* Đa thức đặc trưng
của ma trận
là
. Giải phương trình đặc trưng
, ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của ma trận
là
.

n



n



A  PD P



1



1 0 0   2

 0 0 1  0





0 1 1  0





2n

0



0

3n

 0 3n  2n





0 0  1 0

2 0  0 1



0 3  0 1



0



0

2n 





0

1



0





a22 (n)

3n

 lim n

 1.

n  a ( n)

n 3  2 n

32



a) Ta có a22 (n)  3n , a32 ( n)  3n  2n và do đó lim

3



3



b) Ta có S   aij ( n)  2n  3n  3n  2n  2n  2n  2·3n .

i 1 i 1



II. Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận

của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo.

Ví dụ:

Cho T là toán tử tuyến tính trên 3 xác định bởi

T ( x1 , x2 , x3 )  (2 x1  4 x2  3 x 3 , 4 x1  6 x2  3 x3 , 3 x1  3 x2  x3 )



Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T.

Giải

Ma trận của toán tử tuyến tính trên 3 đối với cơ sở chính tắc của 3 là:

2 4 3

A   4 6 3





3 3 1







Đa thức đặc trưng của ma trận A là f A (t )  t 3  3t 2  4  (t  1)(t  2) 2 .

Giải phương trình đặc trưng f A (t )  0 ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A

có hai giá trị riêng là   1;   2 . Khi tìm cơ sở của các không gian riêng E A (1) và E A (1) ta

được:

1

 1

 1 và cơ sở của E (2) là u   1  .

Cơ sở của E A (1) là u1   

2

A

 

1

0

 

 



Vậy f không chéo hóa được.

Chú ý:

Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính f : V  V , ta quy về việc nghiên cứu ma trận

của f. Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Để

tìm cơ sở này ta thực hiện như sau:

- Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f.

- Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở

nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo.

- Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở

B của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo. Cụ thể:



 1 0

0 

2

A/ B  

 ... ...



0 0



... 0 

... 0 

 với  ,  ,...,  là các giá trị riêng ứng với các vector riêng  .

1

2

n

i

... ... 



... n 



(Các i có thể trùng nhau).

Ví dụ:

Trong 3 cho cơ sở u1  (1,1,1); u2  (1,1, 0); u3  (1, 0, 0) và một phép biến đổi tuyến tính

f :  3   3 sao cho:

f (u1 )  (4, 3, 2); f (u2 )  (4,3,1); f (u3 )  (1, 0, 0)



a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm f ( x1 , x2 , x3 )

b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo.

Hướng dẫn:

a) Gọi x  ( x1 , x2 , x3 )  3 , giả sử x  a1u1  a2u2  a3u3

Xét hệ

1 1 1 x1  1 1 1 x1  1 1 1 x1  1 1 0 x2  1 0 0 x3 



 

 

 

 



1 1 0 x2    0 0 1 x1  x2    0 1 1 x1  x3   0 1 0 x2  x3    0 1 0 x2  x3 

1 0 0 x3   0 1 1 x1  x3   0 0 1 x1  x2  0 0 1 x1  x2   0 0 1 x1  x2 



 

 

 

 





a1  x3



Suy ra, a2  x2  x3

a  x  x

1

2

 3



Ta có:

4

4

1 

 3   x  x  3   x  x  0   ( x  3 x , 3x , x  x )

f ( x )  a1 f (u1 )  a2 f (u2 )  a3 f (u3 )  x3

1

2

2

2

3

   2 3   1 2 

2

1 

0 

 

 

 



b) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là:

1 3 0 

A  0 3 0





0 1 1 





1 

3

0

0  (1   )2 (3   )

Xét PA ( )  0 3  

0

1

1 



Suy ra PA ( )  0    1    3

Do đó, f có hai giá trị riêng là   1,   3 .

Ứng với giá trị riêng   1 , xét hệ pt:

0 3 0 0 0 1 0 0



 



A  0 2 0 0  0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0



 





Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:



 x1  a  



 x2  0

x  b  

 3



Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là 1  (1, 0, 0); 2  (0, 0,1) .

Ứng với giá trị riêng   3 , xét hệ pt:

2 3 0 0  2 3 0 0 



 



 0 0 0 0    0 1 2 0 

 0 1 2 0   0 0 0 0 



 





Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số:

 x1  3t



 x2  2t

x  t  

 3



Vector riêng ứng với giá trị riêng   3 là  3  (3, 2,1)

Do f có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên f chéo hóa được và cơ sở B  (1 ,  2 ,  3 ) là cơ

sở mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo là:

1 0 0 

0 1 0 





0 0 3 







1. Bài tập:

1. Cho toán tử f :  3  3 xác định bởi:

f ( x1 , x2 , x3 )  (3 x1  2 x2 , 2 x1  3 x2 ,5 x3 )



Toán tử f có chéo hóa được không? Tìm cơ sở của  3 mà trong cơ sở ấy f có dạng chéo

(nếu có).

Hướng dẫn:

Tìm ma trận A của f đối với một cơ sở nào đó, có thể chọn cơ sở chính tắc để đơn giản.

Sau đó, tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A.

Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận.

