Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc

H(r)



Hình 2.1 Đồ thị thế màn chắn được suy ra từ hệ thức (1.27) và g(r)

cung cấp bởi mô phỏng Monte Carlo của công trình [11], với Γ =80 .

2.1.2. Biểu thức của thế màn chắn

Dựa vào các mô phỏng MC trên, một số tác giả đã tính được hàm H(r) như sau:

Đối với plasma ở trạng thái kết tinh, biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao (1,5.10-7) đã

P



P



được đề nghị [5], [14]:



H R (η) = (



1



)1/3 (1.391160 - 0.258399η2 - 0.162060η4 + 0.034887η6



π 3

- 0.005789η8 + 0.000210η10 )



với η =



(2.1)



R

, và d là khoảng cách của hai ion gần nhất ở trạng thái cân bằng. Đối với tinh thể bcc,

d



d = 1.7589a .

Hệ thức giải tích (2.1) bao hàm tính đối xứng của thế màn chắn đối với khoảng cách hai ion,

tính chất đã được chứng minh cho lưu chất [25], điều này đã cho phép sử dụng tính liên tục của thế

màn chắn để tiếp tục khảo sát biểu thức giải tích của thế này đối với plasma có tham số tương liên Γ

<172 [15].

Đặc biệt là tại giá trị Γ m = có xảy ra sự chuyển pha lỏng-tinh thể theo tính toán của D. H. E.

172

Dubin, H. Nagara, Y. Nagara, và T. Nakamura [16].

Biểu thức thế màn chắn được đề nghị bởi [14]:



H ( r ) = 1.0521 − 0.25r 2 + 0.04392r 4 − 0.004269r 6 , r ∈ [0.0,2.0]



(2.2)



Trong biểu thức (2.2), thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên dấu, phù hợp

với định lý Widom cho lưu chất và rất chính xác so với kết quả thực nghiệm MC [22].



Hệ số của r2 có giá trị chính xác -0.25, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính lý

P



P



thuyết [19].

Biểu thức thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 5 < Γ < 160 , cũng được đề nghị bởi

công trình [1] gần đây:



H (=

r)



6



∑ ( −1) h r

i



2i



i =0



5



∑ a ( ln Γ )



với các hệ số h i tính theo :10i hi

=

R



(2.3.1)



i



R



k =0



k



(2.3.2)



k



hệ số a k được cho ở Bảng 2.1.

R



R



Bảng 2.1 Hệ số ak của hệ thức (2.3.2).

h0

h2

0.939

5.23

0.15

-1.92

-0.0521

0.748

0.00723

-0.123

-0.000295 0.00714

-9.84E-06 4.63E-05

R



a0

a1

a2

a3

a4

a5

R



R



R



R



R



R



R



h3

3.85

-2.2

1.34

-0.349

0.0399

-0.0016



h4

h5

h6

-3.97

-5.91

-0.811

3.66

4.69

-0.413

-0.0349 0.0182

1.28

-0.407 -0.606 -0.591

0.0917

0.142

0.104

-0.00604 -0.00983 -0.00646



R



R



R



R



Bảng 2.2 Hệ số hi của hệ thức (2.3.1).

Г

5

10

20

40

80

160



h0

1.07416

1.08816

1.08967

1.08548

1.07993

1.07469

R



h2

0.0361264

0.0347595

0.0346911

0.0350416

0.0353654

0.0356602

R



h3

0.00257

0.00263

0.0027

0.0027

0.00264

0.002586

R



h4

h5

h6

0.000068584 1.27876E-14 8.30579E-16

0.00014923 0.0000094

0.00000031

0.000166661 1.08262E-05 3.6812E-07

0.000147507 8.2664E-06 2.8042E-07

0.000119066 5.4317E-06 0.000000195

0.000097705 3.8685E-06 0.000000178

R



R



R



Bảng 2.2 là bảng giá trị h i được tìm bằng cách tối thiểu hóa độ lệch các dữ liệu MC tương ứng

R



R



với một vài giá trị Γ của công trình [1]. Thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên

dấu, phù hợp với định lý Widom, h 1 = 0.25 với mọi Г, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng

R



R



tính toán lý thuyết. Dựa vào đồ thị sai số Hình 2.2.1 và Hình 2.2.2, ta có thể nhận xét rằng



g(r) − g MC (r) < 2.10 −3 , và ở những khoảng cách lân cận không, các mô phỏng MC không thể cho các

giá trị của g(r).



