Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân.

Elk/A (MeV/nucleon)



Hình 1.1 Đồ thị sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng theo số khối

A của hạt nhân.

1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân

Phản ứng tổng hợp hạt nhân là quá trình hai hạt nhân nhẹ được tổng hợp để tạo thành một nhân

mới nặng hơn, đồng thời nó giải phóng một năng lượng.



X1 + X2 → X3 + X 4 hoặc X1 (x 2 ,x 4 )X3 .



(1.3)



Quá trình này bị cản trở bởi lực đẩy Coulomb, vì nó có tác dụng ngăn cản hai hạt tiến đến đủ

gần để lọt vào vùng tác dụng của lực hút hạt nhân và “tổng hợp” với nhau, độ cao của hàng rào thế

Coulomb phụ thuộc vào điện tích và bán kính của hai hạt nhân tương tác. Dựa vào đồ thị sự phụ thuộc

của năng lượng liên kết riêng theo số khối A của hạt nhân ta thấy, năng lượng liên kết trung bình trên

một nucleon tăng theo số khối A trong miền A bé, nên khi tổng hợp hai hạt nhân rất nhẹ thành một hạt

nhân nặng hơn thì một năng lượng A ( ε − ε ) được giải phóng, trong đó A là số khối tổng cộng của các

hạt nhân được tổng hợp, ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân

trước phản ứng, còn ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân sau

phản ứng.

Điều kiện xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân:

Các hạt nhân phải có động năng đủ lớn để chúng vượt hàng rào thế Coulomb và tiến lại gần

nhau với khoảng cách nhỏ hơn 3.10 −15 m . Khi đó lực hạt nhân sẽ có tác dụng và phản ứng xảy ra.



V

Coulomb potential

Ecoul ~ Z1Z2 (MeV)

r0



r



nuclear well



Hình 1.2 Đồ thị hàng rào thế Coulomb.

Năm 1957 J. D. Lawson chứng minh được rằng để đốt cháy và duy trì môi trường plasma ổn

định thì nồng độ plasma n (hạt/m3), thời gian nhốt plasma τ (s) và nhiệt độ plasma T (K) phải thoả

P



P



mãn bất đẳng thức :



nτ T ≥ 5.1021 keV.s / m 3 .



(1.4)



Điều kiện (1.4) được gọi là tiêu chuẩn Lawson.

Theo (1.4), nhiệt độ Mặt Trời vào khoảng T=1010K thì xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân. Tuy

P



P



nhiên, trong thực tế nhiệt độ Mặt Trời chỉ vào khoảng T=107K, do đó, phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy

P



P



ra phải dưới điều kiện có hiệu ứng đường ngầm lượng tử.

Trong những thiên thể có mật độ vật chất cao như sao lùn trắng (khoảng 1010 g cm-3) hay sao

P



P



P



P



neutron (khoảng 1013 g cm-3) thì phản ứng tổng hợp hạt nhân đóng vai trò quan trọng. Theo Salpeter và

P



P



P



P



Van Horn [24] và Chugunov et al [9], các phản ứng này có thể xảy ra dưới năm chế độ khác nhau, tùy

theo sự phụ thuộc vào nhiệt độ hay vào mật độ của plasma nhiều hay ít: Ở nhiệt độ đủ cao để plasma

trở nên rất loãng, tốc độ phản ứng hạt nhân phụ thuộc chủ yếu vào nhiệt độ và loại phản ứng này được

gọi là phản ứng nhiệt hạt nhân với màn chắn yếu. Phản ứng nhiệt hạt nhân với thế màn chắn mạnh xảy

ra trong plasma đậm đặc hơn, tức là mức độ liên kết do thế Coulomb quan trọng hơn là chuyển động

nhiệt của các ion. Hai loại phản ứng trên thường được gọi vắn tắt là phản ứng nhiệt hạt nhân

(thermonuclear reactions). Khi mật độ vật chất rất lớn, tốc độ phản ứng sẽ ngày càng ít phụ thuộc vào

nhiệt độ, và hệ quả là ngay ở trong plasma có nhiệt độ rất thấp, phản ứng này vẫn có thể xảy ra. Các

phản ứng dạng này, chỉ xuất hiện ở những điều kiện cực điểm về mật độ hạt, hay mật độ khối lượng,

của môi trường plasma, được gọi là phản ứng áp suất hạt nhân (pycnonuclear reactions). Ngoài ra, còn



tồn tại những phản ứng ở dạng trung gian, là những phản ứng áp suất hạt nhân nhưng tốc độ phản ứng

phải được tăng cường do nhiệt độ.

