể tính được các hệ số hấp thụ và

hệ số phát xạ của các chuyển dời. Trong bài toán xem xét các chuyển dời, người ta

tính các phần tử ma trận của momen lưỡng cực điện; tìm điều kiện cho các phần

tử của ma trận có giá trị khác 0, tương ứng với các chuyển dời lưỡng cực điện

mạnh. Người ta tìm ra điều kiện để có các chuyển dời lưỡng cực điện mạnh, ứng

với các điều kiện về sự thay đổi các số lượng tử l, m, j (của trạng thái đầu và trạng

thái cuối) tuân theo một số quy tắc, được gọi là các quy tắc lọc lựa.

Quy tắc lọc lựa này được tóm tắt như sau: Các chuyển dời mạnh có các số lượng tử

thay đổi thoả mãn điều kiện sau: ΔL = 0, ±1; ΔS = 0; ΔM = 0, ±1 . Nếu chỉ có 1electron

tham gia chuyển dời lưỡng cực điện thì L không đổi. Nếu tính đến số lượng tử J, ta có

thêm điều kiện sau: ΔJ = 0, ±1 ; nếu J = 0 thì ΔJ ≠ 0 và khi ΔJ = 0, M J = 0 thì

ΔM J ≠ 0 .



Trong thực nghiệm, ta chỉ ghi nhận được các phổ ứng với các chuyển dời có xác suất

mạnh, thoả mãn quy tắc lọc lựa.



3.13*. Nguyên tử trong từ trường theo mô hình tổng quát (xét theo

phương pháp bán lượng tử)

a. Khi không tính spin



55



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Trong hiệu ứng Zeeman thường, khi chưa biết đến spin, mômen từ của nguyên tử

u

r



được tính theo L là mômen quỹ đạo của electron trong nguyên tử.

u

r



Theo cơ học lượng tử, L bị lượng tử hoá dẫn đến mômen từ cũng bị lượng tử hoá:

L = l (l + 1) h => μl = μo l (l + 1)



Hình chiếu của mômen từ lên trục z là:

μ z = μo ml

ml = −l , −l + 1,.., l − 1, l

Nguyên tử có mômen từ khi đặt trong từ trường sẽ có năng lượng phụ là:

u u

r r

ΔW = −( μ l .B ) = μo ml B



Để hiểu cơ chế này một cách trực quan, ta xét sự tiến động của mômen từ quanh

phương của từ trường:

Lưỡng cực từ đặt trong từ trường chịu tác dụng của mômen quay như ngẫu lực, có

u

r



xu hướng quay lưỡng cực dọc theo phương B , tuy nhiên, việc đó bị ngăn cản bởi sự

có mặt của mômen động lượng L trong nguyên tử, vì vậy nó chuyển động giống như

con quay. Theo định luật chuyển động con quay, sau thời gian dt, mômen của nguyên

uu u

r r



u

r



tử tăng thêm là dt ⎡ μl × B ⎤ . Lượng này vuông góc với μ l nên dẫn đến sự tiến động

⎣

⎦

u

r



u

r



u

r



của các mômen L và μ l quanh phương B .

b. Tính cả spin

r

Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát, khi tính cả spin s của điện tử. Mômen động

lượng tổng cộng của nguyên tử là:

u u u

r r r

J = L+S



Sử dụng (3.25) và (3.39), ta có:

r

r

r r r

e r

e u r

r r

r

J = L + S ⇒ μ = μL + μS = −

( L + 2S ) = −

(J + S )

2m0

2m0



(3.45)

u

r



Biểu thức (3.45) cho ta thấy quan hệ của mômen từ tổng cộng μ với mômen động

u

r



lượng tổng cộng J của nguyên tử. Dễ thấy là hai vectơ này trong trường hợp tổng

quát không còn song song với nhau, chúng chỉ song song khi spin của nguyên tử

bằng 0.

56