CHƯƠNG 1: LỜI GIẢI BÀI TOÁN PHÂN LƯU BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTE

8



Hình 1.2: Sơ đồ hình học nhánh sông phân lưu

Với các giả thiết đơn giản cho ở trên, bài toán đặt ra là tìm tỷ lệ phân chia lƣu

lƣợng (Q2/Q1) từ nhánh sông thƣợng du sang hai nhánh sông phân lƣu phía dƣới hạ

du. Trên cơ sở đó tìm ảnh hƣởng của thông số đến tỷ lệ phân chia lƣu lƣợng.

Để giải bài toán này ta xét phƣơng trình Saint – Venant dạng một chiều nhƣ sau

[7]:

Q   Q 2 

 Z

 

 Sf

  gA 

t x  A 

 x





0





(1.1)



Trong đó:

Q= Q(x,t) – lƣu lƣợng của dòng chảy trong đoạn sông

Z= Z(x,t) – độ cao mực nƣớc trong đoạn sông

x: khoảng cách dọc theo kênh hoặc sông

t: thời gian

A: diện tích mặt cắt ngang

g: gia tốc trọng trƣờng

β: là hệ số động lƣợng

Sf: độ dốc ma sát: S f 



n 2Q Q

A2 R 4/3



R: bán kính thủy lực

n: hệ số nhám Manning

Giả thiết rằng dòng chảy trong kênh là dòng chảy dừng, kênh có mặt cắt hình chữ

nhật, độ rộng là B, độ sâu cột nƣớc là H.



9

Khi đó bán kính thủy lực đƣợc tính bằng [2]: R 



BH

B  2H



(1.2)



Ở đây H= Z-Zb

Zb: độ cao đáy sông.

Trong một mặt cắt thực tế thì độ sâu cột nƣớc H nhỏ hơn rất nhiều lần so với chiều

rộng mặt cắt B nên có thể tính xấp xỉ công thức (1.2) thành R= H [2].

Với điều kiện dòng chảy dừng nên



Q

0

t



Chọn hệ số động lƣợng   1

Diện tích mặt cắt ngang A= B*H

Gọi q =Q/B là lƣu lƣợng dòng chảy trên một đơn vị chiều dài

Khi đó (1.1) trở thành:



d  q2 B2 

dH

n2 q 2 





  gBH   I 

0

dx  BH 

dx H 2 H 4/3 









q 2 B dH

dH

n2q 2 

 gBH   I 

 2 4/3   0

H 2 dx

dx H H 





q 2 dH 

dH n 2 q 2 



  I 



0

gH 3 dx 

dx H 10/3 



Cuối cùng ta thu đƣợc phƣơng trình:

n2 q 2

dH

H 10/3



q2

dx

1

gH 3

I



(1.3)



Trong đó: I  dZb dx : độ dốc đáy sông

Phƣơng trình (1.3) là phƣơng trình vi phân thƣờng bậc nhất mô tả mối quan hệ

giữa mực nƣớc và lƣu lƣợng trong một đoạn sông dòng chảy dừng có mặt cắt hình chữ

nhật. Dạng tổng quát của phƣơng trình (1.3) đƣợc viết nhƣ sau:

dH

 f H , x 

dx



(1.4)



Phƣơng trình này đƣợc giải với điều kiện ban đầu H(Lb)=Hb. Ở đây Lb và Hb là

điều kiện cho mực nƣớc ở cuối phân lƣu.

Giải phƣơng trình vi phân này có rất nhiều cách khác nhau mà phƣơng pháp

Runge – Kutta là một trong các cách giải đó.



10

Để áp dụng phƣơng pháp Runge – Kutta, phƣơng trình (1.4) có thể viết dƣới dạng:

dy

 f  y, t 

dt



(1.5)



Với điều kiện ban đầu y(0)= y0.

Phƣơng pháp Runge – Kutta bậc 4 đƣợc sử trong luận văn này [1]. Theo đó (1.5)

đƣợc xấp xỉ nhƣ sau:

h

yn1  yn  (k1  2k2  2k3  k4 ), n  0,1, 2,...

6



(1.6)



Trong đó

k1  f ( yn , t n );

hk1

h

, tn  );

2

2

hk

h

k3  f ( yn  2 , tn  );

2

2

k4  f ( yn  hk3 , tn ).

k 2  f ( yn 



(1.7)



Nhƣ vậy giá trị tiếp theo của hàm yn+1 đƣợc xác định bằng giá trị hiện tại của hàm

yn cộng với trung bình các hệ số trung gian ki, i= 1, 2, 3, 4 theo giá trị của hàm số f tại

các điểm trƣớc đó.

