Vi hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 128 trang )
trong đó A, B - hai hằng số tích phân, được xác định từ những điều kiện biên và điều
kiện chuẩn hoá của hàm sóng.
Do hàm sóng có tính chất liên tục, nên khi sử dụng điều kiện liên tục của hàm
sóng ψ(x) tại các biên ta có:
Tại biên x = 0: ψI(0) = ψII(0) = 0, ta có:
Asin(k.0) + Bcos(k.0) = 0, → B = 0.
Vậy:
ψII(x) = Asinkx.
Tại biên x: a: ψII(a) =ψIII(a) = 0, ta có:
Asinka = 0.
Ở đây ta không thể cho A = 0, vì như thế ψII(x) = 0. Khi đó hàm sóng không có ý
nghĩa gì. Vi vậy phải đặt điều kiện sinka = 0. Từ đó suy ra:
ka = nπ,
trong đó n = 1,2,3...
Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng:
ta tìm được:
Cuối cùng, hàm sóng được xác định hoàn toàn:
còn năng lượng của vi hạt được suy ra từ hai biểu thức
2 mW
nπ
= k 2 và k =
:
2
a
h
Từ hai biểu thức (2-43) và (2-44) ta rút ra một số kết quả quan trọng sau đây:
a) Mỗi trạng thái của vi hạt ứng với một hàm sóng ψn(x)
b) Năng lượng của vi hạt chuyển động trong giếng thế năng phụ thuộc vào số
nguyên n, nghĩa là năng lượng nhận những giá trị gián đoạn. Sự gián đoạn của các giá
42
trị năng lượng chỉ tồn tại trong lý thuyết lượng tử và được gọi là sự lượng tử hóa năng
lượng. Đó là kết quả tự nhiên khi áp dụng điều kiện biên của hàm sóng cho nghiệm
của phương trình Schrđdinger.
Sơ đồ mức năng lượng được biểu diễn ở hình 2-10.
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và
(n+ 1) bằng:
Rõ ràng ∆Wn càng lớn khi vi hạt ở phạm vi kích thước a càng nhỏ và vi hạt có
khối lượng m càng bé.
c) Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng được xác định theo biểu thức:
Từ (2- 45) ta nhận thấy:
Khi n = 1, xác suất tìm thấy hạt lớn nhất ở vị trí x =
Khi n = 2, xác suất đó lớn nhất ở các vị trí x =
α
Khi n = 3, xác suất đó lớn nhất ở các vị t rí x =
4
α
6
α
2
.
và x =
, x=
3α
.
4
α 5α
2
,
6
, v.v…
Đồ thị phân bố xác suất được biểu diễn ở hình 2- 11 .
43
2. Sự truyền qua hàng rào thế
Xét vi hạt có khối lượng m có năng lượng W chuyển động theo phương x từ trái
sang phải, đập vào hàng rào thế có dạng như hình 2 -12.
(Hàng rào thế là miền không gian mà tại đó thế năng lớn hơn các miền lân cận
nó). Theo quan điểm của vật lý cổ điển thì một hạt có năng lượng toan phẫn W nhỏ
hơn thế năng Umax (độ cao hàng rào) hạt không thể vượt ra khỏi hàng rào, vì khi đó
động năng có giá tri âm và vận tốc ảo, nhưng đồng thời với điều đó hạt cũng không thể
nâng trên hàng rào thế năng, vì điều đó “mâu thuẫn” với định luật bảo toàn năng
lượng. Theo quan điểm của cơ học lượng tử thì vi hạt vẫn có khả năng xuyên qua hàng
rào thế năng bằng dời chuyển "đường ngầm" - gọi là hiệu ứng đường ngầm.
Để đơn giản, ta xét trường hợp hàng rào thế năng có độ cao UO có bề rộng a
(h.2- 13):
Khi đó phương trình Schodinger mô tả trạng thái của vi hạt trong các miền có
dạng:
44
Miền I:
Miền II:
với
Miền III:
Nghiệm của các phương trình tương ứng với ba miền có dạng:
Các nghiệm (2- 46) có nghĩa như sau:
- Đối với miền I: A1e ik x đặc trưng cho sóng tới bờ rào và B1e −ik x đặc trưng cho
1
1
sóng phản xạ trên bờ rào (x = 0).
- Miền II: nghiệm không mang tính chất sóng.
- Miền III: A1 e ik ( x − a ) đặc trưng cho sóng truyền qua hàng rào (x = a) và B1 e −ik ( x − a )
1
1
đặc trưng cho sóng phản xạ từ vô cực trở về, nhưng ở vô cực không có sự phản xạ
sóng, nên ta đặt B3 = 0.
45
![Vaatjlys đại cương phần Thuyết tương đối hẹp, lý thuyết ngjt]r, vaatjlys nguyên tử, hạt nhân nguyên tử](https://media.store123doc.com/images/default/doc_normal.png)
