b. Định lý (Hadamard) (Công thức tìm bán kính hội tụ)

| an +1 |

| u ( x) |

|a |

= lim n+1 . | x |= ρ . | x |

. Ta có lim n +1

n →∞ | a |

| un ( x ) |

| an |

n



Giả sử ρ = lim



1



* Nếu 0 < ρ < +∞ , thì chuỗi hội tụ tuyệt đối khi ρ | x |< 1 ⇔| x |< , phân kỳ khi

ρ



| x |>



1



Do đó bán kính hội tụ r =



ρ



1



ρ



* Nếu ρ = +∞ thì ∀x ≠ 0, ta có lim

* Nếu ρ = 0 thì ta có lim

đó bán kính hội tụ r =+ ∞ .



| un +1 ( x) |

= +∞ , do đó bán kính hội tụ r = 0 .

| un ( x ) |



| un+1 ( x) |

= 0 < 1 , suy ra chuỗi hội tụ tuyệt đối ∀x ∈ R , do

| un ( x ) |



Đối với trường hợp ρ = lim n | an | ta cũng có chứng minh tương tự.

5. Bài tốn tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

- Bước 1. Tìm bán kính hội tụ r của chuỗi luỹ thừa bằng cơng thức (*)

- Bước 2. Xét tại 2 điểm mút x = r , x = −r .

- Bước 3. Kết luận miền hội tụ.

Chú ý

Nếu chuỗi lũy thừa có dạng



∞



∑ a (x − x )

n=0



dạng



∞



∑a X

n=0



n



n



n



0



n



, thì bằng cách đặt X = x − x 0 ta đưa về



trước khi áp dụng cơng thức (*).



Ví dụ

Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa



xn

1) ∑

n =1 n

∞



| a n +1 |

n

= lim

= 1 => r = 1 .

n→∞ | a |

n→∞ n + 1

n



- Áp dụng công thức (*) ở trên, ta có ρ = lim

- Xét tại x = 1 , ta có



∞



1



∑n



phân kỳ (chuỗi điều hồ).



n =0



- Tại x = −1 :



(−1)n

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

∑

n

n =0

∞



Do đó miền hội tụ của chuỗi là X = [ −1,1)



146



∞



2)



∑n x

n



n



n =1



Ta có ρ = lim n an = lim n = +∞ . Suy ra r = 0 .

n →∞



n →∞



Vậy miền hội tụ của chuỗi là X = {0} .



xn

3) ∑

n =0 n !

∞



| an +1 |

1 n!

= lim

= 0 . Suy ra r = +∞

n →∞ | a |

n →∞ ( n + 1)! 1

n



Ta có ρ = lim



Vậy miền hội tụ của chuỗi là X = R .

n



⎛ n +1 ⎞ ⎛ 1 ⎞

4) ∑ ⎜

⎟

⎟ ⎜

n = 0 ⎝ 2n + 1 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠

∞



n



1

Ta đặt t =

, ta có chuỗi lũy thừa

x+2



ρ = lim n an = lim

n →∞



n →∞



n



⎛ n +1 ⎞ n

∑

⎜

⎟ t . Ta có

n =0 ⎝ 2n + 1 ⎠

∞



1

n +1 1

= . Suy ra bán kính hội tụ r = = 2 .

ρ

2n + 1 2

n



⎛ 2n + 2 ⎞

- Xét tại t = 2 , ta có chuỗi số ∑ ⎜

⎟ .

n =0 ⎝ 2n + 1 ⎠

∞



n



2n+1 2n+1

1

⎛ 2n + 2 ⎞ = ⎛ ⎛1 + 1 ⎞ ⎞

= e2 ≠ 0. Do đó chuỗi số là phân kỳ.

Chú ý rằng lim⎜

⎟ lim⎜ ⎜

⎟ ⎟

2n + 1 ⎠

n→∞ ⎝ 2n + 1 ⎠

n→∞ ⎝ ⎝

⎠

n



n



- Xét tại t = −2 . Ta có chuỗi số ∑ (−1) ⎛⎜ 2n + 2 ⎞⎟ . Khi đó

n=0

⎝ 2n + 1 ⎠

∞



⎛⎛

1 ⎞

⎛ 2n + 2 ⎞

(−1)n ⎜

⎟ = lim ⎜⎜ ⎜1 +

⎟

lim

2n + 1 ⎠

n→∞

n→∞ ⎝

⎝ 2n + 1 ⎠

⎝

n



n



n

2 n +1 2 n +1



⎞

⎟⎟

⎠



1



= e 2 ≠ 0 . Do đó chuỗi số phân kỳ.



5

⎡

x<−

⎢

2.

Vậy tìm hội tụ −2 < t < 2 , hay −2 < 1 < 2 ⇔ ⎢

x+2

⎢x > − 3

⎢⎣

2



Do đó miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là X = (−∞, − 5 ) ∪ (− 3 , +∞).

