Chapitre III. Étude des Éléments Fondamentaux des Courbes d'une Surface.

30



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



il est normal la surface. Coupons la surface par ce plan, K est le centre de

courbure en M de la section, soit Rn le rayon de courbure, nous avons

cos

1

=

,

R

Rn

doự

R = Rn cos .

Doự le Thộorốme de Meusnier : Le centre de courbure en M dune courbe tracộe

sur une surface est la projection sur le plan osculateur en M cette courbe du

centre de courbure de la section normale tangente en M la courbe.

Le Thộorốme est en dộfaut si

(du, dv) = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = 0.

cos

= 0, R est en gộnộral inni. La formule devient complốtement inAlors

R

dộterminộe si on a en mờme temps cos = 0, alors la normale principale est

perpendiculaire la normale la surface, le plan osculateur la courbe est

tangent la surface. Les deux tangentes qui correspondent ce cas dexception sappellent les deux directions asymptotiques (correspondant au point M

considộrộ).

Le Thộorốme est ộgalement en dộfaut si

(du, dv) = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = 0;

alors

que



cos

est inni, R est nul en gộnộral. La direction de la tangente est telle

R

dx2 + dy 2 + dz 2 = 0



cest une droite isotrope du plan tangent. Il y a donc deux directions isotropes

correspondantes chaque point M de la surface.

Variations de la courbure normale.

2. Le Thộorốme de Meusnier nous montre que, pour ộtudier la courbure

des diverses courbes passant par un point dune surface, on peut se borner

considộrer les sections normales passant par les diộrentes tangentes la surface

au point considộrộ.

Nous avons

1 E du2 + 2F du dv + G dv 2

1

.

=

Rn

H E du2 + 2F du dv + G dv 2

Considộrons dans la plan tangent en M les tangentes MU, MV aux courbes

coordonnộes v = const. et u = const. qui passent par M, et considộrons le triốdre

constituộ par MU, MV et la normale MN la surface : les cosinus directeurs des

axes sont

dx

x du

1

=

=

ds

u ds

E

dx

x dv

1

MV :

=

=

ds

v ds

G

MN :



MU :



x

1 y

1 z

=l ,

=m ,

=n ,

u

E u

E u

x

1 y

1 z

=l ,

=m ,

=n ,

v

G v

G v

l,

m,

n.



CHAPITRE III.



31



Considộrons alors une tangente MT quelconque, dộnie par les valeurs du, dv

des diộrentielles des coordonnộes. Les cosinus directeurs sont :

dv

dx

x du x dv du

=

+

= E

l + G

l ,

ds

u ds v ds

ds

ds

dv

dy

y du y dv du

=

+

= E

m + G

m ,

ds

u ds v ds

ds

ds

du

dv

dz

z du z dv

=

+

= E

n + G

n .

ds

u ds v ds

ds

ds

Ces formules montrent que le segment directeur de MT est la somme gộomộtrique de deux segments, de valeurs algộbriques

=



du

E ,

ds



à=



dv

G ,

ds



portộs respectivement sur MU et MV. En dautres termes : , à sont les paramốtres directeurs de MT dans le systốme de coordonnộes U, M, V.

La formule de Rn devient, en y introduisant ces paramốtres directeurs :

1

1

=

Rn

H

1

=

H



du dv

dv

+G

ds ds

ds

2F

E 2

G 2

+

à .

à +

E

G

EG



E



du

ds



2



+ 2F



2



Et si on considốre le point P obtenu en portant sur MT un segment ộgal



Rn , le lieu de ce point P, dont les coordonnộes, dans le systốme M, U, V,

sont :

U = Rn ,

V = à Rn ,

aura pour ộquation

2F

G 2

E 2

U +

V = H.

UV +

E

G

EG

Cest une conique centre situộe dans le plan tangent, quon appelle indicatrice de la surface au point M. La conique tracộe, on a immộdiatement le rayon

de courbure dune section normale quelconque, et on suit sans peine la variation

du rayon de courbure, quand MT varie.

EG F2

La nature de lindicatrice dộpend du signe de

, ou puisque E, G

EG

2

sont positifs, de E G F . Dans le cas ou lộquation de la surface est

Z = f (x, y)

on a en prenant les notations habituelles

ds2 = (1 + p2 ) dx2 + 2pq dx dy + (1 + q 2 ) dy 2

doự

E = 1 + p2 ,



F = pq,



G = 1 + q2



32



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



et

H=





E G F2 =



1 + p2 + q 2 .