103(g(r)-gMC(r))

103(g(r)-gMC(r))

103(g(r)-gMC(r))



Γ =5



Γ =10



Γ =20



Hình 2.2.1 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ =5, 10, 20 ,



103(g(r)-gMC(r))



103(g(r)-gMC(r))



g(r) từ công trình [1] so với gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Γ =40



Γ =80



2.2 Biểu thức của thế màn chắn đề nghị

Theo như trình bày ở phần 2.1.2, ta thấy [5],[14] chỉ cho ta biểu thức của thế màn chắn đối với

plasma ở trạng thái kết tinh, [14] cho thế màn chắn H(r) tương ứng với giá trị Γ m = , và kết quả

172

công trình [1], là cho ta hàm H(r) cho plasma có tham số tương liên 5 < Γ < 160 , với độ chính xác cao,

nhỏ hơn 0.2%. Nhưng ở hệ thức (2.3.1), giá trị của hệ số h 0 lại mắc phải sai số lớn so với MC chính

R



R



xác nhất hiện nay. Vì vậy mà ta cần phải tìm hàm H(r) chính xác hơn.

Trong phần sau, tôi sử dụng phần mềm Maple 13 để tính các hệ số của H(r) nhằm có biểu thức

tương thích với những kết quả MC mới nhất. Biểu thức của H(r) được thử nghiệm với các đa thức bậc

khác nhau, và với hệ số h 1 thả tự do để có thể kiểm chứng tính toán của Jancovici [19].

R



R



2.2.1 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 = 0.25

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 8, h 1 = 0.25 cho

R



R



trước để phù hợp với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết với H(r) được suy ra từ

hệ thức : H (r )

=



1 ln g (r )

, hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có

+

r

Γ



dạng sau :

H (r ) =0 + h1r 2 + h2 r 4 + h3r 6 + h4 r 8 , với h 1 = 0.25

h

R



R



( 2.4)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =5



H (r ) = 1.075865221- 0.25r 2 + 0.03581061337r 4 - 0.002519919466r 6 +

0.00006740631855r 8



( 2.4.1)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =10



H (r ) 1.089345045 − 0.25r 2 + 0.03397286786r 4 − 0.002192527053r 6 +

=

0.00005173009718r 8

( 2.4.2)

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =20



H (r ) 1.090837007 − 0.25r 2 + 0.03370561141r 4 − 0.002159756641r 6 +

=

0.00005133438387 r 8



( 2.4.3)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =40



H (r ) 1.086503803 − 0.25r 2 + 0.03420728534r 4 − 0.002260500675r 6 +

=

0.00005712093951r 8

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =80



( 2.4.4)



H (r ) 1.080546322 − 0.25r 2 + 0.03488110832r 4 − 0.002377716935r 6 +

=

0.00006275077446r 8



( 2.4.5)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =160



H (r ) 1.074808268 − 0.25r 2 + 0.03552535180r 4 − 0.002482774951r 6 +

=

0.00006731415283r 8



( 2.4.6)



Hình 2.3, Hình 2.4, Hình 2.5, Hình 2.6, Hình 2.7, Hình 2.8 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố

xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.4),

(2.4.5) (2.4.6) với g MC (r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy :

R



R



R



R



 Với Γ =5 , Hình 2.3, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.5% tại

R



r = 1.25



và 0.45% tại



R



r = 2.1 và sai số nhỏ



khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.0.



 Với Γ =10 , Hình 2.4, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.4% tại

R



R



r = 2.3 và r = 2.75 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.1.



