Les directions conjuguées et la forme .

22



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



Considérons une développable circonscrite ; nous pourrons la définir en exprimant u, v en fonction d’un paramètre t,

u = ϕ(t),



v = ψ(t);



alors le point (u, v) décrit une courbe de la surface, soit (c), et les plans tangents

à la surface aux divers points de (c) enveloppent la développable considérée. Le

plan tangent à la surface au point (x, y, z) est, X, Y, Z étant les coordonnées

courantes,

l (X − x) + m (Y − y) + n (Z − z) = 0;

la caractéristique est définie par l’équation précédente et par l’équation

dl (X − x) + dm (Y − y) + dn (Z − z) = 0

obtenue en différentiant la précédente par rapport à t, et remarquant que l’on a

l dx + m dy + n dz = 0.

Voyons quelle est la direction de cette caractéristique. Soient δx, δy, δz ses

coefficients de direction. Elle est tangente à la surface, donc on peut poser

δx =



∂x

∂x

δu +

δv,

∂u

∂v



δy =



∂y

∂y

δu +

δv,

∂u

∂v



δz =



∂z

∂z

δu +

δv;

∂u

∂v



en remplaçant X − x, Y − y, Z − z par les quantités proportionnelles δx, δy, δz,

on obtient

dl δx + dm δy + dn δz = 0;

or, on a

dl =



∂l

∂l

du +

dv,

∂u

∂v



dm =



∂m

∂m

du +

dv,

∂u

∂v



dn =



∂n

∂n

du +

dv;

∂u

∂v



donc la relation

dl δx = 0

s’écrit



∂l

∂l

du +

dv

∂u

∂v



∂x

∂x

δu +

δv

∂u

∂v



= 0.



Ordonnons par rapport à du, dv, δu, δv. Remarquons que l’on a

l



∂x

= 0;

∂u



d’où en dérivant par rapport à u

l



∂ 2x

+

∂u2



de même, la relation

l



∂l ∂x

= 0;

∂u ∂u

∂x

=0

∂v



CHAPITRE II.

donne

l



∂ 2x

+

∂v 2



23



∂l ∂x

= 0;

∂v ∂v



et



∂ 2x

∂l ∂x

+

= 0;

∂u ∂v

∂u ∂v

de sorte que la relation précédente s’écrit

l



(3)



l



∂ 2x

du δu +

∂u2



l



∂ 2x

(du δv + dv δu) +

∂u ∂v



l



∂ 2x

dv δv = 0.

∂v 2



Telle est la relation qui existe entre les coefficients de direction de la caractéristique et de la tangente à la courbe de contact. Elle serait visiblement la même

en coordonnées obliques, l, m, n étant alors les coefficients de l’équation du plan

tangent soit

(4)



E =



l



∂ 2x

,

∂u2



F =



l



∂ 2x

,

∂u ∂v



G =



l



∂ 2x

,

∂v 2



et

Ψ(du, dv) = E du2 + 2F du dv + G dv 2 .



(5)



On a, en particulier, quand on prend l = A, m = B, n = C :

∂ 2x

∂u2

∂x

E =

∂u

∂x

∂v



∂ 2y

∂u2

∂y

∂u

∂y

∂v



∂ 2x

∂ 2z

∂u2

∂u ∂v

∂z

∂x

,F =

∂u

∂u

∂z

∂x

∂v

∂v



∂ 2y

∂u ∂v

∂y

∂u

∂y

∂v



∂ 2x

∂ 2z

∂u ∂v

∂v 2

∂z

∂x

,G =

∂u

∂u

∂z

∂x

∂v

∂v



∂ 2y

∂v 2

∂y

∂u

∂y

∂v



∂ 2z

∂v 2

∂z

.

∂u

∂z

∂v



La relation précédente s’écrira alors

E du δu + F (du δv + dv δu) + G dv δv = 0,

ou

∂Ψ(du, dv)

∂Ψ(du, dv)

δu +

δv = 0.