Phƣơng pháp Runge – Kutta áp dụng cho một đoạn sông với điều kiện biên cho

mực nƣớc tại cửa sông đƣợc mô tả nhƣ sau:

1. Chia đoạn sông thành n đoạn khi đó h = dx= L/n (L: chiều dài sông, n: số đoạn

chia sông, x= 0 tại cửa sông).

2. Tại n= 0, H1 = Hb đã biết theo điều kiện biên cho mực nƣớc tại cửa sông.

3. Tính các hệ số trung gian k1, k2, k3, k4 theo công thức (1.7).

4. Tính giá trị Hn+1 theo công thức Runge – Kutta bậc 4 ở trên theo công thức

(1.6):

H n1  H n 



1

 k1  2k2  2k3  k4 

6



Đối với bài toán phân lƣu, với giả thiết dòng chảy ổn định nên lƣu lƣợng dọc theo

nhánh chính là không đổi. Do đó tổng lƣu lƣợng đầu vào của hai nhánh phân lƣu là đã

biết.

Giả sử Q1 là lƣu lƣợng phân lƣu sang nhánh sông thứ nhất, Q2 là lƣu lƣợng phân

lƣu sang nhánh sông thứ hai, thì lƣu lƣợng đầu vào sẽ đƣợc tính là Q= Q1 + Q2.

Vì bài toán đặt ra là tìm tỷ lệ phân lƣu nên ta chỉ cần tính đƣợc Q1 và Q2 của hai

nhánh sông phía dƣới hạ du. Áp dụng phƣơng trình (1.3) cho hai nhánh sông này ta có:



11

n 2 q2 2

n12 q12

I 2  2 10/3

I1  10/3

dH 2

H2

dH1

H1





và

2

q2

dx

q

dx

1 2 3

1 1 3

gH 2

gH1



Trong đó:

I1, I2: là độ dốc đáy sông lần lƣợt của nhánh thứ nhất, nhánh thứ hai

q1, q2: lƣu lƣợng trên một đơn vị độ dài của nhánh thứ nhất, nhánh thứ hai

n1, n2: hệ số Manning nhánh thứ nhất, nhánh thứ hai

g: gia tốc trọng trƣờng

Hai phƣơng trình trên đƣợc xem xét với điều kiện biên có mực nƣớc ở cuối nhánh

phân lƣu (cửa ra): H1(0)= Hb1 ; H2(0)= Hb2.

Tại phân lƣu ta có tổng lƣu lƣợng phân lƣu sang hai nhánh sông bằng với lƣu

lƣợng vào tại thƣợng du:

Q= Q1+Q2



(1.8)



hay

Bq= B1q1+ B2q2

Mặt khác, tại vị trí phân lƣu đáy sông có cùng một độ cao nên độ sâu cột nƣớc của

hai nhánh sông tại phân lƣu là bằng nhau: Hp1l= Hpl2= Hpl. Điều kiện này sẽ đƣợc sử

dụng kết hợp với (1.4) và phƣơng pháp lặp để tính ra Q1 và Q2.

1.1.2. Thuật toán giải bài toán phân lưu bằng Runge – Kutta

Để giải đƣợc bài toán phân lƣu này, ta cần tìm lƣu lƣợng phân sang nhánh thứ nhất

và lƣu lƣợng phân sang nhánh thứ hai. Tỷ lệ phân lƣu sẽ đƣợc biết đến nhƣ là hệ số

phân lƣu dòng chảy tại điểm phân lƣu.

Phƣơng pháp giải đƣợc tiến hành nhƣ sau:

Giả thiết rằng lƣu lƣợng phân sang nhánh thứ nhất q1 là đã biết. Khi đó, phƣơng

pháp Runge – Kutta đƣợc áp dụng cho đoạn sông này để giải phƣơng trình (1.3). Ta

tìm đƣợc độ sâu mực nƣớc tại điểm phân lƣu sang nhánh đó là Hpl1.

Từ công thức (1.8) có:



Q  Q1  Q2

Bq  B1q1  B2 q2

q2 



Bq  B1q1

B2



(1.9)



12

Do tổng lƣu lƣợng trƣớc phân lƣu đã biết nên lƣu lƣợng phân lƣu sang nhánh còn

lại q2 cũng tính đƣợc theo công thức (1.9).

Phƣơng pháp Runge – Kutta lại đƣợc áp dụng cho đoạn sông thứ hai để tìm ra giá

trị độ sâu mực nƣớc của đoạn tại vị trí phân lƣu nàyHpl2.