 Với Γ =20 , Hình 2.5, sai số giữa g(r) với gMC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.3% tại

R



R



r = 1.25 và 0.4% tại r = 1.6 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.75 đến 1.1 và 1.75 đến 2.75.



 Với Γ =40 , Hình 2.6, sai số giữa g(r) với gMC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.9% tại

R



R



r = 1.7 và 0.4% r = 2.25 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1 đến 1.25.



 Với Γ =80 , Hình 2.7, sai số giữa g(r) với gMC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.8% tại

R



R



r = 1.7 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.2 đến 1.55 và 1.8 đến 2.75.



 Với Γ =160 , Hình 2.8, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 1.5% tại

R



R



r = 1.7 và 0.4% r = 2.4 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.5.



Vậy với đa thức H(r) có dạng như (2.4), sai số nhỏ nhất đối với Γ =10 , Γ =20 vào khoảng

0.4%, sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 1.5%, và sai số 0.2% đối với khoảng cách nhỏ.



103(g(r)-gMC(r))

103(g(r)-gMC(r))

Hình 2.5. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =20 , g(r) được suy

raHình 2.3. và gMC sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =5 , g(r) được

từ (1.26) Đồ thị cho bởi mô phỏng MC [11].

103(g(r)-gMC(r))

103(g(r)-gMC(r))



suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.6. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =40 , g (r) được suy

3

Hình 2.4. Đồ thị saiMC cho (g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =10 , g(r) được

ra từ (1.26) và g số 10 bởi mô phỏng MC [11].



103(g(r)-gMC(r))



suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.7. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =80 , g(r) được



103(g(r)-gMC(r))



suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.8. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =160 , g(r)

được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Bảng 2.3 Bảng giá trị h i của hệ thức (2.4) với Γ =5, 10, 20, 40, 80, 160 ,

R



h 1 =0.25



R



R



R



với mọi Γ .

Γ



5

10

20

40

80

160



h0

R



1.0758652

1.0893450

1.0908370

1.0865038

1.0805463

1.0748082



102 h2



103 h3



10 4 h4



3.581061337

3.397286786

3.370561141

3.420728534

3.488110832

3.552535180



2.519919466

2.192527053

2.159756641

2.260500675

2.377716935

2.482774951



0.674063185

0.517300971

0.513343838

0.571209395

0.627507744

0.673141528



2.2.2 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 tự do

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 8, h 1 thả tự do, H(r)

R



được suy ra từ hệ thức : H (r )

=



R



1 ln g (r )

, hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC

+

r

Γ



[11]. Đa thức có dạng sau :

H (r ) =0 + h1r 2 + h2 r 4 + h3r 6 + h4 r 8

h



(2.5)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =5



H (r ) =

1.080492321 − 0.2584064256r 2 + 0.03958462077 r 4

− 0.003126772967 r 6 + 0.00009934581116r 8



(2.5.1)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =10



H (r ) =

1.091833268 − 0.2538962047 r 2 + 0.03562385622r 4

− 0.002450038085r 6 + 0.0006503161505r 8



(2.5.2)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =20



H (r ) =

1.091720437 − 0.2512045568r 2 + 0.03418460896r 4

− 0.002231832400r 6 + 0.00005497304472r 8



(2.5.3)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =40



H (r ) =

1.086022161 − 0.2494218933r 2 + 0.03399242356r 4

− 0.002229465799r 6 + 0.00005559610814r 8



(2.5.4)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =80



H (r ) =

1.080301651 − 0.2497458993r 2 + 0.03479459382r 4

− 0.002365914313r 6 + 0.00006219339389r 8



(2.5.5)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =160



H (r ) =

1.076283317 − 0.2514145049r 2 + 0.03598199186r 4

− 0.002542817127 r 6 + 0.00007007523408r 8



(2.5.6)



Hình 2.9, Hình 2.10, Hình 2.11, Hình 2.12, Hình 2.13, Hình 2.14 là đồ thị sai số giữa hàm phân

bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế màn chắn H(r) từ (2.5.1), (2.5.2), (2.5.3), (2.5.4),

(2.5.5), (2.5.6), với gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy :

R



R



 Với Γ =5 , Hình 2.9, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.3% tại

R



R



r = 1.5 , sai số vào khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.3 và 1.55 đến 2.75.