∂ du

∂ dv



(6)



Cette relation est symétrique par rapport à d, δ ; il y a donc réciprocité entre la

direction de la tangente à la courbe de contact de la développable et la direction

de la caractéristique du plan tangent à cette développable. Ces deux directions

sont dites directions conjuguées.

Cherchons en particulier la condition pour que les courbes u = const., v =

const. forment un réseau conjugué. Alors, dv = 0, δu = 0 la condition est F = 0.

Remarque. On a

∂x

∂x

du +

dv,

∂u

∂v

∂x 2

∂x 2

∂ 2x

∂ 2x

∂ 2x

d2 x =

d u+

d v + 2 du2 + 2

du dv + 2 dv 2 .

∂u

∂v

∂u

∂u ∂v

∂v

dx =



24



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



On en conclut, à cause de

l



∂x

= 0,

∂u



l



∂x

= 0,

∂v



l’identité

l d2 x =



l



∂ 2x

∂u2



c’est-à-dire



du2 + 2



l



∂ 2x

∂u ∂v



du dv +



l



∂ 2x

∂v 2



dv 2 ,



l d2 x = Ψ(du, dv).



Formules fondamentales pour une courbe de la surface.

4. Éléments fondamentaux d’une courbe de la surface.

Nous considérerons en un point de la courbe le trièdre de Serret, et un trièdre constitué par la tangente à la courbe, la normale MN à la surface, et la

tangente MN à la surface qui est normale à la courbe. Nous choisirons les directions positives de telle façon que le trièdre ainsi constitué ait même disposition

que le trièdre de Serret, de sorte que si l, m, n sont les cosinus directeurs de la

normale à la surface, a1 , b1 , c1 de la tangente à la surface normale à la courbe,

on ait

a b c

a1 b1 c1 = 1.

l m n

Les deux trièdres considérés ont un

axe commun et de même direction, qui

N(l, m, n)

est la tangente. Pour les définir l’un par

B(a′′ , b′′ , c′′ )

rapport à l’autre, il suffira de se donner

l’angle d’une des arêtes de l’un avec l’une

des arêtes de l’autre. Nous nous donneθ

rons l’angle dont il faut faire tourner la

P(a′ , b′ , c′ )

demi-normale principale MP pour l’ameM

T(a, b, c)

ner à coïncider avec la demi-normale à la

N′ (a1 , b1 , c1 )

surface MN, le sens positif des relations

étant défini par la direction positive MT

de l’axe de rotation. Cherchons les relations qui existent entre les cosinus directeurs des arêtes de ces trièdres. Quand on passe de l’un à l’autre, on fait en

réalité une transformation de coordonnées autour de l’origine dans le plan normal. Considérons le point à l’unité de distance de M sur MN(l, m, n). Rapporté

au système PMB il a pour coordonnées cos θ et sin θ, donc

(1) l = a cos θ + a sin θ,



m = b cos θ + b sin θ,



n = c cos θ + c sin θ;



de même le point à l’unité de distance sur MN (a1 , b1 , c1 ) rapporté au système

PMB a pour coordonnées cos(θ − π ) = sin θ et sin(θ − π ) = − cos θ, donc

2

2

(1 ) a1 = a sin θ − a cos θ,



b1 = b sin θ − b cos θ,



c1 = c sin θ − c cos θ.



CHAPITRE II.



25



On aura donc, en faisant la transformation de coordonnées inverse

(2)



a = l cos θ + a1 sin θ, b = m cos θ + b1 sin θ, c = n cos θ + c1 sin θ,

a = l sin θ − a1 cos θ, b = m sin θ − b1 cos θ, c = n sin θ − c1 cos θ.



