PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.88 MB, 120 trang )
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
ế ằ
)
Giải:
(
)
{
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√
√
√
√
Do đó,
√
{
Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
)(
√(
{
)(
√(
)
√(
Do đó,
Ta biến đổi hàm số
12
thành
)(
)
)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
(
)
(
)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
)(
√(
)
(
)
Do đó,
{
Bài 2: Cho
nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
Giải:
Do
nhọn nên
Ta có :
)
dương.
(
(
)
(
)
(
Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
(
{
(
)
)
|
(
[
[
⏟
)
(
(
)|
|
(
)
)
)|
( )
(
(
)
(
)
)
)]
(
)
]
( )
(
)
13
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Do đó,
(
Bài 3: Cho
biểu thức
)
là các số thực thỏa mãn
√
. Tìm giá trị lớn nhất của
(
√
)
Giải:
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
√
)(
√(
√
√ [
√
(
√ )
{
√
√ (
)]
)
√ )
Do đó,
√ (
(
√
√
√
√
√
)
{
Bài 4: Cho
√
là hai số tự nhiên lớn hơn . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
[
]
(ĐH Bách Khoa Hà Nội 1998)
Giải:
[
]
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
(
⏟
)(
)
(
) (
⏟
ố ạ
(
)
(
⏟
)
(
)
ố ạ
)
⏟
ố ạ
14
)(
ố ạ
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
(
)
(
)
√
(
(
)
)
Do đó,
√
(
√
)
√
là ba số thực riêng biệt sao cho hàm số sau có nghĩa
Bài 5: Cho
√
√
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Giải:
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
√ [ (
| ||
Hơn nữa, do
√ [ (
)
| |. Ta được
|
)
√ (
(
√ (
)]
√ (
)]
)
| |)
√ (
Do đó,
(
| |)
| |) khi và chỉ khi
(
)
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
√
√
(
]
Giải:
(
]
√
√
15
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Tương tự, ta có : √
Ta suy ra
√
√
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√
Suy ra
Do đó,
{
Bài 7: Cho các số thực
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) thỏa mãn điều kiện
(
[
]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(∑
)(∑
)
Giải:
Ta có :
[
(
Ta được kết quả sau :
16
]
[
)(
]
)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
{
∑
∑
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
∑
√∑
∑
∑
√∑
(∑
∑
)(∑
)
Do đó,
[
{
∑
∑
Từ đó, ta chọn
(
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
{
17
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
√
Giải:
Ta có :
√
√
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
(
)(
)(
)
(
)(
(
√
)(
)
(
(
√
)(
)[√
)
)(
)
(
)(
) ]
√ (
)
√
√
Do đó,
√
Ta lại có :
√
√
Tương tự trên, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
(
)(
)(
√
(
18
)
)[√
)(
)(
)(
(
(
)(
)
(
)(
) ]
)
√
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
√
√
Do đó,
√
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
8.1.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
8.1.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
)
(
)
8.1.6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
8.1.7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
)
8.1.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
8.1.9. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
)(
8.1.10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
(
(
)
)
(
)
)
)
(
)
8.1.11. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
√
8.1.12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
(
(
8.1.13. Cho góc
{
√
)(
) thỏa mãn
(
)
)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
19
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
8.1.14. Cho
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
8.1.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với
.
GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
8.1.4. Ta áp dụng
{
(
)
Suy ra
(
)
8.1.5. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
(
)
(
)
Suy ra
(
[
(
)
(
)
8.1.6. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
Suy ra
8.1.7. Ta biến đổi
Ta áp dụng
(
{
20
√
)
(
]
)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Suy ra
8.1.8. Ta biến đổi
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
Suy ra
√
8.1.9. Ta biến đổi
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√
√
(
√ )
(√
)
Suy ra
(√
)
8.1.10. Ta áp dụng
(
(
)
(
{
)
)(
(
)
)
Suy ra
8.1.11. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
√
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√
|
√ (
|√
)
(
)
21
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Suy ra
8.1.12. Ta biến đổi
(
)
(
)
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
(
)
(
√(
)
)
(
)
(
√
)(
||
|)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
)(
√(
)
(
)
8.1.13. Ta biến đổi
(
)(
||
(|
)
|)(|
(
||
)
(|
|)
| |
8.1.14. Ta biến đổi
(
)
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
√
Suy ra
Khi đó,
22
√
√
√
√(
)(
)
)