Ta có thể thấy rõ ảnh hưởng của mật độ vật chất cũng như của nhiệt độ lên tốc độ phản ứng hạt

nhân trên đồ thị Hình 1.3 của công trình [8]: Đối với phản ứng tổng hợp hai hạt nhân



20



Ne và



24



Mg



xảy ra trong một số thiên thể, kể từ các giá trị khoảng 1011 − 1012 g cm −3 của mật độ khối lượng, tốc độ

phản ứng hầu như rất ít phụ thuộc vào nhiệt độ. Theo M. Beard and M. Wiescher [7], trên đồ thị Hình

1.4, ta thấy kể từ một giá trị mật độ khối lượng ρ nào đó, tốc độ phản ứng tổng hợp là hàm tăng rất

nhanh theo ρ.



Hình 1.3 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ

thuộc vào mật độ khối lượng và nhiệt độ T [8].



Hình 1.4 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ thuộc vào

mật độ khối lượng ρ [7].



Như vậy, phản ứng áp suất hạt nhân là phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra ở mật độ lớn vào

khoảng 109 g/cm3. Trong phòng thí nghiệm, để thực hiện phản ứng áp suất hạt nhân người ta nhốt

P



P



P



P



plasma dựa trên tính quán tính của các hạt ion dưới tác dụng của tia laser hay chùm tia ion nặng, chẳng

hạn như, người ta tạo nên các viên nhiên liệu rất nhỏ chứa hỗn hợp deuterium-tritium rồi bắn từng viên

vào buồng chân không, khi viên này đạt đến tâm bình chân không, chiếu chùm tia laser hay chùm ion

nặng vào viên đó trong thời gian cỡ 10-11 s đến 10-9 s. Khi đó hỗn hợp deuterium-tritium nhận được

P



P



P



P



năng lượng với mật độ rất lớn trong thời gian cực ngắn, cỡ hàng chục megajoules trong 10-9 s, nó bị

P



P



nén lại với nồng độ tăng lên cỡ 1000 lần và nóng đến khoảng 108 K, phản ứng tổng hợp xảy ra trước

P



P



khi các ion kịp chuyển động dịch ra xa nhau do quán tính của chúng lớn, sự giữ bằng quán tính sẽ làm

việc với mật độ hạt lớn và trong thời gian ngắn. Trong vật lí thiên văn, phản ứng áp suất hạt nhân giữa

C-C, C-O, O-O xảy ra ở bên trong của sao lùn trắng, sao neutron,…



Hình 1.5 Phản ứng áp suất hạt

nhân thực hiện trong phòng thí

nghiệm dùng phương pháp

hãm quán tính.



Hình 1.6 Quá trình phản ứng

xảy ra ở lớp vỏ của sao neuron.



1.3. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma)

Để khảo sát tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân, người ta thường sử dụng mô hình đơn giản

nhất, là mô hình plasma một thành phần, đó là một hệ thống kê gồm N những ion tích điện dương + Ze ,

chuyển động trong một “biển” đồng nhất NZ electron mang điện tích −e có tác dụng trung hòa điện, hệ

này có nhiệt độ T và thể tích V của bình chứa. Ví dụ, trong phản ứng đốt cháy carbon xảy ra ở sao Lùn

trắng:



12

P



C + 12C , mô hình thích hợp là mô hình OCP.

P



P



P



Khi đó, tất cả các đại lượng Nhiệt Động Lực có thể được tính theo tham số tương liên Γ :



( Ze )

Γ=



2



akT



,



(1.5)

1/ 3



 3 

trong đó, a là bán kính khối cầu ion, được tính theo mật độ hạt n: a = 

 .