Maintenant

A = p,

et



B = q,



A d2 x =



C = 1,



dA dx = dp dx + dq dy.



Mais

dp = r dx + s dy,

donc



dq = s dx + t dy,



A d2 x = r dx2 + 2s dx dy + t dy 2 ;



donc

E = r,

et



F = s,



G = t,



E G F 2 = rt s2 .



1o E G F 2 > 0, la conique est une ellipse, tous les rayons de courbure

sont de mờme signe, on dit que la surface est convexe au point M ; elle est toute

entiốre dun mờme cụtộ du plan tangent en M dans le voisinage du point M.

2o E G F 2 < 0, lindicatrice est une hyperbole. La surface traverse au

point M son plan tangent ; elle est dite courbures opposộes.

3o E G F 2 = 0, lindicatrice est du genre parabole, et comme elle est

centre, elle se rộduit un systốme de deux droites parallốles. Le point M est dit

point parabolique.

1

est constant, quelle que soit la section

Considộrons le cas particulier oự

Rn

1

du

,

que lon considộrộ. Il faut et il sut pour cela que

soit indộpendant de

Rn

dv

donc que lon ait

E

F

G

=

= .

E

F

G

Or, langle de MU, MV est donnộ par

cos =



F

l l =

;

EG



ces conditions peuvent donc sộcrire

F



E

G

EG

=

= ,

E

cos

G

et expriment que lindicatrice est un cercle. Le point M est dit alors un ombilic.

Cherchons les directions des axes de lindicatrice. Ce sont des directions

conjuguộes par rapport aux directions asymptotiques de lindicatrice, dộnies

par

(du, dv) = 0



CHAPITRE III.



33



et par rapport aux directions isotropes du plan tangent, dộnies par

(du, dv) = 0.

Elles sont donc dộnies par lộquation





du = dv = (du, dv) = H = S,





(du, dv)

R

du

dv

puisque du, dv sont des coordonnộes homogốnes pour les directions MT du plan

tangent.

Ce sont les directions principales. Les rayons de courbure correspondants

sont dits rayons de courbure principaux.

Lộquation qui dộnit les directions principales est donc :

E du + F dv F du + G dv

= 0;

E du + F dv F du + G dv

le premier membre est un covariant simultanộ des formes , .

Lộquation aux rayons de courbure principaux sobtiendra en ộliminant

du, dv entre les ộquations





=S

,

du

du

Ce qui donne



ou







=S

.

dv

dv



E SE F SF

= 0,

F SF G SG



S2 (E G F2 ) S(E G + G E 2FF ) + E G F 2 = 0



avec



H

.

R

Supposons maintenant que les courbes coordonnộes soient tangentes aux

directions principales. Ces directions sont rectangulaires ; donc les courbes coordonnộes constituent un rộseau orthogonal, et F = 0 ; alors lindicatrice ộtant

rapportộe ses axes on a

S=



F = 0,



H=





E G,



et



1

2 E

à2 G

=

+

.

Rn

E EG G EG



Si nous supposons = 1, à = 0, nous avons un des rayons de courbure principaux R1

1

E

=

;

R1

E EG

pour à = 1, = 0, nous avons lautre rayon de courbure principal R2

1

G

=

,

R2

G EG



34



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



et la formule devient



1

2

à2

=

+

;

Rn

R1 R2



mais ici, les coordonnộes ộtant rectangulaires, si est langle de la tangente MT

avec lune des directions principales, nous avons = cos , à = sin , et nous

obtenons la formule dEuler

1

cos2 sin2

=

+

.

Rn

R1

R2

Considộrons la tangente MT perpendiculaire MT, il faudra remplacer par

+ , et nous aurons

2

1

sin2 cos2

=

+

Rn

R1

R2

doự



1

1

1

1

+

=

+

Rn Rn

R1 R2



donc la somme des courbures de deux sections normales rectangulaires quelconques est constante et ộgale la somme des courbures des sections normales

1

1 1

+

sappelle courbure moyenne

principales. La quantitộ constante

2 R1 R2

de la surface au point considộrộ.

Lignes minima.

3. En chaque point dune surface, il y a trois couples de directions remarquables : les droites isotropes du plan tangent, dộnies par (du, dv) = 0 ; les

directions asymptotiques de lindicatrice (du, dv) = 0, et les directions des

sections principales.

Considộrons les directions isotropes, et cherchons sil existe sur la surface

des courbes tangentes en chacun de leurs points une direction isotrope ; ceci

revient intộgrer lộquation

(du, dv) = 0,

et on obtient ainsi les courbes minima. Lộquation prộcộdente se dộcompose en

deux ộquations de premier ordre, donc il y a deux familles de courbes minima

et par tout point de la surface passe en gộnộral une courbe de chaque famille.

Ces courbes sont imaginaires ; on a le long de chacune delles

ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = 0;

cest pourquoi on les appelle aussi lignes de longueur nulle. Si on les prend pour

lignes coordonnộes, lộquation (du, dv) = 0 devant alors ờtre vộriộe pour

du = 0, dv = 0, on a

E = 0,



G = 0,



et ds2 = 2F du dv.



CHAPITRE III.



35



En gộnộral les deux systốmes de lignes minima sont distincts. Pour quils

soient confondus, il faut que

EG F2 = H2 = 0,

dans ce cas, on a A2 +B2 +C2 = 0, et les formules fondamentales ne sappliquent

plus. Pour ộtudier la nature dune telle surface considộrons le plan tangent :

A(X x) + B(Y y) + C(Z z) = 0;

ce plan est alors tangent un cụne isotrope, cest un plan isotrope. Tous les

plans tangents la surface sont isotropes. Cherchons lộquation gộnộrale des

plans isotropes. Soit

ax + by + cz + d = 0

nous avons la condition



a2 + b 2 + c 2 = 0



ou

a2 + b2 = c2 ,

(a + ib) (a ib) = c2 .

Posons

a + ib = tc,

ou

a + ib tc = 0,



1

a ib = c,

t

ta ibt + c = 0;



de ces deux relations nous tirons

ib

c

a

=

=

,

1 t2

(1 + t2 )

2t

ou



a

b

c

=

=

;

2

2)

1t

i(1 + t

2t

doự lộquation gộnộrale des plans isotropes

(1)



(1 t2 )x + i(1 + t2 )y 2tz + 2w = 0.



Un plan isotrope dộpend de deux paramốtres. La surface considộrộe est lenveloppe de plans isotropes ; si ces plans dộpendent de deux paramốtres, elle se

rộduit au cercle imaginaire linni. Supposons alors que w soit fonction de t

par exemple ; le plan tangent ne dộpendant que dun paramốtre, la surface est

dộveloppable, cest une dộveloppable isotrope. Cherchons son arờte de rebroussement. Diộrentions lộquation (1) deux fois par rapport t. Nous avons

(2)

(3)



tx + ity z + w = 0

x + iy + w = 0



les ộquations (1), (2), (3) dộnissent larờte de rebroussement ; (3) donne

x iy = w ,



36



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



(2) sộcrit

z = t(x iy) + w = w tw ,

et (1)

x + iy = t2 (x iy) + 2tz 2w = t2 w + 2t(w tw ) 2w

doự, pour les ộquations de larờte de rebroussement :

(4)



x iy = w ,



x + iy = 2w + 2tw t2 w ,



z = w tw .



Nous en tirons

d(x iy) = w dt,



d(x + iy) = t2 w dt,



dz = tw dt;



doự

d(x iy) d(x + iy) = t2 (w )2 dt2 = dz 2 ,

ou

d(x iy) d(x + iy) + dz 2 = 0,

dx2 + dy 2 + dz 2 = 0;

cest une courbe minima. Larờte de rebroussement dune dộveloppable isotrope

est une courbe minima.

Rộciproquement, considộrons une courbe minima. Nous avons la relation

dx2 + dy 2 + dz 2 = 0.

Diộrentions

dx d2 x + dy d2 y + dz d2 z = 0,

mais lidentitộ de Lagrange nous donne

dx2



(d2 x)2



dx d2 x



2



=



(dy d2 z dz d2 y)2 = 0,



ou A, B, C dộsignant les coecients du plan osculateur

A2 + B2 + C2 = 0.

Le plan osculateur en un point dune courbe minima est isotrope. Toute courbe

minima peut ờtre considộrộe comme larờte de rebroussement dune dộveloppable

isotrope.

Il en rộsulte que cette arờte de rebroussement est la courbe minima la plus

gộnộrale, et que les coordonnộes dun point dune courbe minima quelconque

sont donnộes par les formules (4), ou w est une fonction arbitraire de t.



CHAPITRE III.



37



Lignes asymptotiques.

