Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân

Trong Bảng 3.1 chỉ cho giá trị hệ số h 0 của một vài giá trị Γ , do đó mục đích của chương này là

R



R



tìm một biểu thức cho h 0 với mọi giá trị Γ . Để tính hệ số này, ta có thể sử dụng mô hình gần đúng cổ

R



R



điển, được trình bày trong phần 3.1 sau đây. Để có những kết quả chính xác hơn, ta phải xét đến hiệu

ứng lượng tử, được khảo sát ở phần 3.2 tiếp theo.

3.1. Giá trị của H(0) cổ điển

Ở phép tính gần đúng đầu tiên ta có thể dùng mô hình cổ điển, trong đó hai hạt nhân tương tác

được xem như các hạt cổ điển, các số liệu MC sử dụng trong phần này được thu thập bởi mô hình cổ

điển trên. Để tính các giá trị của hệ số h 0 này tương ứng với các tham số tương liên khác nhau, ta có thể

R



R



sử dụng một trong hai phương pháp:

Phương pháp 1:

Thu thập dữ liệu cho hàm phân bố xuyên tâm g (r ) từ các mô phỏng MC và suy ra giá trị cho thế

1 ln g (r )

.

+

r

Γ



màn chắn H (r ) từ hệ thức: H (r )

=



Mặt khác, tính đối xứng của bài toán cho phép ta viết thế màn chắn H (r ) dưới dạng đa thức

Widom có bậc chẵn, luân phiên dấu [25]:

H (r ) =0 − h1r 2 + h2 r 4 − h3 r 6 + ... ,

h



trong đó, hệ số Jancovici h 1 đã được chứng minh có giá trị chính xác: h1 = 0.25 [19].

R



R



Vì các mô phỏng MC không thể cho được các giá trị của g (r ) ở các khoảng cách liên ion quá

nhỏ nên ta bắt buộc phải sử dụng các phép tính ngoại suy để có được các biểu thức của h 0 tương ứng

R



R



với các giá trị khác nhau của tham số Γ.

Phương pháp 2:

Cách tiếp cận khác để tính được các giá trị của hệ số h 0 là sử dụng các hàm nhiệt động lực: Hệ

R



R



plasma được xem như gồm N − 2 ion và một phân tử lưỡng nguyên tử tạo bởi hai ion gần nhau đến một

khoảng cách nào đó. Ta có thể chứng minh rằng h 0 là hiệu số giữa năng lượng tự do của hệ plasma

R



R



trước và sau phản ứng. Sử dụng quy tắc hỗn hợp tuyến tính (linear mixing rule), ta có được:

h0 = 2 f ( Γ ) − f ( 25/ 3 Γ ) , với kí hiệu f (Γ) là năng lượng tự do của từng ion theo đơn vị của kT, và số



hạng 25/3 Γ tương ứng với tham số tương liên của hệ lưỡng nguyên tử [15]. Do giá trị của năng lượng tự

do f (Γ) được cung cấp trực tiếp từ các mô phỏng MC, ta có thể suy ra các hệ số h 0 . Sự tương đồng

R



R



giữa các kết quả thu được cho h 0 từ hai phương pháp trên đã được phân tích trong một công trình gần

R



đây [12].



R



3.1.1 Một số biểu thức h0 của các công trình gần đây

Trong phần này, tôi trình bày một số biểu thức h 0 của các công trình mới nhất:

R



R



Để có được hệ số h 0 cho plasma lưu chất loãng, các tác giả H. DeWitt và W. Slattery [12] đã sử

R



R



dụng các mô phỏng MC với 5 × 108 cấu hình cho 1000 ion với cách tiếp cận nhiệt động lực ở trên để

thu được biểu thức:

= h0 DWS (lm) −

h0 DWS



Φ DWS

100Γ



(3.1.1)



với:

h0= 1.056349 +

DWS (lm)



1.020822 1

− ( 0.274823ln Γ + 1.084312 ) ,

Γ 0.676936 Γ



Φ= 2.7 ln Γ + 4.8 .