 Với Γ =10 , Hình 2.10, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.32% tại

R



R



r = 1.5 và 0.25% r = 2 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.3.



 Với Γ =20 , Hình 2.11, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.6% tại

R



R



r = 1.7 và 0.35% r = 2.4 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.75 đến 1.35.



 Với Γ =40 , Hình 2.12, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.65% tại

R



R



r = 1.7 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1 đến 1.5.



 Với Γ =80 , Hình 2.13, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.58% tại

R



R



r = 1.7 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.4 và 1.9 đến 2.75.



 Với Γ =160 , Hình 2.14, sai số giữa g(r) với g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.7% tại

R



R



r = 1.7 và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.5 và 1.9 đến 2.75.



Vậy với đa thức H(r) có dạng như (2.5), sai số nhỏ nhất đối với Γ =5 , Γ =10 vào khoảng

0.3%, sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 0.7%, và sai số 0.2% đối với khoảng cách nhỏ.

Bảng 2.4 Bảng giá trị h i của hệ thức (2.5) với Γ =5, 10, 20, 40, 80, 160 .

R



Γ

5

10

20

40

80

160



R



h0



10h 1



1.0804923

1.0918333

1.0917204

1.0860222

1.0803017

1.0762833



2.5840642

2.5389620

2.5120455

2.4942189

2.4974590

2.5141450



R



R



102 h2



103 h3



10 4 h4



3.9584621

3.5623856

3.4184609

3.3992424

3.4794594

3.5981992



3.1267730

2.4500381

2.2318324

2.2294658

2.3659143

2.5428171



0.9934581

0.6503162

0.5497304

0.5559611

0.6219339

0.7007523



103(g(r)-gMC(r))

Hình 2.9. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =5 , g(r) được suy



3



10 (g(r)-gMC(r))



ra từ (1.26) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.10. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =10 , g(r) được



103(g(r)-gMC(r))



suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.11. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =20 , g(r) được

suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



103(g(r)-gMC(r))

Hình 2.12. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =40 , g (r)



103(g(r)-gMC(r))



được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.13. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =80 , g(r)



103(g(r)-gMC(r))



được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



Hình 2.14. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =160 , g(r)

được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].



2.2.3 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 = 0.25

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 12, h 1 = 0.25 cho

R



R



trước để phù hợp với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết với H(r) được suy ra từ

hệ thức : H (r )

=



1 ln g (r )

, hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có

+

r

Γ



dạng sau :

H (r ) =0 + h1r 2 + h2 r 4 + h3r 6 + h4 r 8 + h5 r10 + h6 r12 , với h 1 = 0.25

h

R



R



(2.6)



Phần mềm Maple không cho đa thức luân phiên dấu.

2.2.4 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 tự do

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 12,

với H(r) được suy ra từ hệ thức : H (r )

=



1 ln g (r )

, hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu

+

r

Γ



MC [11]. Đa thức có dạng sau :

H (r ) =0 + h1r 2 + h2 r 4 + h3r 6 + h4 r 8 + h5 r10 + h6 r12 ,

h



(2.7)



 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =5



H (r ) =

1.08391437 − 0.26946603r 2 + 0.04977341r 4 − 0.00607427 r 6 +

0.00083242r 8 − 0.00006474r 10 + 0.00000219r 12



(2.7.1)



Hình 2.18 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế

màn chắn H(r) từ (2.7.1) với g MC (r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ =5 sai số giữa g(r) với

R



R



R



R



g MC (r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.24% tại r = 1.2 , r = 1.75 và sai số nhỏ khoảng 0.15% tại r từ

R



R



0.5 đến 1.1.



H(r)



Hình 2.15 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ =5 , đường liền

nét cho bởi hệ thức (2.7.1), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].