4. Si nous cherchons maintenant les courbes dune surface tangentes en

chacun de leurs points une asymptote de lindicatrice, nous sommes ramenộs

intộgrer lộquation

(du, dv) = 0,

et nous obtenons les lignes asymptotiques. Comme prộcộdemment, nous voyons

quil y a deux familles de lignes asymptotiques, et par tout point de la surface

passe en gộnộral une asymptotique de chaque famille.

Lộquation diộrentielle prộcộdente sộcrit

A d2 x = 0,

on a dailleurs

A dx = 0;

mais A, B, C sont les coecients du plan tangent la surface ; les ộquations prộcộdentes montrent quil contient les directions dx, dy, dz et d2 x, d2 y, d2 z, donc

coùncide avec le plan osculateur la courbe ; donc les lignes asymptotiques sont

telles que le plan osculateur en chacun de leurs points soit tangent la surface.

En particulier, toute gộnộratrice rectiligne dune surface est une ligne asymptotique, car le plan osculateur en un point dune droite ộtant indộterminộ, peut

ờtre considộrộ comme coùncident avec le plan tangent en ce point la surface. Si

donc une surface est rộglộe, un des systốmes de lignes asymptotiques est constituộ par les gộnộratrices rectilignes.

Si nous prenons les lignes asymptotiques pour courbes coordonnộes, nous

aurons

E =G =0

et

(du, dv) = 2F du dv.

Les lignes asymptotiques sont rộelles aux points oự la surface est courbures opposộes, imaginaires aux points oự elle est convexe. Elles sont en gộnộral

distinctes, et distinctes aussi des lignes minima. Nous allons examiner les cas

dexception.

1o . Les lignes asymptotiques sont confondues. Prenons lộquation de la surface sous la forme

Z = f (x, y) :

nous avons E G F2 = 0, condition qui se rộduit ici

rt s2 = 0;

tous les points de la surface doivent ờtre paraboliques. Lộquation diộrentielle

prộcộdente peut sộcrire

dp dx + dq dy = 0.



38



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



Elle montre que si lune des diộrentielles dp, dq est nulle, lautre est aussi nulle,

donc p, q sont fonctions lun de lautre. Le plan tangent en un point sộcrit

p(X x) + q(Y y) (Z z) = 0,

ou

pX + qY Z = px + qy z.

Mais

d(px + qy z) = x dp + y dq

et nous voyons que si dp = 0, puisque dq = 0, on a en mờme temps d(px + qy

z) = 0, donc px + qy z est fonction de p, de mờme que q, et alors le plan

tangent ne dộpend que dun seul paramốtre, et la surface est dộveloppable. La

rộciproque est ộvidente, car si lộquation pX + qY Z = px + qy z ne dộpend

que dun paramốtre , dp et dq sont proportionnels d, et les deux formes

linộaires dp = r dx + s dy, dq = s dx + t dy ne sont pas indộpendantes. On a donc

bien

r s

= rt s2 = 0.

s t

Donc les surfaces lignes asymptotiques doubles sont les surfaces dộveloppables, et les lignes asymptotiques doubles sont les gộnộratrices rectilignes. Pour

les dộveloppables isotropes, les lignes asymptotiques doubles sont confondues avec

les lignes minima doubles, qui sont les gộnộratrices rectilignes isotropes.

Remarque. Pour les surfaces dộveloppables, larờte de rebroussement ayant

son plan osculateur tangent la surface doit ờtre considộrộe comme une ligne

asymptotique. Son ộquation est en eet une intộgrale singuliốre de lộquation

diộrentielle des lignes asymptotiques.

2o . Une famille de lignes asymptotiques est confondue avec une famille de

lignes minima. ẫcartons le cas des dộveloppables isotropes, qui vient dờtre examinộ. Prenons les lignes minima comme courbes coordonnộes, E = 0, G = 0,

et si nous supposons que la famille v = const. constitue une famille dasymptotiques, dv = 0 doit ờtre solution de (du, dv) = 0, donc

x

u

x

E =

v

2x

u2



y

u

y

v

2y

u2



z

u

z

= 0.

v

2z

u2



Il existe donc entre les ộlộments des lignes de ce dộterminant une mờme relation

linộaire et homogốne. On a

2

x

x

x



2 =M

+N ,

u



u

v



2

y

y

y

=M

+N ,

u2

u

v



2

z



z

z





=M

+N .

u2

u

v



CHAPITRE III.