 4π n 

Ta nhận thấy rằng tham số Γ này thể hiện mối quan hệ giữa năng lượng tương tác Coulomb

trung bình giữa hai ion



( Ze )

a



2



và năng lượng chuyển động nhiệt trung bình kT. Như vậy, tính chất của



plasma phụ thuộc vào độ lớn của tham số tương liên Γ: khi chuyển động nhiệt chiếm ưu thế, môi

trường plasma sẽ ở trạng thái lưu chất và ngược lại, nếu tương tác Coulomb chiếm ưu thế, ta sẽ có

plasma kết tinh. Giá trị ngưỡng của Γ, tại đó có sự chuyển pha từ lưu chất sang tinh thể lập phương tâm

khối (bcc) được đánh giá vào cỡ : Γ m = [16].

172

 Γ < 1 : plasma loãng (bên trong Mặt Trời, ICF – hãm quán tính).

 Γ ≥ 1 : plasma đậm đặc (ruột sao Lùn trắng, vỏ sao Neutron: Γ = 10÷100).

1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm

1.4.1. Thế màn chắn

Đối với hệ nhiều hạt, để tính thế năng tương tác hiệu dụng giữa hai ion nào đó của hệ, ta phải

tính đến tác dụng của môi trường xung quanh, tác dụng này được đặc trưng bởi một đại lượng gọi là

thế màn chắn, kí hiệu H(R) với R là khoảng cách liên ion. Hai ion này sẽ chuyển động trong trường thế

hiệu dụng:

U ( R)

=



( Ze )

R



2



− H ( R) ,



( Ze ) ,

R

hoặc nếu tính theo đơn vị r = và

a

a

2



(1.6)



ta viết :



1

− H (r ) .

r



U (r )

=



(1.7)



1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm

Xác suất tương tác (contact probability) giữa hai ion cho bởi hàm phân bố xuyên tâm, được định

nghĩa như sau :

Nếu gọi u(r ij ) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong N ion của plasma, thế năng toàn

R



R



phần của hệ là:

N

 



U ≡ U(r1 , r2 ,..., rn ) =

∑ u(rij )



(1.8)



i< j



















Xác suất tìm thấy ion 1 trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , ion 2 trong dr2 tại vị trí r2 ,…,









ion N ở trong drN tại vị trí rN không phụ thuộc vận tốc mỗi hạt là:

1

  

exp [ − βU ] dr1dr2 ...drN

Q



(1.9)



với Q là tích phân cấu hình (tích phân trạng thái): Q

=



 







∫ exp [ −βU ] dr dr ...dr

1



2



N



V















Xác suất để ion 1 được tìm thấy trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , hạt 2 trong dr2 tại vị trí







r2 ,…hạt n trong drn tại vị trí rn là:



   1



   

=

P ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn

 ∫ exp [ − βU ] drn +1...drN  dr1...drn

Q V





⇒ P(



n)















1

QV







( r1 ,..., rn ) =exp [ − βU ] drn+1...drN

∫















(1.10)







Ta gọi ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn là xác suất để có một ion nào đó (không nhất thiết là ion 1) được tìm

















thấy trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , ion khác thứ hai trong dr2 tại vị trí r2 …ion khác thứ n









trong drn tại vị trí rn .

























1

N!



   

×  ∫ exp [ − βU ] drn +1...drN  dr1...drn

( N − n)! Q V





ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn =



ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) =



N!





P ( n ) ( r1 ,..., rn ) .

( N − n)!







(1.11)







Từ định nghĩa trên thì ρ (1) ( r1 ) dr1 là xác suất để một trong những ion của hệ được tìm thấy trong





















thể tích nguyên tố dr1 và vì mọi điểm r1 trong thể tích V tương đương nhau ( ρ (1) ( r1 ) dr1 độc lập với r1 )

nên:



1

N

1

(1) 

= () =

∫ ρ dr1 ρ = V ρ .

VV



 



(1.12)



 











Ta chú ý rằng ρ ( 2) ( r1 , r2 ) dr1dr2 là xác suất để một ion ở trong dr1 và một ion khác ở trong dr2 , và

do ρ ( 2) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r 12 giữa hai ion nên:

R



R



 



ρ ( 2) ( r1 , r2 ) = ρ ( 2) ( r12 )

 



( )  

( )

=

dr

∫ ρ ( r , r ) dr dr ∫ ρ ( r )=

2



và



N ( N − 1) .