2. Trong  3 cho cơ sở gồm các vector u1  (1,1,1); u2  (1, 2,1); u3  (1,3, 2) . Gọi

f :  3   3 là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (u1 )  (0,5,3); f (u2 )  (2, 4,3); f (u3 )  (0, 3, 2) .

a) Hãy tìm công thức của f.

b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.

Hướng dẫn:

Làm tương tự như ví dụ.

3. Hãy chéo hóa (nếu có thể) các toán tử tuyến tính f :  3   3 cho sau đây:

a) f (x, y, z) = (x + y, 2y + z, 2y + 3z)

b) f (x, y, z) = (x + y, y + z, -2y – z)

c) f (x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, -x + y + z)

d) f (x, y, z) = (x – y, y – z, x + z)

III. Dạng chính tắc Jordan:

1. Tìm dạng chính tắc của 1   ma trận:



Hãy tìm dạng chính tắc của các   ma trận sau:

2



 1 

a) 



0 



  1

 1 



2

   1   2  1



b) 



0 





 0   5



c) 



 1 0 0 

0  1 0



d) 

0 0  1





0 0 0  



Hướng dẫn:

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về dạng chính tắc.

a) Ta có:

0 

  1  c  c  1   d  d   d  1   c c   c  1





 0      0   0  2   0  2   

















1



2



2



2



1



2



2



1



0 

1

d 2  d 2

 





2

0    



Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.

2. Tìm dạng Jordan của một ma trận:

Hãy tìm dạng Jordan của các ma trận sau (bằng cách đưa A   I về dạng chính tắc và suy

ra ma trận J đồng dạng với A).

 0 1 0

a) A   4 4 0 





 2 1 2 







 2 6 15

b) 1 1 5 





 1 2 6 







 9 6 2 

c) 18 12 3





18 9 6 







1

 2

d) 

0



 1



3

6

3

4



0 3

0 13



1 3



0 8



 3 4 0 2 

 4 5 2 4 



e) 

 0 0 3 2 





 0 0 2 1



Hướng dẫn:

a) Xét ma trận A   I

1

0   1



0  1



0 

 

 4 4  

   4   4

   0 4   (4   )

A

0  

0  

0 



 2

1

2    1

2 2     0

2  

2  



 

 





0  1



0  1



0

1



 0   2  4  4

  0

   0 2  





0  

2  

2   

2



0

2  

2    0  2  4  4

0  0

0

(2   )(  2) 



 

 



0

0

0

0

1

 1



 0 2  

   0 2  





2

0

 



0

0

(2   )(  2)  0

0

(2   )(  2) 



 





Dạng Jordan của ma trận A là:

2 0 0 

0 2 0 





 0 0 2 







b) Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.

Bài tập về ma trận đồng dạng:



1) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K . Chứng minh rằng

a) det A  det B .

b) rankA  rankB .

c) tr( A)  tr( B) .

Hướng dẫn:

Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP 1 .

a) det A  det( PBP 1 )  det P·det B·P 1  det P·det P 1 det B  det B .

b) rankA  rank ( PBP 1 )  rank ( P ( BP 1 ))  rank ( BP 1 )  rankB .

c) tr( A)  tr( PBP 1 )  tr(( PB ) P 1 )  tr( P 1 ( PB ))  tr( P 1 PB )  tr( B ) .

Sinh viên tìm ví dụ minh họa.

2) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K . Chứng minh rằng

a) Ak và B k đồng dạng.

b) f ( A) và f ( B) đồng dạng với mọi f (t )  K [t ] .

c) A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich.

d) Nếu A khả nghịch thì AB và BA đồng dạng.

Hướng dẫn:

a) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP 1 . Ta có

A k  ( PBP 1 ) k  ( PBP 1 )( PBP 1 ) ( PBP 1 )  PB k P 1 . Vậy Ak và B k đồng dạng. 0,5đ

b) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP 1 .

k



k



k



Giả sử f (t )   ai t i  K [t ] . Khi đó f ( A)   ai Ai , f ( B)   ai B i và

i 1



i 1



k



f ( A)   ai Ai

i 1



k



i 1



k



  ai ( PBP 1 )i   ai ( PB i P 1 )

i 1



i 1



k



 k



  P (ai B i ) P 1  P   ai B i  P 1

i 1

 i 1



1

 Pf ( B ) P

Vậy f ( A) và f ( B) đồng dạng.

c) Do A và B đồng dạng nên det A  det B . Khi đó det A khác 0 khi và chỉ khi det B

khác 0. Do đó A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich.

d) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A  PBP 1 . Nếu A

khả nghịch thì AB  ( AB )( AA 1 )  A( BA) A 1 . Do đó AB và BA đồng dạng.



Sinh viên cho ví dụ minh họa.

3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến

thì AB và BA đồng dạng.

4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính

nó.

5) Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng A   I đồng

dạng với B   I :

 3 2 5 

 6 20 34 

 2 6 10  và B   6 32 51

a) A  







1 2 3 

 4 20 32 









6 6 15

 37 20 4 

1 5 5  và B   34 17 4 

b) A  







 1 2 2 

119 70 11











6) Chứng minh rằng:

a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này

là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan.

b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ

sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan.

7) Chứng minh rằng:

a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức  thì mọi phép biến đổi tuyến tính của

V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều.

b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực  thì mọi phép biến đổi tuyến tính của

V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều.