Déformation et représentation conforme.

CHAPITRE II.



19



Soient les éléments d’arcs sur ces deux surfaces

ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2

ds2 = E1 du2 + 2F1 du dv + G1 dv 2

1

Supposons ces éléments d’arc identiques, E ≡ E1 , F ≡ F1 , G ≡ G1 . Si alors u, v

sont exprimés en fonction du paramètre t, les arcs des deux courbes correspondantes sur les deux surfaces compris entre deux points correspondants ont tous

deux pour expression

t1



√



E du2 + 2F du dv + G dv 2 ,



t0



t0 , t1 étant les valeurs de t correspondant aux extrémités. Réciproquement, si les

arcs homologues de deux courbes homologues sur les deux surfaces ont même

longueur, les éléments d’arc sont identiques sur les deux surfaces. On dit que

les deux surfaces sont applicables l’une sur l’autre, ou résultent l’une de l’autre

par déformation.

Dans cette correspondance, la fonction Φ étant la même pour les deux surfaces, la formule (3) montre que les angles se conservent. Mais la réciproque n’est

pas vraie. L’expression de cos V est homogène et du premier degré en E, F, G ;

pour que les angles de deux courbes homologues soient égaux, il faut et il suffit

que

F

G

E

=

=

= χ(u, v),

E1

F1

G1

ce rapport étant indépendant de du, dv. On dit dans ce cas qu’il y a représentation conforme des deux surfaces l’une sur l’autre.

Problème de la représentation conforme.

Étant données deux surfaces, il est toujours possible d’établir entre elles une

représentation conforme. Ceci revient à dire que l’on peut exprimer u1 , v1 en

fonction de u, v de telle sorte que l’on ait,

E du2 + 2F du dv + G dv 2 = χ(u, v)(E1 du2 + 2F1 du dv + G1 dv 2 ).

Décomposons les deux ds2 en facteurs du premier degré. Remarquons que EG −

F2 est la somme des carrés des déterminants déduits du tableau

∂x

∂u

∂x

∂v



∂y

∂u

∂y

∂v



∂z

∂u

;

∂z

∂v



EG − F2 est positif pour toute surface réelle. Posons

EG − F2 = H2 ;

alors

ds2 = E du +



F + iH

dv

E



du +



F − iH

dv ;

E



20



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



chacun des facteurs du deuxième membre admet un facteur intégrant. On a

donc

F + iH

dv = M(u, v) dα(u, v),

E

F − iH

dv = N(u, v) dβ(u, v).

du +

E

du +



Les fonctions α, β sont indépendantes ; en effet dα et dβ ne peuvent s’annuler

en même temps si H = 0, ce que nous supposons. Nous pouvons donc prendre

α, β comme coordonnées curvilignes sur la première surface, et nous avons

ds2 = P(u, v) dα dβ = Θ(α, β) dα dβ.

De même pour la deuxième surface, nous pourrons écrire

ds2 = P1 (u1 , v1 ) dα1 dβ1 = Θ1 (α1 , β1 ) dα1 dβ1 .

1

Nous aurons alors à satisfaire à l’équation

Θ(α, β) dα dβ = Ω(α, β) Θ1 (α1 , β1 ) dα1 dβ1 .

Remarquons que pour dα = 0, on doit avoir dα1 dβ1 = 0. Si nous prenons

dα1 = 0, α1 sera fonction de α et de même β1 sera fonction de β

α1 (u1 , v1 ) = ϕ α(u, v) ,



β1 (u1 , v1 ) = ψ β(u, v) .



Au contraire en prenant dβ1 = 0, β1 sera fonction de α et de même α1 , de β

β1 (u1 , v1 ) = ϕ α(u, v)



α1 (u1 , v1 ) = ψ β(u, v) .



On voit donc bien que l’on peut toujours établir une représentation conforme.

Et nous avons de plus la solution générale de ce problème.

Condition pour que deux surfaces soient applicables.

Deux surfaces données ne sont pas en général applicables l’une sur l’autre.

Autrement dit, étant données deux surfaces, il est impossible d’établir entre

elles une correspondance telle que ds2 = ds2 . En effet, en reprenant le calcul

1

précédent, il faudrait satisfaire à la relation

Θ(α, β) dα dβ = Θ1 (α1 , β1 ) dα1 dβ1 ,

il faudrait comme précédemment, prendre par exemple

α1 = ϕ(α)



β1 = ψ(β);



et la relation à satisfaire devient

Θ(α, β) = Θ1 ϕ(α), ψ(β) ϕ (α) ψ (β);



CHAPITRE II.



21



il est facile de voir que, les fonctions Θ, Θ1 étant données, il est impossible en

général de trouver des fonctions ϕ, ψ, satisfaisant à cette relation. Considérons

en effet le cas particulier où la deuxième surface est le plan z = 0. Dans ce cas

ds2 = dx2 + dy 2 = dα1 dβ1 et on devrait avoir

1

Θ(α, β) = ϕ (α) ψ (β);

or, la fonction Θ étant quelconque, n’est pas le produit d’une fonction de α par

une fonction de β.

Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que l’on ait

log Θ(α, β) = log ϕ (α) + log ψ (β),

ou



∂ 2 log Θ(α, β)

= 0.

∂α ∂β



Nous venons ainsi de montrer qu’une surface n’est pas en général applicable sur

un plan, et de trouver la condition pour qu’une surface soit applicable sur un

plan.

Les directions conjuguées et la forme



l d2 x.



3. Développables circonscrites. Directions conjuguées.

Corrélativement aux courbes tracées sur la surface, lieux de ∞1 points de

la surface, nous considérerons les développables circonscrites, enveloppes de

∞1 plans tangents à la surface. Définissons le plan tangent en un point de la

surface. Soient l, m, n les coefficients directeurs de la normale, et supposons les

coordonnées rectangulaires. Nous devons avoir pour toute courbe de la surface

l dx + m dy + n dz = 0;

en particulier, pour les courbes coordonnées, u = const. et v = const. nous

aurons

∂x

∂y

∂z

+m

+n

= 0,

∂u

∂u

∂u

∂x

∂y

∂z

+m

+n

= 0,

l

∂v

∂v

∂v



l



et ces relations montrent que l, m, n, sont proportionnels aux déterminants fonctionnels A, B, C,

(1)



A=



∂y ∂z

∂z ∂y

D(y, z)

−

=

,

∂u ∂v ∂u ∂v

D(u, v)



B=



D(z, x)

,

D(u, v)



C=



D(x, y)

;

D(u, v)



nous avons vu d’ailleurs que A2 + B2 + C2 = H2 ; donc les cosinus directeurs de

la normale sont

(2)



λ=



A

,

H



µ=



B

,

H



ν=



C

.

H



22



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



Considérons une développable circonscrite ; nous pourrons la définir en exprimant u, v en fonction d’un paramètre t,

u = ϕ(t),



v = ψ(t);



alors le point (u, v) décrit une courbe de la surface, soit (c), et les plans tangents

à la surface aux divers points de (c) enveloppent la développable considérée. Le

plan tangent à la surface au point (x, y, z) est, X, Y, Z étant les coordonnées

courantes,

l (X − x) + m (Y − y) + n (Z − z) = 0;

la caractéristique est définie par l’équation précédente et par l’équation

dl (X − x) + dm (Y − y) + dn (Z − z) = 0

obtenue en différentiant la précédente par rapport à t, et remarquant que l’on a

l dx + m dy + n dz = 0.

Voyons quelle est la direction de cette caractéristique. Soient δx, δy, δz ses

coefficients de direction. Elle est tangente à la surface, donc on peut poser

δx =



∂x

∂x

δu +

δv,

∂u

∂v



δy =



∂y

∂y

δu +

δv,

∂u

∂v



δz =



∂z

∂z

δu +

δv;

∂u

∂v



en remplaçant X − x, Y − y, Z − z par les quantités proportionnelles δx, δy, δz,

on obtient

dl δx + dm δy + dn δz = 0;

or, on a

dl =



∂l

∂l

du +

dv,

∂u

∂v



dm =



∂m

∂m

du +

dv,

∂u

∂v



dn =



∂n

∂n

du +

dv;

∂u

∂v



donc la relation

dl δx = 0

s’écrit



∂l

∂l

du +

dv

∂u

∂v



∂x

∂x

δu +

δv

∂u

∂v



= 0.



Ordonnons par rapport à du, dv, δu, δv. Remarquons que l’on a

l



∂x

= 0;

∂u



d’où en dérivant par rapport à u

l



∂ 2x

+

∂u2



de même, la relation

l



∂l ∂x

= 0;

∂u ∂u

∂x

=0

∂v