Vì độ sâu mực nƣớc tại điểm phân lƣu sang hai nhánh sông phải luôn bằng nhau

nên từ điều kiện Hpl1= Hpl2 chúng ta có thể tìm đƣợc giá trị q1 và q2 thỏa mãn bài toán

bằng phƣơng pháp giải lặp lại giá trị q1 nhƣ sau:

Tính độ chênh lệch mực nƣớc giữa hai nhánh sông tại điểm phân lƣu

  H pl1  H pl 2 .

Có thể nhận thấy rằng lƣu lƣợng tỷ lệ thuận với mực nƣớc, nếu Hpl1 lớn hơn Hpl2

thì lƣu lƣợng phân sang nhánh thứ nhất đang là lớn hơn so với giá trị phân lƣu đúng và

ngƣợc lại. Do đó giá trị q1 có thể điều chỉnh nhƣ sau:

q1  q1  



  0 là hệ số điều chỉnh tốc độ hội tụ. Nhƣ vậy khi điều kiện tại điểm phân lƣu

đƣợc thỏa mãn thì giá trị lƣu lƣợng tại bƣớc tính đó chính là giá trị cần tìm. Vòng lặp



sẽ dừng lại khi  nhỏ hơn một giá trị nhỏ >0 cho trƣớc.

Sơ đồ tính toán đƣợc thể hiện cụ thể hơn trong hình 1.3 dƣới đây.

Để giải đƣợc phƣơng trình (1.3) theo Runge – Kutte, các thông số về độ dốc đáy

sông I, và hệ số nhám Manning n cần phải đƣợc biết. Trong thực tế độ dốc đáy sông I

và hệ số nhám n là những thông số rất khó để xác định chính xác nên khi tính lƣu

lƣợng phân lƣu Q1, Q2 thì hai hệ số này đƣợc xét là những thông số có ảnh hƣởng đến

sự phân chia lƣu lƣợng phân lƣu hay nói cách khác I và n là hai thông số ảnh hƣởng

tới tỷ lệ phân lƣu.

Ngoài ra chiều dài nhánh sông L, chiều rộng sông B và độ sâu mực nƣớc tại hạ du

Hb cũng có ảnh hƣởng tới phân lƣu sang hai nhánh sông.

Chƣơng trình giải bài toán đặt ra đã đƣợc thiết lập bằng ngôn ngữ lập trình Fortran

(xin xem ở phần phụ lục).

Lời giải bằng phƣơng pháp số của bài toán có thể đƣợc xem nhƣ một lời giải chính

xác vì sai số của phƣơng pháp Runge – Kutta ở đây chỉ phụ thuộc vào dx. Kết quả thể

hiện điều này đƣợc thể hiện rõ hơn trong phần kết quả tính toán phía dƣới đây.



13

CTC



q1



q2



Hpl1,Hpl2

  H pl1  H pl 2



q1  q1    



 

sai

đúng

q1, q2



KT



Hình 1.3: Lưu đồ thuật toán giải bài toán phân lưu

1.2. Kết quả của bài toán

1.2.1. Số liệu áp dụng

Với mục đích nghiên cứu các thông số ảnh hƣởng đến phân lƣu dòng chảy trong

thực tế và kết hợp với những phân tích ở trên, ta sẽ xem xét đến tỷ lệ phân lƣu phụ

thuộc vào các yếu tố sau:

Tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc lƣu lƣợng đầu vào trên thƣợng du 2 nhánh sông

Tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc bề rộng các nhánh sông

Tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc độ dốc đáy sông

Tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc chiều dài đoạn sông

Tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc hệ số Strickler hay hệ số nhám

Tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc độ sâu mực nƣớc tại cửa ra

Trong luận văn, bộ số liệu đƣợc dùng để nghiên cứu có các thông số thay đổi nhƣ

sau:



14

1. Độ dốc đáy sông thay đổi từ 0.00002 đến 0.0003

2. Độ dài đoạn sông thay đổi từ 5000m đến 35000m

3. Hệ số nhám thay đổi từ n= 0.01 đến n= 0.08

4. Độ sâu mực nƣớc tại cửa ra từ 4m đến 7m

Trong mỗi trƣờng hợp nghiên cứu, các thông số khác giữ nguyên giá trị đã đƣa ra,

thông số đang xét sẽ đƣợc thay đổi xung quanh giá trị tham chiếu. Lƣu lƣợng dòng

chảy đổ vào nhánh sông chính trên thƣợng du dao động từ khoảng 2500m3/s đến

10500m3/s.

1.2.2. Ảnh hưởng của các thông số

a. Ảnh hưởng của độ dốc

Bài toán này đƣợc xem xét với các thông số nhƣ sau:

Nhánh 1: Các thông số chính không thay đổi nhƣ sau:

-



Độ dốc là: 0.0001



-



Chiều dài là: 15000m



-



Bề rộng là: 500m



-



Hệ số nhám là: 0.025



-



Mực nƣớc đầu cuối (cửa ra): 5m



Nhánh 2: Độ dốc của nhánh thay đổi, các thông số khác giữ nguyên

-



Độ dốc thay đổi từ 0.00002 đến 0.0003



-



Chiều dài L= 15000m



-



Bề rộng là: 500m



-



Hệ số nhám n= 0.025



-



Mực nƣớc đầu cuối (cửa ra) H= 5m



Tổng lƣu lƣợng đầu vào thay đổi từ 2500m3/s đến 10500m3/s.



15

Tỷ lưu phụ thuộc độ dốc

3

Q= 2500m3/s

Q= 4500m3/s

Q= 6500m3/s

Q=8500m3/s

Q= 10500m3/s



2.5



Q2/Q1



2

1.5

1

0.5



0

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04 3.00E-04 3.50E-04

I



Hình 1.4: Biến thiên tỷ lệ phân lưu phụ thuộc vào độ dốc và lưu lượng vào

Mực nước dọc theo hai nhánh hạ du ứng với lưu lượng 2500m3/s

7

6



H(m )



5

4

nhánh 1 (Q=2500m3/s,I=0.004%)

3



nhánh 2 (Q=2500m3/s,I=0.004%)



2



nhánh 1 (Q=2500m3/s,I=0.01%)



1



nhánh 2 (Q=2500m3/s,I=0.01%)



0

0



5



10



15



L(km )



Hình 1.5: Mực nước dọc theo hai nhánh hạ du ứng với lưu lượng 2500m3/s



16



Mực nước dọc theo hai nhánh hạ du ứng với lưu lượng 8500m3/s

8

7

6



H(m )



5

4



nhánh 1(Q=8500m3/s,I=0.004%)



3



nhánh 2(Q=8500m3/s,I=0.004%)



2



nhánh 1(Q=8500m3/s,I=0.01%)



1



nhánh 2(Q=8500m3/s,I=0.01%)



0

0



5



10



15



L(km )



Hình 1.6: Mực nước dọc theo hai nhánh hạ du ứng với lưu lượng 8500m3/s

Nhận xét:

Độ dốc ảnh hƣởng khá lớn tới tỷ lệ phân lƣu. Trên hình vẽ 1.4 có thể thấy rằng tỷ

lệ phân lƣu (Q2/Q1) thay đổi từ 0.49 đến 2.82 khi độ dốc I2 thay đổi từ 0.00002 đến

0.0003 so với độ dốc I1 cố định là 0.0001. Lƣu lƣợng vào càng lớn thì độ dốc ảnh

hƣởng càng ít hơn so với lƣu lƣợng vào nhỏ. Với Q=10500 m3/s thì tỷ lệ phân lƣu chỉ

dao động từ 0.8 đến 1.54, trong khi đó với Q= 2500 m3/s thì tỷ lệ phân lƣu dao động từ

0.49 đến 2.82. Khi độ dốc 2 nhánh sông bằng nhau (I1=I2=0.0001) thì phân lƣu về 2

nhánh nhƣ nhau tỷ lệ phân lƣu có giá trị bằng 1. Nhánh nào có độ dốc lớn hơn thì lƣu

lƣợng đổ về lớn hơn.

b. Ảnh hưởng của độ dài nhánh phân lưu

Bài toán này đƣợc xem xét với các thông số nhƣ sau:

Nhánh 1: Các thông số chính không thay đổi nhƣ sau:

-



Độ dốc là: 0.0001



-



Chiều dài là: 15000m



-



Bề rộng là: 500m



-



Hệ số nhám là: 0.025



-



Mực nƣớc đầu cuối (cửa ra): 5m



Nhánh 2: Chiều dài của nhánh thay đổi, các thông số khác giữ nguyên



17

-



Độ dốc đáy sông là: 0.0001



-



Chiều dài thay đổi từ 5000m đến 35000m



-



Bề rộng là: 500m



-



Hệ số nhám n= 0.025



-



Mực nƣớc đầu cuối (cửa ra) H= 5m



Tổng lƣu lƣợng đầu vào thay đổi từ 2500m3/s đến 10500m3/s.