DWS



(3.1.2)

(3.1.3)



Trong công thức (3.1.2), các hàm h0 DWS (lm) xuất phát từ kết quả của quy tắc xấp xỉ hỗn hợp

tuyến tính đã trình bày ở trên và hàm Φ DWS là kết quả của hiệu chính từ phép tính cho plasma nhiều

thành phần. Các hệ thức xấp xỉ (3.1.1, 3.1.2, và 3.1.3) ở trên tương đối phù hợp với các dữ liệu thu

được từ các mô phỏng MC với phương pháp

hỗn hợp tuyến tính thực hiện bởi chính các tác giả này, nhưng chỉ trong khoảng Γ ∈ [1, 20] .



h0



Hình 3.2 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.1.1),

chấm tròn là h0MC99.

Một hệ thức tương tự với (3.1.1, 3.1.2, và 3.1.3) cũng đã được các tác giả trên nêu ra trong một

công trình khác [13] :



= 1.056299 +

h0 DWS



1.039957 1

1

− ( 0.274823ln Γ + 1.084319 ) − ( 0.0271ln Γ + 0.048 ) ,

0.676936

Γ

Γ

Γ

(3.1.4)



và cũng cho kết quả có sai số lớn nhất vào khoảng 0.7% khi so sánh với các dữ liệu MC cung cấp bởi

chính công trình này, Hình 3.7.

Đây là các giá trị h 0 cho bởi công trình [13], từ giữ liệu MC và được xem là đúng nhất cho đến

R



RR



R



hiện nay.

Γ



10



20



40



80



160



h 0MC99 [13] 1.0994 1.0953 1.0879 1.0803 1.0737

R



R



R



h0



Hình 3.3 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.1.4),

chấm tròn là h0MC99.

Nhằm mục đích có được đồng thời kết quả h0 → 3Γ1/ 2 ở giới hạn của chế độ nhiệt hạt nhân cổ



>

điển tương ứng với Γ << 1 theo [23] và quy luật h0 = const đối với lưu chất Coulomb ( Γ  1 ), L. R.

Gasque et al đã đề nghị [17] :



h0G =



1.0754Γ1/ 2

1/ 4



 1.0754 



2



 +Γ 

3 









4



.



(3.2)



h0



Hình 3.4 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.2), chấm

tròn là h0MC99.

Gần đây hơn, khi quan tâm đến sự tổng hợp của các hạt nhân 12C và



16



O trong các sao, trên cơ



sở kết hợp phương pháp gần đúng WKB cho hiệu ứng đường ngầm lượng tử xuyên qua hàng rào thế

Coulomb tạo bởi hai hạt nhân tương tác và phương pháp thế của trường trung bình tĩnh (static mean

field potential) do các ion lân cận, các tác giả A. I. Chugunov và H. E. DeWitt đã thực hiện 129 mô

phỏng MC để thu được các dữ liệu cho plasma BIM được xem như chính xác nhất cho đến nay [10].

Trường hợp plasma OCP được suy ra từ hệ thức tổng quát, cho thấy ở vùng giá trị của tham số tương

liên mà ta quan tâm trong khuôn khổ của luận văn này, kết quả thu được là hoàn toàn tương thích với

thông báo trước đó thực hiện riêng biệt cho plasma OCP [9], hoặc với kết quả có được từ các mô phỏng

Monte Carlo sử dụng tích phân lộ trình (PIMC - Path Integral Monte Carlo) do Militzer và Pollock thực

hiện [21]. Theo [9], sự phụ thuộc của hệ số h 0 vào độ lớn của tham số tương liên được cho bởi:

R



R



 A1

A 

B3Γ

BΓ

h0CHU =

Γ1/ 2 

+ 3 + 1 +

 A + Γ 1 + Γ  B2 + Γ B4 + Γ 2

2







(3.3)



với:

3−

1.4515

A1 = 2.7822 , A2 = 98.34 , A3 = A1 / A2 = , B1 = −1.7476 , B2 = 66.07 , B3 = 1.12 , và B4 = 65 .



Đặc điểm của hệ thức (3.3), tương tự như trong [17], là ta có thể suy ra giá trị của h 0 tiệm cận

R



với lí thuyết Debye-Hückel vận dụng cho plasma liên kết loãng: h0CHU

=



3Γ1/2 ( Γ << 1 ).



R



h0



Hình 3.5 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.3),



103(h0DWS-h0MC99)



chấm tròn là h0MC99.



103(h0DWS-h0MC99)



Hình 3.6 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.1.1) với h0MC99 cho bởi công trình [13].



103(h0G-h0MC99)



Hình 3.7 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.1.4) với h0MC99 cho bởi công trình [13].



Hình 3.8 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.2) với h0MC99 cho bởi công trình [13].



103(h0CHU-h0MC99)

Hình 3.9 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.3) với h0MC99 cho bởi công trình [13].

Dựa vào đồ thị sai số Hình 3.6 và Hình 3.7 ta thấy hệ thức (3.1.1) và (3.1.4) cho giá trị h 0 có sai

R



R



số lớn đối với Γ = 1 → 20 , và sai số vào khoảng 0,3% đối với Γ 40 → 160 . Hình 3.8, hệ thức (3.2)

=

chỉ cho giá trị tương đối chính xác của h 0 với Γ ≥ 80 , còn đối với các giá trị khác của Γ, sai số là khá

R



R



đáng kể. Tuy nhiên theo các tác giả, các sai số trên là chấp nhận được nếu so sánh với sai số do phép

tính thừa số vật lí thiên văn S(ε).

Khảo sát sự tương hợp giữa hệ thức (3.3) ở trên với các dữ liệu MC của H. DeWitt và W.

Slattery [13], ta thấv sai số của h 0 là khoảng 0.13% cho các giá trị của Γ ≥ 10 , (Hình 3.9), hoàn toàn

R



R



chấp nhận được khi so sánh với sai số của mô phỏng MC. Trên cơ sở đó, ta có thể xem như hệ thức

(3.3) cho ta các giá trị của h 0 tương ứng với mọi giá trị của tham số Γ.

R



R



3.1.2 Biểu thức đề nghị cho h0

Trong luận văn này, chúng ta sẽ chấp nhận các giá trị số của hệ số h 0 cho bởi [13], tức là các giá

R



R



trị ở cột thứ ba của Bảng 3.1, do sự tương thích giữa các số liệu này với hệ thức (3.3) như đã trình bày

ở trên, tức là kết quả chính xác nhất hiện nay. Nội dung phần này của luận văn cũng đã được trình bày

tóm tắt trong một bài báo đã đăng [3].

Để thấy rõ mối quan hệ trong việc tính toán hệ số khuếch đại phản ứng hạt nhân trong trường

hợp tổng quát cho plasma nhiều thành phần (MCP - Multicomponent Plasmas) và plasma OCP, đồng

thời, để có sự tương thích với phương pháp sử dụng quy tắc hỗn hợp tuyến tính, chúng tôi đề nghị hệ

thức sau cho h 0 :

R



R



= h0 (lm) −

h0

trong đó:



Φ

100Γ



(3.4.1)



= 1.056299 +

h0 (lm)



1.039957 1

− ( 0.274823ln Γ + 1.084319 ) (3.4.2)

Γ 0.676936

Γ



và:



=

Φ



5



∑ ak (ln Γ)k



(3.4.3)



k =0



Các hệ số a k được cho bởi Bảng 3.2 dưới đây :

R



R



Bảng 3.2 Các hệ số của công thức (3.4.3).

a0

6.69370

R



a1

−0.69922

R



a2

−2.80549

R



a3

1.95369

R



a4

−0.43372

R



a5

0.03298

R



h0



Hình 3.10 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.4.1),

chấm tròn là h0MC99.

Như có thể thấy được trên Hình 3.10, các hệ thức xấp xỉ (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3) ưu tiên cho vùng

plasma đậm đặc, có tham số tương liên Γ ≥ 1 , là nội dung quan trong của luận văn này. Giá trị cực đại

của hệ số h 0 là vào khoảng 1.0994 tương ứng với Γ =9.6 .

R



R



Trên Hình 3.7, ta thấy sai số phạm phải giữa hệ thức (3.1.4) và các dữ liệu MC [13] lớn nhất

tương ứng với Γ =10 và giảm dần khi Γ tăng, trong khi theo tính toán của chúng tôi, sai số giữa các hệ

thức đề nghị (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3) và cũng với các dữ liệu MC này là bằng không. Đồng thời, cũng

cần chú ý rằng, theo (3.4.3), dáng điệu biến thiên của hàm Φ lệch khá xa khỏi dạng tuyến tính (3.1.3)

đề nghị bởi [12].



Các giá trị của h 0 tương ứng với một số giá trị của tham số Γ được trình bày trên Bảng 3.4: Ở

R



R



cột thứ hai, ta có các giá trị cho bởi mô phỏng MC từ công trình [13], trong khi ở các cột thứ ba, thứ tư,

và thứ năm lần lượt là các giá trị có được từ các hệ thức (3.1.4), (3.2), và (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3). Ở cột

thứ sáu, ta có các giá trị của h 0 từ công thức xấp xỉ đơn giản sau đây, được thiết lập nhằm mục đích tạo

R



R



nên sự tương thích với công thức tính thế màn chắn đã thu được trong [1], và cũng để thuận tiện trong

việc thực hiện chương trình trên máy tính:

=

h0



với các hệ số b k cho bởi Bảng 3.3.

R



5



∑ bk (ln Γ)k ,



(3.5)



k =0



R



Bảng 3.3 Các hệ số của công thức (3.5).

b0

0.9450000



b1

0.1993204



R



R



b2

−0.0959109

R



b3

0.0218715

R



b4

−0.0025140

R



b5

0.0001177

R



Bảng 3.4 Các giá trị của hệ số h0 trích từ [13, 17], hệ thức (3.1.4) và từ

công trình này.

Γ



h 0MC99 [13]



1

10

20

40

80

160



0.9450

1.0994

1.0953

1.0879

1.0803

1.0737



R



R



h 0DWS

(3.1.4)

0.9639

1.0924

1.0913

1.0858

1.0792

1.0731

R



R



h 0G (3.2)



h 0 (3.4.1)



h 0 (3.5)



1.0388

1.0750

1.0753

1.0754

1.0754

1.0754



0.9450

1.0994

1.0953

1.0879

1.0803

1.0737



0.9450

1.0994

1.0953

1.0879

1.0803

1.0737



R



R



R



R



R



R



h0



Hình 3.11. Đồ thị h0 cho bởi hệ thức (3.5).

Tương tự như với các hệ thức (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3), sai số giữa (3.5) và các dữ liệu MC cho

bởi công trình [13] là rất nhỏ như ta có thể nhận xét ở Bảng 3.4.



h0



Hình 3.12. Biến thiên của h0 theo lnΓ. Chấm tròn là dữ liệu MC [13]. Đường

liền nét là hệ thức đề nghị (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3). Đường đứt nét là hệ thức

(3.1.4) từ [13], và đường gạch chấm là hệ thức (3.2) từ [17].

3.2. Giá trị của H(0) lượng tử

Vì một số phản ứng áp suất hạt nhân có thể xảy ra trong điều kiện nhiệt độ thấp, nên tác dụng

lượng tử trở nên quan trọng. Ở phần 3.1 trên ta đã sử dụng mô hình cổ điển, vậy, để có kết quả chính

xác hơn ta cần phải hiệu chỉnh hệ số H(0), tức là phải để ý đến hiệu ứng lượng tử của hai hạt nhân

tương tác.

Trong phần này, ta sẽ trình bày các khái niệm tổng quát trước khi phân tích các kết quả liên

quan. Cuối cùng là phần dành cho các kết quả thu được trong luận văn này.

3.2.1 Tổng quát

Trong cơ học sóng, ta có hệ thức tính bước sóng de Broglie: λ =



h

, với p là độ lớn xung lượng

p



p2

h2

của hạt có khối lượng m, liên quan đến năng lượng ε qua:= =

. Do năng lượng chuyển

ε

2m 2mλ 2

động nhiệt của hạt được tính vào khoảng: ε = π kT (k: hằng số Boltzmann, T: nhiệt độ), ta định nghĩa

bước sóng nhiệt de Broglie như sau:



λd =



h

.