2



1



2



1



2



12



V



12



(1.13)



V







Vì sự phân bố các ion trong plasma là hoàn toàn ngẫu nhiên, xác suất để ion thứ i nằm trong dri ,

i=1,2,3,…,n là:



 

dr1 dr2 drn

1



  

n

n

...

= P ( ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn và P ( ) = n

V

V V

V



nên (1.11) trở thành:

=

ρ (n)



1

N!

N!

= ρn n

.

n

V ( N − n)!

N ( N − n)!







(1.14)











Ta thấy ρ (1) ( r1 ) dr1 là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thể tích nguyên tố dr1 tại









vị trí r1 . Nếu xác suất này độc lập với xác suất tìm thấy ion thứ hai trong thể tích nguyên tố dr2 tại vị trí









r2 ,…, với xác suất tìm thấy ion thứ n trong drn tại vị trí rn thì ta có xác suất để 1 ion ở trong dr1 , một





ion khác ở trong dr2 ,…, một ion khác thứ n ở trong drn là:









































ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn =  ρ (1) ( r1 ) dr1   ρ (1) ( r2 ) dr2  ...  ρ (1) ( rn ) drn 





 





(1.15)



Ngược lại khi có sự tương quan giữa 1 ion này và một ion khác tức là n xác suất trên không độc









lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm g ( n ) ( r1 ,..., rn ) vì hàm này cho biết mức độ mà ρ ( n ) lệch khỏi giá trị









của nó khi các xác suất ρ (1) ( ri ) dri độc lập với nhau. Hàm g ( n ) được định nghĩa như sau:





























ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) = ρ (1) ( r1 ) ρ (1) ( r2 ) ...ρ (1) ( rn ) g ( n ) ( r1 ,..., rn )



(1.16)







Mọi điểm ri trong thể tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất, tức là:













ρ (1) ( r1 ) ρ (1) ( r2 ) ... ρ (1) ( rn ) ρ

=

= =

=



(1.16) được viết lại:

















ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) = ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn )



với ρ =



N

V



(1.17)



là mật độ ion trong plasma.



Từ (1.11) và (1.17) ta rút ra mối quan hệ giữa P(n) và g(n) như sau:

P



P



P



P











ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn ) =



N!





P ( n ) ( r1 ,..., rn )

( N − n)!



(1.18)



thế kết quả của P(n) từ (1.10) ta có:

P



P



 U  











ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn ) =



∫ exp − kT  dr







n +1



N! V

( N − n)!





...drN



.



Q



(1.19)



Bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là vấn đề liên quan tới việc mở rộng các vạch

quang phổ, đều cần nghiên cứu việc có hay không sự tương tác giữa các ion với các ion lân cận gần

nhất. Hay nói cách khác, cần biết xác suất để hai ion, ký hiệu 1 và 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng

 







r 12 bất chấp sự có mặt của các ion ở các vị trí ri , xác suất này là P ( 2) ( r1 , r2 ) .

R



R



Từ (1.19) ta có:

 U  



ρ g

2



( 2)



 

( r1 , r2 ) =







∫ exp − kT  dr ...dr







N! V

( N − 2)!



3



N



Q



.



(1.20)



Cuối cùng ta thu được hàm phân bố xuyên tâm:

=

ρ 2 g ( r12 )



N ( N − 1)

 U   

∫ exp − kT  dr3 ...drN

Q





V



(1.21)



với N đủ lớn.

=

g ( r12 )



V2

 U   

∫ exp − kT  dr3 ...drN .

QV







(1.22)



 

Bằng cách chuẩn hoá xác suất g(r2 − r1 )d3 r2 / V ta có được:

 

g(r2 − r1 ) = u12

e −β



(1.23)



Sự hiểu biết giá trị hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát thống kê

của plasma, vì một phần là hàm này (cùng với trung bình phần dư của năng lượng tự do) là đại lượng

được tính toán trực tiếp từ phương pháp Monte-Carlo và trong vật lý lưu chất, g(r) có thể đo trực tiếp từ

những thí nghiệm tán xạ neutron, các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân

tính trên hàm g(r) này.