2



2



6. Tính chất cơ bản của chuỗi lũy thừa



Giả sử chuỗi luỹ thừa



∑ a n x n có khoảng hội tụ (− r , r ) .



a. Tính chất 1



147



Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn [a; b] ⊂ (−r ; r )

Chứng minh:

Lấy 0 < x0 < r , sao cho [ a, b ] ⊂ [ -x 0 , x0 ] . Khi đó vì 0 < x0 < r nên chuỗi số

n



hội tụ. Mặt khác ta lại có a n x ≤

Do đó chuỗi



∑ an x n



a n x on



, ∀x ∈ [a, b], ∀n



∞



∑a x

n =0



n



n

0



hội tụ đều trên [a; b] ⊂ (− r ; r ) .



b. Tính chất 2



Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi trên [a; b] ⊂ (−r; r ) .

c. Tính chất 3



Tổng của chuỗi luỹ thừa là 1 hàm liên tục trong khoảng (-r; r).

d. Tính chất 4



Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi.

Chứng minh: Suy ra từ tính chất 1.

Bài tập

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞



1)



∑

n =1



n



2

( x − 1) n

2

n



( x + 1) n

5) ∑

n =1 n ( n + 2)

∞



∞



1

2) ∑ 2 ( x + 2) n

n =1 n



1

n

6) ∑ 2 ( x + 4)

n =1 n

∞



∞



3)



∑



( x + 2 )n



n =1



2 n +1



1

7) ∑

n

n =1 ( x − 2)

∞



n ⎛ 2x − 3 ⎞

⎜

⎟

4) ∑ 2

n =1 n + 1 ⎝

x ⎠

∞



n



3n

n

8) ∑ 2 ( x − 2)

n =1 n

∞



6.5. Chuỗi Taylor và chuỗi Mac- Laurin

6.5.1. Khai triển 1 hàm thành chuỗi luỹ thừa

1. Đặt vấn đề



Giả sử hàm f (x) có đạo hàm mọi cấp trong mọi lân cận nào đó của điểm xo và có thể

biểu diễn dưới dạng tổng của 1 chuỗi luỹ thừa trong lân cận ấy.

2. Định dạng



f ( x) = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + a 3 ( x − x 0 ) 3 + ... + a n ( x − x 0 ) n + ...



(0)



trong đó a0 , a1 , a2 , ..., an ,... là các hằng số

3. Xác định các hệ số



Theo tính chất 3 của chuỗi luỹ thừa, trong khoảng hội tụ, ta có:



148



f / ( x ) = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + ... + nan ( x − x0 ) n −1 + ...



(1)



f // ( x) = 2a2 + ... + n(n − 1) an ( x − x0 ) n − 2 + ...



(2)



…….............................................................



…



f ( n ) ( x) = n!a0 + ...



(n)



……………………………………………………………….

…

f ( k ) ( x0 )

k = 0, n

Thế x = xo vào các đẳng thức trên, ta có: ak =

k!



4. Kết quả



Khi đó:

f ( x) = f ( x0 ) + f / ( x0 )( x − x0 ) +



f // ( x0 )

f ( n ) ( x0 )

( x − x0 )2 + ... +

( x − x0 )n + ...

2!

n!



6.5.2. Chuỗi Taylor

1. Định nghĩa

f ( n ) ( x0 )

( x − x0 ) n được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (x) trong lân cận

n =0

n!

∞



Chuỗi hàm ∑

của điểm xo



f ( n ) ( 0) n

x được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm f (x)

n =0

n!

∞



Khi x = xo: Chuỗi hàm ∑

Chú ý



Theo trên, nếu hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp trong Vx0 và có thể biểu diễn dưới

dạng tổng của 1 chuỗi luỹ thừa trong lân cận ấy thì chuỗi luỹ thừa ấy phải là chuỗi Taylor

của hàm đó trong lân cận ấy.

2. Điều kiện hội tụ



Ta xét xem nếu chuỗi Taylor của hàm f (x) nào đó hội tụ thì với điều kiện nào tổng

của nó đúng bằng f (x) .

a) Ví dụ tổng của chuỗi hội tụ không bằng hàm số

⎧ − 12

Xét hàm số f ( x) = ⎪⎨e x khi x ≠ 0

⎪⎩ 0

khi x = 0



Hàm f (x) khả vi vô hạn lần tại mọi x và đạo hàm mọi cấp của f (x) tại x = 0

Thật vậy,

−



1

x2



f ( x ) − f (0)

e

lim

= lim

x →0

x →0

x−0

x



t = 1x

2

= lim te − t = lim

t →∞



t →∞



t

et



2



= lim



t →∞



1

=

2tet 2



= 0 ⇒ f / (0) = 0



149



1



1

2 − x2

−

2

e

/

/

x

3

f ( x) − f (0)

2e

x

lim

= lim

= lim

x →0

x →0

x →0

x−0

x

x4

2t 2

4t

4

= lim t = lim t = lim t = 0

t →+∞ e

t →+∞ e

t →+∞ e



1

x2

=



t=



lim 2t 2e − t =



t →+∞



⇒ ∃ f // (0) = 0

……

Vậy, chuỗi Mac-Lau rin của hàm f là:



0 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3 + ... + 0 x n + ... nó hội tụ và có tổng bằng không với mọi x

b) Định nghĩa hàm khai triển được thành chuỗi Taylor:

Hàm số f (x) được gọi là khai triển được thành chuỗi Taylor nếu chuỗi Taylor của

hàm đó hội tụ và có tổng đúng bằng f (x)

c) Các điều kiện đủ

Định lý 1



Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm xo hàm f (x) có đạo hàm mọi cấp.

