§3: Các định lý xác suất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (351.76 KB, 32 trang )
HÌNH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
14
Bài giải
• A - tất cả các toa đều có người lên
• Α - có ít nhất 1 toa không có người lên.
n
⇒ Α = ∑ Ai
• Ai - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,…n
i =1
• Vì các toa tàu có vai trò như nhau nên áp dụng công thức
cộng xác suất ta có :
( )
1
2
3
⇒ Ρ Α = Cn .Ρ ( A1 ) − Cn .Ρ ( A1 A2 ) + Cn .Ρ ( A1 A2 A3 ) + ... + (−1) n −1 P ( A1 A2 ... An )
=C
1
n
( n − 1)
n
k
k
−C
2
n
( n − 2)
( )
n
k
k
+C
3
n
( n − 3)
n
k
k
+ ... + ( −1) C
n
n −1
n
1k
. k +0
n
⇒ Ρ ( Α) = 1− Ρ Α
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
15
Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì có đề sẵn
địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ.
Bài giải
n
A - Có ít nhất 1 bức đúng.
⇒ A = Ai
Αi - Bức thứ i đúng
i =1
Vì các bức thư có vai trò như nhau nên áp dụng công thức
cộng xác suất ta có :
∑
1
2
3
⇒ Ρ ( Α ) = Cn .Ρ ( A1 ) − Cn .Ρ ( A1 A2 ) + Cn .Ρ ( A1 A2 A3 ) + ... + (−1) n −1 P( A1 A2 ... An )
=C
1
n
= 1−
( n − 1) ! − C 2 ( n − 2 ) ! + C 3 ( n − 3) ! + ... +
n!
n
n!
n
n!
( −1)
n
C
n −1
n
1!
n +1 1
. + ( −1) .
n!
n!
1 1 1
n +1 1
+ − + ... + ( −1) .
2! 3! 4!
n!
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
16
2. Định lý nhân xác suất
• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố
A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí
hiệu là P(B/A).
• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B
• Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc
Cho A… tính xác suất B.
• Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Ρ ( Α1.Α 2 ...Α n ) = Ρ ( Α1 ) .Ρ ( Α 2 / Α1 ) .Ρ ( Α 3 / Α1Α 2 ) ...Ρ ( Α n / Α1Α 2 ...Α n−1 )
• Hệ quả:
Ρ ( ΑΒ ) Ρ ( Β ) .Ρ ( Α / Β )
Ρ ( Β / Α) =
=
Ρ ( Α)
Ρ ( Α)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
17
• Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với
nhau nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào
việc biến cố kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử.
• Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập
toàn phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất
kỳ của các biến cố còn lại.
• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
• Định lý 3.4: Giả sử Αi , i = 1, n là độc lập toàn phần.
Khi ấy ta có:
n
n
1.Ρ (Π Ai ) = Π Ρ ( Α i
i =1
i =1
n
n
i =1
i =1
)
(
2.Ρ ( Σ Ai ) = 1 − Π Ρ Α i
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
)
18
Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức
cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.
• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất
Pi
hỏng của chi tiết thứ i là
. Tính xác suất để mạng hỏng.
n
• Giải: Αi - biến cố chi tiết thứ i hỏng
⇒Α=
Αi
A - biến cố mạng hỏng
i=1
• Vậy xác suất để mạng hỏng là:
∑
n
n
Ρ ( Α ) = Ρ ∑ Αi ÷ = 1 − Π Ρ Αi = 1 − ( 1 − Ρ1 ) ( 1 − Ρ 2 ) ... ( 1 − Ρ n )
i =1
i =1
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
19
Ví dụ 3.4: Tung 3 con xúc xắc cân đối,đồng chất. Tính xác
suất
để:
1. Tổng số chấm bằng 9 biết có ít nhất 1 mặt 1 chấm
2. Có ít nhất một mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau từng
đôi một.
•
Giải:
1. Gọi A là có ít nhất 1 mặt 1 chấm.
B là tổng số chấm bằng 9
C là các số − 53 khác nhau từng đôi một
63 chấm
Ρ ( Α) =
Ρ ( ΑΒ ) 15 63
3
15
6
⇒ Ρ ( Β / Α) =
= 3. 3 3 =
Ρ ( Α)
6 6 −5
91
15
Ρ ( ΑΒ ) = 3
6
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
20