Tỷ lưu phụ thuộc độ dài

2.2

Q= 2500m3/s

Q= 4500m3/s

Q= 6500m3/s

Q=8500m3/s

Q= 10500m3/s



2

1.8



Q2/Q1



1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

5



10



15



20



25



30



35



L(km )



Hình 1.7: Biến thiên tỷ lệ phân lưu phụ thuộc chiều dài và lưu lượng vào

Trên hình vẽ 1.7 có thể thấy rằng chiều dài của nhánh sông ảnh hƣởng không lớn.

Với mức lƣu lƣợng đầu vào khoảng 2500m3/s, nhánh hai có độ dài là 6km giá trị tỷ lệ

phân lƣu là 0.22, độ dài là 35km giá trị này là 2.03. Nhƣ vậy biên độ chênh lệch giữa

độ dài đạt giá trị tỷ lệ phân lƣu lớn nhất và độ dài đạt giá trị tỷ lệ phân lƣu nhỏ nhất chỉ

là 1.81. Khi chiều dài 2 nhánh sông bằng nhau (L1=L2=15000m) thì phân lƣu về 2

nhánh nhƣ nhau tỷ lệ phân lƣu có giá trị bằng 1. Mặt khác, tùy vào lƣu lƣợng vào

nhánh trên mà tỷ lệ phân lƣu này tỷ lệ thuận hay tỷ lê nghịch với chiều dài. Nhƣ vậy

có thể thấy hình vẽ đƣợc phân thành 2 vùng nhƣ sau:

1. Lƣu lƣợng vào lớn hơn khoảng 6000m3/s (Q> 6000m3/s)

Trong vùng này nhận thấy tỷ lệ phân lƣu tỷ lệ nghịch với chiều dài nhánh sông.

Chiều dài nhánh nào lớn hơn thì lƣu lƣợng đổ vào nhánh đó nhỏ hơn. Tỷ số này

giảm từ giá trị lớn nhất là 1.24 xuống còn 0.88, bằng 1 khi chiều dài hai nhánh

sông bằng nhau.



18

Lƣu lƣợng vào cỡ khoảng 6500m3/s thì độ dài ảnh hƣởng rất ít tới tỷ lệ phân lƣu.

Trong cỡ lƣu lƣợng này tỷ lệ phân lƣu chỉ dao động trong khoảng từ 0.97 tới 1.06.

Đƣờng biến thiên tỷ lệ phân lƣu phụ thuộc độ dài gần nhƣ nằm song song so với

trục ngang từ vị trí tỷ lệ phân lƣu có giá trị bằng 1 trở đi.

Có thể nhận thấy rằng, trong trƣờng hợp này, lƣu lƣợng đầu vào càng lớn thì ảnh

hƣởng của độ dài nhánh sông tới tỷ lệ phân lƣu càng lớn.

2. Lƣu lƣợng vào nhỏ hơn khoảng 6000m3/s (Q< 6000m3/s)

Trong vùng thứ hai này, tỷ lệ phân lƣu tỷ lệ thuận với chiều dài nhánh sông. Chiều

dài nhánh nào lớn hơn thì lƣu lƣợng đổ vào nhánh đó lớn hơn. Tỷ lệ phân lƣu tăng

từ giá trị thấp nhất là 0.22 lên giá trị 2.03 ứng với lƣu lƣợng đổ vào cỡ khoảng

2500m3/s và cũng có giá trị bằng 1 khi chiều dài hai nhánh sông bằng nhau.

Trong trƣờng hợp này, lƣu lƣợng đầu vào càng nhỏ thì ảnh hƣởng của độ dài

nhánh sông tới tỷ lệ phân lƣu càng lớn.

c. Ảnh hưởng của hệ số nhám

Bài toán này đƣợc xem xét với các thông số nhƣ sau:

Nhánh 1: với các thông số không thay đổi nhƣ sau:

-



Độ dốc là: 0.0001



-



Chiều dài là: 15000m



-



Bề rộng là: 500m



-



Hệ số nhám là: 0.025



-



Mực nƣớc đầu cuối (cửa ra): 5m



Nhánh 2: Độ nhám của nhánh thay đổi, các thông số khác giữ nguyên

-



Độ dốc đáy sông là: 0.0001



-



Chiều dài sông là 15000m



-



Bề rộng là: 500m



-



Hệ số nhám thay đổi từ 0.01 đến 0.08



-



Mực nƣớc đầu cuối (cửa ra) H= 5m



Tổng lƣu lƣợng đầu vào thay đổi từ khoảng 2500m3/s đến 10500m3/s.