Nếu lim Rn ( x) = 0 trong đó Rn ( x) =

n→∞



f ( n +1) (ξ )

( x − x0 ) n +1

(n + 1)!



với ξ là 1điểm nào đó nằm giữa xo và x thì có thể khai triển hàm f (x) thành chuỗi

Taylor trong lân cận ấy.

Chứng minh:

Thật vậy, Khai triển Taylor của f (x) đến cấp n là: f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ) trong đó

f ( n +1) (ξ )

Rn ( x ) =

( x − x 0 ) n +1 vì lim Rn ( x) = 0 nên f ( x ) = lim Pn ( x )

(n + 1)!



n →∞



n →∞



Mặt khác, Pn ( x) = sn ( x) tổng riêng thứ n của chuỗi Tay lor của hàm f , do đó

f ( x) = f ( x0 ) +



f / ( x0 )

f // ( x0 )

f ( n) ( x0 )

( x − x0 ) +

( x − x0 )2 + ... +

( x − x0 )n + ... (đ.p.c.m)

1!

2!

n!



Định lý 2



Nếu trong lân cận nào đó của điểm xo hàm f (x) có đạo hàm mọi cấp và trị tuyệt đối

của mọi đạo hàm đó đều bị chặn bởi cùng 1 số thì có thể khai triển hàm f (x) thành chuỗi

Taylor trong lân cận ấy.

Chứng minh:

Theo giả thiết, f ( n) ( x) ≤ M trong lân cận Vx0



150



f



⇒ Rn ( x) =



( n +1)



(ξ )



x − x0



(n + 1)!



n +1



≤



M

x − x0

(n + 1)!



n



( x − x0 ) n

( x − x0 ) n n→∞

⎯⎯⎯→ 0

có miền hội tụ là R ⇒ số hạng tổng quát

n =1

n!

n!

∞



Do chuỗi số ∑

n+1



x − x0

n→∞

n→∞

→ 0 ⇒ Rn ( x) ⎯⎯⎯→ 0

⇒

⎯⎯⎯

(n + 1)!



⇒ Hàm f (x) thành chuỗi Taylor trong lân cận ấy.



6.5.3. Chuỗi Mac-Laurin của 1 số hàm thông dụng



1. f ( x ) = e

f



(n)



x



x2 x3

xn

∀n ⇒ 1 + x +

+

+ ... +

+ ...

2! 3!

n!



(0) = 1



N là 1 số dương cố định bất kỳ, ta có



∀k ≥ 1, ∀x ∈ (− N , N ), f ( k ) ( x ) = e x ≤ e N = M

⇒ f (x) khai triển hàm f (x) thành chuỗi Mac-Laurin trong lân cận (− N ,+ N ) của x =



xo= 0



ex = 1+ x +



x2 x3

xn

+

+ ... +

+ ...

2! 3!

n!



2. y = sin x

f ( k ) ( x) = sin( x + k



π

2



) ≤1



∀x



⇒ Hàm f ( x) = sin x khai triển được thành chuỗi Mac-Laurin



f (0) = 0, f / (0) = 1, f // (0) = 0, f (3) (0) = − 1, f ( 4) (0) = 0,...

Vậy, ta có:

x3 x5 x7

x 2 n −1

n −1

sin x = x − +

−

+ ... + ( −1)

+ ...

3! 5! 7!

(2n − 1)!

3. y = cos x

Tương tự như trên, chuỗi Mac-Laurin của hàm f ( x ) = cos x hội tụ về chính nó trên

tồn R:

cos x = 1 −



x 2 x4 x6

x2n

+ − + ... + (−1) n

+ ...

2! 4! 6!

(2n)!



4. y = (1 + x)α (Chuỗi nhị thức)

(1 + x )α = 1 + αx +



α (α − 1)

2!



x 2 + ... +



α (α − 1)...(α − n + 1)

n!



x n + ...



151



Đặc biệt



* Khi α = −1 :



1

= 1 − x + x 2 − x 3 + ... + (−1) n x n + ...

1+ x



5. y = ln(1 + x)

ln(1 + x ) = x −



x2 x3 x 4

xn

+

−

+ ... + ( −1) n −1

+ ...

n

2

3

4



Bài tập

1) Khai triển hàm y = x 3 thành chuỗi Taylor ở lân cận điểm x = 1 ( Viết 4 số hạng

đầu của chuỗi Taylor)

2) Khai triển hàm y =



1

thành chuỗi luỹ thừa của x − 3

x



3) Khai triển thành chuỗi Mac-Laurin các hàm sau;

1

2



a) y = (e x + e− x )

b) y = x e



2 x



c) y = sin 2 x

4) Khai triển hàm số f ( x ) =

tụ của chuỗi vừa tìm được.



152



x

thành chuỗi luỹ thừa của x và tìm miền hội

x+2