Différentions les formules (1) par rapport à s : il vient

dl

dθ

da

da

= (−a sin θ + a cos θ)

+ cos θ

+ sin θ

, et les analogues ;

ds

ds

ds

ds

da1

dθ

da

da

= (a cos θ + a sin θ)

+ sin θ

− cos θ

, et les analogues ;

ds

ds

ds

ds

d’où, en tenant compte des formules de Frenet et des relations (1), (2)

dl

1

dθ

a cos θ

= a1

−

−

ds

T ds

R

da1

a sin θ

1

dθ

−

= −l

−

ds

T ds

R



(3)

(4)



et les analogues;

;



(id.)



enfin nous avons

a

cos θ

sin θ

da

=

=l

+ a1

ds

R

R

R



(5)



;



(id.)



les formules fondamentales (3), (4), (5) permettent de calculer θ, R, T, c’està-dire de déterminer le plan osculateur, la courbure et la torsion de la courbe

considérée.



Formule pour



cos θ

.

R



En effet, les formules (5) nous donnent d’abord

cos θ

=

R



l



da

=

ds



l



d2 x

1

=

ds2

H



A



d2 x

,

ds2



c’est-à-dire, d’après le calcul du paragraphe précédent, et et en posant :

E =



A



∂ 2x

∂ 2x

,

F =

A

,

G =

∂u2

∂u ∂v

cos θ

1 E du2 + 2F du dv + G dv 2

=

,

R

H

ds2



ou enfin

(6)



cos θ

1 Ψ(du, dv)

=

.

R

H Φ(du, dv)



A



∂ 2x

,

∂v 2



26



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



Formule pour



sin θ

.

R



Les formules (5) donnent encore

sin θ

=

R



a1



da

=

ds



a1



d2 x

.

ds2



Remarquons que

a1



a

b

c

dx dy dz

d2 x

1

1

= 2 d2 x d2 y d2 z = 3 d2 x d2 y d2 z ;

ds2

ds

ds

l

m

n

l

m

n



pour calculer le déterminant, multiplions-le par

∂x

∂u

∂x

∂v

l



∂y

∂u

∂y

∂v

m



∂z

∂u

A2 + B2 + C2

∂z = Al + Bm + Cn =

= H;

H

∂v

n



le produit est

∂x

dx

∂u

∂x 2

dx

∂u

∂x

l

∂u



∂x

dx

∂v

∂x 2

dx

∂v

∂x

l

∂v



l dx

l d2 x ;

l2



or, nous avons

∂x

dx =

∂u

∂x

dx =

∂v



∂x

∂u

∂x

∂v

l dx =



∂x

∂x

du +

dv = E du + F dv,

∂u

∂v

∂x

∂x

du +

dv = F du + G dv,

∂u

∂v

∂x

∂x

l

=

l

= 0,

∂u

∂v



∂ 2x

∂x 2

∂x 2

∂ 2x

∂ 2x

d u+

d v + 2 du2 + 2

du dv + 2 dv 2

∂u

∂v

∂u

∂u ∂v

∂v

1 ∂E 2 ∂E

∂F 1 ∂G

= E d2 u + F d2 v +

du +

du dv +

−

dv 2 ,

2 ∂u

∂v

∂v

2 ∂u

∂x 2

∂x ∂x 2

∂x 2

∂ 2x

∂ 2x

∂ 2x

d x=

d u+

d v + 2 du2 + 2

du dv + 2 dv 2

∂v

∂v ∂u

∂v

∂u

∂u ∂v

∂v

∂G

∂F 1 ∂E

1 ∂G 2

= F d2 u + G d2 v +

−

du2 +

du dv +

dv .

∂u 2 ∂v

∂u

2 ∂v



∂x 2

d x=

∂u



∂x

∂u



CHAPITRE II.



27



Le produit précédent s’écrit donc







2



E du + F dv



2



Ed u + Fd v

1 ∂E 2 ∂E

+

du +

du dv +

2 ∂u

∂v

0



F du + G dv



0





∂F 1 ∂G

−

∂v

2 ∂u



dv 2



 F d2 u + G d2 v + . . .



l d2 x



0



1



ou

1 ∂E 2 ∂E

∂F 1

du +

du dv +

−

2 ∂u

∂v

∂v

2

−

∂G

∂F 1 ∂E

−

du2 +

du dv +

F d2 u + G d2 v +

∂u 2 ∂v

∂u

E d2 u + F d2 v +



∂G

dv 2 E du + F dv

∂u

.

1 ∂G 2

dv F du + G dv

2 ∂v



Ce déterminant peut se décomposer en deux, dont le premier est

−



E d2 u + F d2 v E du + F dv

= H2 (du d2 v − dv d2 u),

F d2 u + G d2 v F du + G dv



et on a finalement



(7)



1

sin θ

=

R

H ds3







 − H2 (du d2 v − dv d2 u)





1 ∂E 2 ∂E

∂F 1 ∂G

du +

du dv +

−

dv 2 E du + F dv

2 ∂u

∂v

∂v

2 ∂u

−

∂G

1 ∂G 2

∂F 1 ∂E

−

du2 +

du dv +

dv F du + G dv

∂u 2 ∂v

∂u

2 ∂v

Formule pour









.





1

dθ

− .

T ds



Enfin la formule (4) nous donne

1

dθ

−

=

T ds



a b

c

dx dy dz

dl

1

1

dl dm dn = 2 dl dm dn ;

a1

=

ds

ds

ds

l m n

l m n



pour calculer le déterminant, nous le multiplierons encore par le même déterminant H. Le produit sera,

∂x

dx

∂u

∂x

dl

∂u

∂x

l

∂u



∂x

dx

∂v

∂x

dl

∂v

∂x

l

∂v



l dx



E du + F dv F du + G dv 0

∂x

∂x

l dl =

dl

dl

0 .

∂u

∂v

0

0

1

l2



28



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



Nous avons d’ailleurs

l



∂x

= 0,

∂u



d’où en différentiant

dl



∂x

=−

∂u



l



∂ 2x

∂ 2x

dv

du +

∂u2

∂u ∂v



de même

dl



=−



1

(E du + F dv);

H



∂x

1

= − (F du + G dv);

∂v

H



le produit est donc

−



1 E du + F dv F du + G dv

,

H E du + F dv F du + G dv



et nous avons

(8)



dθ

1

1

E du + F dv E du + F dv

−

= 2 2

.

T ds

H ds F du + G dv F du + G dv



Les trois formules (6), (7), (8) permettent de calculer les trois éléments

fondamentaux θ, R, T.



EXERCICES.

8. On considère la surface S lieu des sections circulaires diamétrales d’une famille d’ellipsoïdes homofocaux. Déterminer sur S les trajectoires orthogonales des sections

circulaires qui l’engendrent.

9. Déterminer toutes les représentations conformes d’une sphère sur un plan. Trouver

celles qui donnent des systèmes connus de projections cartographiques.

10. Sur une surface S on considère une courbe C. Soit M un de ses points, MT la

tangente à C, MN la normale à S, et MN la normale à C qui et tangente à (S).

Montrer que les composantes de la rotation instantanée du trièdre (M.T N N) par

1

cos θ

dθ

rapport aux axes de ce trièdre sont les éléments fondamentaux

− ,−

,

ds

T

R

sin θ

.

R

11. Si les courbes coordonnées de la surface S, de l’exercice précédent, sont rectangulaires, soient MU et MV leurs tangentes, et soit ϕ l’angle (MU, MT). Déduire

de la considération des mouvements des deux trièdres (M.T N N) et (M.U V N),

lorsque M décrit C, une formule de la forme

du

dv

sin θ dϕ

−

= r1

+ r2 ;

R

ds

ds

ds

et donner les expressions de r1 et r2 . Généraliser, en supposant les coordonnées

u et v quelconques.



CHAPITRE III.

ÉTUDE DES ÉLÉMENTS FONDAMENTAUX DES COURBES

D’UNE SURFACE.

Courbure normale.

1. Reprenons la première formule fondamentale

cos θ

1 E du2 + 2F du dv + G dv 2

=

,

R

H E du2 + 2F du dv + G dv 2

cos θ

ne dépend que du

les différentielles secondes d2 u, d2 v n’y figurent pas ;

R

cos θ

dv

, c’est à dire de la direction de la tangente,

est le même pour

rapport

du

R

toutes les courbes de la surface tangentes à une même droite. Considérons alors le

centre de courbure C sur la normale principale MP ; si on prend pour axe polaire

N

K



P

C



θ

M



′



N



la normale MN à la surface, et pour pôle le point M, R, θ sont les coordonnées

polaires du point C. L’équation

cos θ

= const.,

R

représente un cercle ; le lieu du point C est un cercle, ce qu’on peut encore voir

comme il suit ; considérons la droite polaire, elle est dans le plan normal à la

courbe, donc elle rencontre la normale MN à la surface en un point K, et nous

avons

R = MK cos θ,

ou



R

.

cos θ

MK est constant, donc les droites polaires de toutes les courbes d’une surface

passant par un même point M de cette surface et tangentes en ce point à une

même droite rencontrent en un même point K la normale en M à la surface. Le

lieu des centres de courbure de toutes ces courbes est le cercle de diamètre MK

(cercle de Meusnier). En particulier supposons θ = 0, la normale principale se

confond avec la normale à la surface, le plan osculateur passe par la normale,

MK =



30



GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE



il est normal à la surface. Coupons la surface par ce plan, K est le centre de

courbure en M de la section, soit Rn le rayon de courbure, nous avons

cos θ

1

=

,

R

Rn

d’où

R = Rn cos θ.

D’où le Théorème de Meusnier : Le centre de courbure en M d’une courbe tracée

sur une surface est la projection sur le plan osculateur en M à cette courbe du

centre de courbure de la section normale tangente en M à la courbe.

Le Théorème est en défaut si

Ψ(du, dv) = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = 0.

cos θ

= 0, R est en général infini. La formule devient complètement inAlors

R

déterminée si on a en même temps cos θ = 0, alors la normale principale est

perpendiculaire à la normale à la surface, le plan osculateur à la courbe est

tangent à la surface. Les deux tangentes qui correspondent à ce cas d’exception s’appellent les deux directions asymptotiques (correspondant au point M

considéré).

Le Théorème est également en défaut si

Φ(du, dv) = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = 0;

alors

que



cos θ

est infini, R est nul en général. La direction de la tangente est telle

R

dx2 + dy 2 + dz 2 = 0



c’est une droite isotrope du plan tangent. Il y a donc deux directions isotropes

correspondantes à chaque point M de la surface.

Variations de la courbure normale.

2. Le Théorème de Meusnier nous montre que, pour étudier la courbure

des diverses courbes passant par un point d’une surface, on peut se borner à

considérer les sections normales passant par les différentes tangentes à la surface

au point considéré.

Nous avons

1 E du2 + 2F du dv + G dv 2

1

.

=

Rn

H E du2 + 2F du dv + G dv 2

Considérons dans la plan tangent en M les tangentes MU, MV aux courbes

coordonnées v = const. et u = const. qui passent par M, et considérons le trièdre

constitué par MU, MV et la normale MN à la surface : les cosinus directeurs des

axes sont

dx

∂x du

1

=

=√

ds

∂u ds

E

dx

∂x dv

1

MV :

=

=√

ds

∂v ds

G

MN :



MU :



∂x

1 ∂y

1 ∂z

=l , √

=m , √

=n ,

∂u

E ∂u

E ∂u

∂x

1 ∂y

1 ∂z

=l , √

=m , √

=n ,

∂v

G ∂v

G ∂v

l,

m,

n.