39



x y z

Multiplions respectivement par

, ,

et ajoutons. Le coecient de M est

u u u

1 E

E = 0, le premier membre est

= 0, donc NF = 0, et comme F = 0, N = 0,

2 u

et nous avons :

2x

2y

2z

u2 = u2 = u2 = M,

x

y

z

u

u

u

les courbes v = const. sont des droites, et comme ce sont des lignes minima, ce

sont des droites isotropes. Et rộciproquement si les courbes v = const. sont des

droites, on a

2y

y

=M ,

2

u

u



2x

x

=M ,

2

u

u



2z

z

=M ;

2

u

u



et par suite



2x

x

=0

=M

A

2

u

u

les courbes v = const. qui sont des droites minima sont des lignes asymptotiques. Donc les surfaces qui ont une famille dasymptotiques confondue avec

une famille de lignes minima sont des surfaces rộglộes gộnộratrices isotropes,

et ces gộnộratrices sont les asymptotiques confondues avec les courbes minima.

A



3o . Les deux systốmes dasymptotiques sont des courbes minima. En prenant

toujours les lignes minima comme courbes coordonnộes, il faut que lộquation

(du, dv) = 0 soit satisfaite pour du = 0, dv = 0, il faut donc que E = G = 0.

Alors les formes quadratiques et sont proportionnelles. Il en est de mờme

avec un systốme de coordonnộes quelconques et on a

F

G

E

=

= .

E

F

G

Lindicatrice en un point quelconque est un cercle, tous les points de la surface

sont des ombilics. En reprenant le calcul comme prộcộdemment, on verra que

la surface admet deux systốmes de gộnộratrices rectilignes isotropes. Cest une

sphốre.

Surfaces minima.

5. Ce dernier cas nous a conduit ộtudier la surface telle que lindicatrice

soit toujours un cercle. Examinons maintenant le cas oự cette indicatrice est

toujours une hyperbole ộquilatốre. Ceci revient chercher les surfaces pour lesquelles les lignes asymptotiques sont orthogonales. Il faut pour cela que lon

ait

EG + GE 2FF = 0,

ou



1

1

+

= 0.

R1 R2

Les rayons de courbure en chaque point sont ộgaux et de signes contraires ; la

surface est dite une surface minima.



40



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE

Prenons pour coordonnộes les lignes minima. Alors E = 0, G = 0, et

ds2 = 2F du dv;



la condition prộcộdente donne F = 0, et

(du, dv) = E du2 + G dv 2 .

Mais on a



x

u

x

F =

v

2x

u v



y

u

y

v

2y

u v



z

u

z

= 0.

v

2z

u v



Il existe donc une mờme relation linộaire et homogốne entre les ộlộments des

lignes. On a

2

x

x

x





u v = M u + N v ,





2

y

y

y

=M

+N ,

u v

u

v



2

z



z

z





=M

+N .

u v

u

v

x y z

Multiplions respectivement par

,

,

et ajoutons. Le premier membre est

u u u

1 E

= 0 ; le coecient de M est E = 0 ; nous avons donc NF = 0, donc N = 0.

2 u

x y z

,

,

et ajoutant, on trouvera M = 0 ; donc

De mờme en multipliant par

v v v

on a

2y

2z

2x

= 0,

= 0,

= 0.

u v

u v

u v

Ce qui donne

x = f (u) + (v),



y = g(u) + (v),



z = h(u) + (v);



les surfaces reprộsentộes par des ộquations de cette forme sont dites surfaces

de translation. Elles peuvent ờtre engendrộes de deux faỗons diộrentes par la

translation dune courbe de forme invariable dont un point dộcrit une autre

courbe. Considộrons en eet sur la surface les quatre points M0 (u0 , v0 ), M1 (u, v0 ),

M2 (u0 , v), M(u, v). Daprốs les formules prộcộdentes ces points sont les sommets

dun parallộlogramme. Si, laissant v0 xe, on fait varier u, le point M1 dộcrit

une courbe de la surface ; de mờme si, laissant u0 xe, on fait varier v, le

point M2 dộcrit une autre courbe de la surface. On peut donc considộrer la

surface comme engendrộe par la courbe animộe dun mouvement de translation

dans lequel le point M2 dộcrit la courbe , ou par la courbe animộe dun

mouvement de translation dans lequel le point M1 dộcrit la courbe .

Pour les surfaces minima, les six fonctions f, g, h, , , ne sont pas quelconques. Elles doivent satisfaire aux relations

E = f 2 + g 2 + h 2 = 0,



G = 2 + 2 + 2 = 0;