2π mkT



(3.6)



Ý nghĩa vật lí của bước sóng nhiệt de Broglie λd là đại lượng này biểu thị cho khoảng cách kể

từ đó, hiệu ứng lượng tử trở nên không thể thiếu được nếu ta muốn các kết quả tính được có độ chính

xác cao hơn đối với các tính toán áp dụng mô hình gần đúng cổ điển [2]. Cụ thể hơn, mô hình cổ điển

sẽ có hiệu lực nếu khoảng cách giữa hai ion lớn hơn λd . Nhưng nếu khoảng cách này bắt đầu gần hoặc

nhỏ hơn λd , tính sóng của các hạt phải được chú ý để có các kết quả gần với thực tại hơn.

Ta đã biết rằng đối với plasma OCP cổ điển, chỉ cần một tham số Γ để mô tả tính chất vật lí của

plasma. Tuy nhiên, trong thực tế, khi hai hạt nhân thực hiện phản ứng tổng hợp thì theo quan điểm

lượng tử, quá trình tương tác đường ngầm của một cặp hạt bắt đầu xảy ra trong khi mỗi hạt thực hiện

những biến động (fluctuations) về vị trí trong một khối cầu có bán kính vào cỡ bước sóng nhiệt de

Broglie. Khi này, cả nhiệt độ và mật độ vật chất đều phải được tính đến và nhất thiết phải đưa vào tham

số lượng tử đặc trưng cho tính sóng của hai hạt nhân tham gia phản ứng:



η=

trong đó, rs =



Γ

,

rs



(3.7)



a

là khoảng cách tương đối giữa hai ion tương tác tính theo đơn vị a B (bán kính Borh

aB

R



R



cho ion). Khi r s càng nhỏ, khả năng bao phủ nhau của hai hạt nhân càng lớn và như vậy hiệu ứng lượng

R



R



tử càng trở nên quan trọng.

Mặt khác, với định nghĩa của bước sóng nhiệt de Broglie λd , ta có thể viết lại :



η = 2π



λd2

a2



.



(3.8)



Hệ thức trên cho thấy tham số η có thể biểu thị cho tầm quan trọng của hiệu ứng lượng tử: Nếu

giá trị của η càng lớn, tính chất lượng tử của quá trình tương tác càng trở nên đáng chú ý hơn.

Ngoài ra, một số tác giả cũng sử dụng tham số ζ được định nghĩa:

1



1



 4Γ 2  3  4

3

ζ

=  2 =  2 Γη  .





 π rs   π



(3.9)



để thuận tiện cho việc tính toán.

Đối với bức tranh lượng tử, hai hạt nhân thực hiện phản ứng tổng hợp khi hai hàm sóng tương

ứng với hai hạt nhân bắt đầu bao phủ nhau. Ta có thể minh họa hình ảnh của quá trình tổng hợp của hai

hạt nhân theo quan điểm sóng như trên Hình 3.13.



a



a

+Ze



+Ze



Hình 3.13 Hai bó sóng tương ứng với hai hạt

nhân bắt đầu thâm nhập nhau để bắt đầu cho

một phản ứng tổng hợp.

3.2.2 Một số công trình nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng lượng tử trong phản ứng áp suất hạt

nhân

Ngay từ năm 1977, Alastuey và Jancovici [4] đã có những kết quả từ tính toán lí thuyết cho hiệu

suất phản ứng tổng hợp hạt nhân trong điều kiện mật độ cao dưới tác dụng lượng tử. Các mô phỏng cho

bài toán này sử dụng tích phân lộ trình MC (PIMC - Path Integral MC) đã thực hiện đầu tiên bởi Ogata

[22]. Kết quả gần nhất trong lĩnh vực liên quan đến vấn đề này là mô phỏng PIMC của Militzer và

Pollock (2004) [20] cũng như các hệ thức liên quan được trình bày bởi Chugunov et al [9].

Đây là kết quả từ các mô phỏng Monte Carlo sử dụng tích phân lộ trình (PIMC - Path Integral

Monte Carlo) do Militzer và Pollock thực hiện [20] :