Hình 1.7 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm của lưu chất

Ar từ kết quả tán xạ neutron [6].

Dựa vào Hình 1.7, ta có thể thấy tính chất phân bố các hạt qua sự biến thiên của hàm phân bố xuyên

tâm g(r) theo r thu được từ kết quả của thí nghiệm tán xạ neutron trên Argon ở thể lỏng, các cực trị

nhọn chỉ ra vị trí của các hạt kế cận. Các mô phỏng Monte Carlo (MC) gần đây đối với mô hình plasma

OCP cũng cho những kết quả tương tự, có thể thấy trên Hình 1.8, qua đây ta cũng nhận thấy rằng hàm

phân bố xuyên tâm g(r) giảm nhanh theo r và tăng theo Г của biên độ cực đại đầu tiên, điều này có ý

nghĩa rằng đối với những plasma có tham số tương liên lớn, sự ổn định của các vị trí của các ion kế cận

càng lớn, plasma có tính chất gần vật rắn hơn.



Hình 1.8. Đồ thị dao động của g(r) với Γ =5, 10, 20, 40, 80, 160 cho bởi

mô phỏng MC [11], đường liền nét ứng với Γ =1 .



1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom

Khi tính đến ảnh hưởng môi trường xung quanh trong plasma ta phải thay thế u 12 trong biểu

R



R



thức (1.23) bằng thế năng hiệu dụng

U ( R)

=



khi đó (1.23) trở thành:



( Ze )



2



R



g( R) = e -βU ( R ) .



− H ( R)



(1.24)

(1.25)



Hay ta có thể viết liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm như sau:

 1



g (r ) exp  −Γ  − H (r )  

=



 r



H (r )

=



suy ra:



1 ln g (r )

.

+

r

Γ



(1.26)

(1.27)



Vào năm 1963, Widom đã xác định dạng của thế màn chắn trong lưu chất, được gọi là định lí

Widom [25]:



“Trong lưu chất hay trong tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn, theo khoảng cách giữa hai ion

hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị bởi một đa thức luân phiên đổi dấu”.

Dạng triển khai của thế màn chắn theo định lý Widom:

H (r ) = h0 − h1r 2 + h2 r 4 − ... + ( −1) hi r 2i

i



H (=

r)



hay



∑ ( −1) h r

i



i



i ≥0



2i



(1.28)



.



(1.29)



Các hệ số h i có vài đặc điểm sau:

R



R



 h0 = lim H ( r ) là số khuếch đại của phản ứng tổng hợp hai hạt nhân.

r →0



 Hệ số h 1 đã được Jancovici dùng vật lý thống kê xác định giá trị chính xác và được đặt tên là hệ số

R



R



Jancovici với h 1 = 0.25, [19].

R



R



 Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma là liên kết mạnh hay liên kết yếu, tức là ở trạng thái tinh thể

hay lưu chất.

Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại dạng khai triển của thế màn chắn

khi so sánh với các số liệu thực nghiệm Monte-Carlo.

1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma

Nguồn năng lượng chính được bức xạ từ các sao trong vũ trụ có nguồn gốc là phản ứng tổng hợp

hạt nhân. Các phản ứng này ảnh hưởng đến quá trình tiến hóa của những thiên thể tạo bởi plasma có

mật độ khối lượng cao như sao Lùn trắng hoặc sao Neutron. Trong plasma, các hạt nhân có thể vượt

qua hàng rào thế Coulomb do hiệu ứng đường ngầm lượng tử để gây ra phản ứng tổng hợp. Hiệu suất

phản ứng hạt nhân (số phản ứng /cm3/s) giữa hạt nhân i và j được tính bởi hệ thức tổng quát:

P



Rij ( E ) =



2rijB



π (1 + δ ij ) 



P



ni n j Sij ( E ) ψ ij ( rN ) .

2



(1.30)



Trong đó :

ni và n j là mật độ hạt

2

r =

2 µij Z i Z j e 2

B

ij



Sij ( E ) : thừa số vật lí thiên văn



ψ ij ( rN ) là hàm sóng tán xạ ( rN bán kính xảy ra phản ứng hạt nhân), được mô tả bởi phương



trình Schrodinger: