Lignes géodésiques d'une surface développable.

CHAPITRE V.



77



en dộsignant par a , b , c , les dộrivộes de a, b, c par rapport s, on a

dx

a

= a + u + au ,

ds

R



dy

b

= b + u + bu ,

ds

R



dz

c

= c + u + cu ;

ds

R



ou

dx

u

= a(1 + u ) + a ,

ds

R

d2 x

=a u

ds2



dy

u

dz

u

= b(1 + u ) + b ,

= c(1 + u ) + c ;

ds

R

ds

R

1

R

u

u

+a

1 + 2u u

+a

,

R2

R

R

RT



et les analogues.

Lộquation des lignes gộodộsiques est, en remarquant que la normale la

surface nest autre que la binormale larờte de rebroussement

d2 x

ds2

dx

ds

a

ou

a u



u

R2



+



a

R



d2 y

ds2

dy

ds

b



d2 z

ds2

dz = 0,

ds

c



1 + 2u u



a(1 + u ) + a

a



u

R



R

R



+a



u

... ...

RT

... ...



= 0,



... ...



ou, en dộcomposant en dộterminants simples,

1

R



R

1 + 2u u

R



ou enn



a

(1 + u ) a

a



b

b

b



c

u

u

c +

u 2

R

R

c



u

u

1

R

u 2 (1 + u ) 1 + 2u u

R

R

R

R



a

a

a



b

b

b



c

c = 0;

c



= 0,



cest--dire

(2)



2



u u 2u u



R

3u

R



u2

R

2 +u

1 = 0.

R

R



Telle est lộquation diộrentielle qui dộtermine u.

Cherchons la nature de lintộgrale gộnộrale. Si nous dộveloppons la surface

sur un plan, la courbe (1) sera reprộsentộe par une courbe

x = F(s),



y = G(s),



dont le rayon de courbure sera encore R. Le point homologue du point (u, s) de

la surface sera

x = F + uF ,

y = G + uG .



78



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



Les droites du plan sont

A(F + uF ) + B(G + uG ) + C = 0,

doự



AF + BG + C

;

AF + BG

en remarquant que le dộnominateur est la dộrivộe du numộrateur nous sommes

donc conduits poser

w

u= ,

w

et prộvoir que lộquation en w sera linộaire, homogốne du troisiốme ordre.

Eectivement

u=



u = 1 +



ww

,

w2



et

u =



w

2ww 2

ww

+



;

w2

w

w3



(2) devient alors

w



w



w

2ww

ww

+



2

w

w

w3



2



2



ww

ww

3 1 +

2 1 +

2

w

w2

R w

R w

ww

1 w2

1 = 0;



1 +

2 2

2

R w

w

R w

R w



ou, aprốs simplication

w +



R

1

w + 2 w = 0.

R

R



Posons

w = ,

il vient

(3)



+



R

1

+ 2 = 0,

R

R



ộquation linộaire du deuxiốme ordre en . Faisons disparaợtre le deuxiốme terme

par le changement de variable

= (s),

doự

d

,

d

d2 2 d

=

+

;

d2

d

=



CHAPITRE V.

(3) devient



d2 2 d

+

d2

d



+



R



R



79



+



1

= 0.

R2



Il faut alors choisir la fonction de faỗon que lon ait

+

ou



R

= 0,

R





R

= .



R



On peut prendre

=



1

,

R



et poser

ds = R .

Nous obtenons alors lộquation

d2

+ = 0,

d2

dont lintộgrale gộnộrale est

= w = A cos + B sin =



dw

;

ds



doự

w=A



cos ds + B



sin ds + c,



et enn

u=

avec



A



cos ds + B



sin ds + c



A cos + B sin



,



ds

.

R

On peut se dispenser dintroduire larc s explicitement. Donc les lignes gộodộsiques dune surface dộveloppable sobtiennent par trois quadratures au plus.

On constate de plus que les deux mộthodes conduisent aux mờmes calculs.

=



Surfaces rộglộes gauches. Trajectoires orthogonales des gộnộratrices.

6. Soit la surface

x = f (v) + u l(v),



y = g(v) + u m(v),



z = h(v) + u n(v);



les gộnộratrices ộtant des gộodộsiques, il en rộsulte que les trajectoires orthogonales des gộnộratrices dộterminent sur ces gộnộratrices des segments ộgaux.

Pour obtenir ces trajectoires orthogonales, il faut dộterminer u en fonction de v

de faỗon que lon ait

l dx = 0.



80



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



Pour simplier nous supposerons que l, m, n soient cosinus directeurs ; on a alors

l2 = 1,



l dl = 0;



et lộquation diộrentielle devient

l df + du = 0,

doự

u=



l df.



La dộtermination des trajectoires orthogonales des gộnộratrices dune surface

rộglộe dộpend dune quadrature.

Remarque. On peut rattacher ce fait la formule qui donne la variation

dun segment de droite. Prenons sur la droite MM1 une direction positive ; soit

r la distance MM1 , prise en valeur absolue. Soient (x, y, z) et (x1 , y1 , z1 ), les



M(x, y, z)

M1 (x1 , y1 , z1 )



coordonnộes des deux extrộmitộs, qui dộcrivent deux courbes donnộes. Nous

avons

r2 = (x1 x)2 + (y1 y)2 + (z1 z)2 ,

doự

r dr = (x1 x)(dx1 dx) + (y1 y)(dy1 dy) + (z1 z)(dz1 dz),

doự

dr =



x1 x

y1 y

z1 z

dx1 +

dy1 +

dz1

r

r

r

y1 y

z1 z

x1 x

dx +

dy +

dz .



r

r

r



Soient , , , 1 , 1 , 1 les tangentes aux courbes en MM1 dirigộes dans le sens

des arcs croissants. Soient , à, les cosinus directeurs de la droite MM1 . Nous

avons

dr = ds1 (1 + à1 + 1 ) ds( + à + );

soient , 1 les angles de MM1 avec les deux tangentes ; nous avons enn la

formule importante

dr = ds1 cos 1 ds cos .

Supposons la droite MM1 tangente la premiốre courbe et normale la

deuxiốme, = 0, 1 = ; nous avons

2

dr = ds



CHAPITRE V.



81



et nous retrouvons ainsi les propriộtộs des dộveloppantes et des dộveloppộes.

Supposons la droite normale aux deux courbes, = , 1 = , alors dr =

2

2

0, r = const., et nous retrouvons les propriộtộs des trajectoires orthogonales des

gộnộratrices.

Cụne directeur. Point central. Ligne de striction.

7. On appelle cụne directeur de la surface le cụne

x = u l(v),



y = u m(v),



z = u n(v).



Si ce cụne se rộduit un plan, ce plan sappelle plan directeur, et les gộnộratrices sont toutes parallốles ce plan.

Le plan tangent en un point quelconque de la surface a pour coecients les

dộterminants dộduits de :

(1)



l

m

n

.

df + u dl dg + u dm dh + u dn



Le plan tangent au cụne directeur le long de la gộnộratrice correspondant celle

qui passe par le point considộrộ a pour coecients les dộterminants dộduits de

l m n

.

dl dm dn

Ces plans sont parallốles si u est inni. On a alors sur la surface le plan tangent au point linni sur la gộnộratrice quon appelle plan asymptote. Les

plans asymptotes sont parallốles aux plans tangents au cụne directeur le long

des gộnộratrices correspondantes.

Dans une surface plan directeur, tous les plans asymptotes sont parallốles

au plan directeur.

Pour que les deux plans tangents soient rectangulaires, il faut que la somme

des produits des dộterminants prộcộdents soit nulle

l2

ldl



l df + u

dl df + u



l dl

= 0.

dl2



Nous avons une ộquation du premier degrộ en u. Il existe donc en gộnộral sur

toute gộnộratrice un point oự le plan tangent est perpendiculaire au plan tangent

au cụne directeur, cest--dire au plan asymptote. Cest le point central, le plan

tangent en ce point sappelle plan central.

Le lieu des points centraux sappelle ligne de striction.

Nous supposerons pour simplier

l2 = 1, ce qui ộcarte le cas des surfaces

rộglộes gộnộratrices isotropes. Lộquation qui donne lu du point central se

rộduit

u

dl2 +

dl df = 0;

le point central existe donc toujours, sauf si lon a

dl2 = 0.



82



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



Dans ce cas la courbe sphộrique base du cụne directeur est une courbe minima

de la sphốre, cest--dire, une gộnộratrice isotrope. Le cụne est alors un plan

tangent au cụne asymptote de la sphốre, qui est un cụne isotrope, cest un

plan isotrope. Les surfaces considộrộes sont des surfaces rộglộes plan directeur

isotrope. Toutes sont imaginaires, sauf le paraboloùde de rộvolution.

Remarque. Le plan tangent est indộterminộ si tous les dộterminants du

tableau (1) sont nuls. Alors K ộtant un certain facteur, on a

df + u dl + Kl = 0,



dg + u dm + Km = 0,



ce qui donne



dh + u dn + Kn = 0,



df dl l

dg dm m = 0;

dh dn n



la surface est dộveloppable. Pour trouver le point oự le plan tangent est indộterminộ multiplions par dl, dm, dn et ajoutons, il vient

dl2 +



u



dl df = 0;



cest le point de contact de la gộnộratrice et de larờte de rebroussement. Cest

ce qui explique que la formule prộcộdente qui donne la ligne de striction pour

une surface rộglộe quelconque, donne larờte de rebroussement pour une surface

dộveloppable.

Variations du plan tangent le long dune gộnộratrice.

8. Proposons-nous de chercher langle des plans tangents une surface

rộglộe en 2 points dune mờme gộnộratrice. A cet eet, traitons dabord le problốme suivant : on a une droite , de cosinus directeurs , , , et deux droites

qui la rencontrent D(p, q, r) et D (p , q , r ). Calculons langle V des deux plans

D et D .

D (p , q , r )

, ,



(, , )

D(p, q, r)



, ,



Considộrons un triốdre trirectangle auxiliaire dont lun des axes soit ;

soient , , , , , les cosinus directeurs des autres axes, et soient dans

ce systốme u, v, w et u , v , w les coecients de direction de . Nous avons

tg V =



vw wv

.

vv + ww



CHAPITRE V.



83



Mais on a

u = p + q + r,

u = p + q + r ,



v = p + q + r,

v =p + q +r,



w = p + q + r

w = p + q + r,



doự

vw wv =



p + q +r

p + q +r





=











p + q + r

p + q + r





p q r

= p q r .

p q r

p q r









Dailleurs

uu + vv + ww = pp + qq + rr ,

doự

vv + ww = pp + qq + rr



p



p .



Alors



tg V =





p q r

p q r

pp p



p



=



2



D 2

pp p



p



.



Sous cette forme, on peut alors introduire les coecients directeurs l, m, n de la

direction

l m

p q



l2 + m2 + n2 p q

tg V =

l2

pp lp



(1)



n

r

r

.

lp



Appliquons cette formule langle des plans tangents en deux points M, M

dune mờme gộnộratrice. On peut prendre pour directions D, D les directions

tangentes aux courbes u = const. :

p = df + u dl,

p = df + u dl,



q = dg + u dm,

q = dg + u dm,



r = dh + u dn;

r = dh + u dn;



le dộterminant de la formule (1) devient

l df + u dl df + u dl

l dl df

m dg + u dm dg + u dm = m dm dg (u u );

n dh + u dn dh + u dn

n dn dh

et



tg V =



df dg dh

dl dm dn



(u u) l2 + m2 + n2 l m n

.

l2

l(df + u dl)

l(df + u dl)

(df + u dl)(df + u dl)



84



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



Nous poserons



df dg dh

D = dl dm dn .

l m n



Pour simplier ce rộsultat, nous prendrons pour l, m, n les cosinus directeurs

de la gộnộratrice ( l2 = 1,

l dl = 0) ; nous supposerons que la courbe x =

f (v), y = g(v), z = h(v) soit trajectoire orthogonale des gộnộratrices,

l df =

0. Nous dộterminerons u par la relation

u



dl2 +



dl df = 0



ce qui revient prendre pour lun des points le point central. Le dộnominateur

devient

dl2 ( dl df )2

df 2

df 2 + u

dl df =

;

dl2

et alors



(u u)D

df 2 dl2 (



tg V =

Posons

K=



dl2



dl

.

dl df )2



df 2 (

D

dl2



dl df )2



;



en remarquant que u u = CM, on a

(2)



CM

,

K



tg V =



formule de Chasles. Doự les consộquences bien connues suivantes, et qui ne sont

en dộfaut que pour des gộnộratrices singuliốres :

1o . Lorsque M dộcrit la gộnộratrice dun bout lautre, le plan tangent (P)

en M tourne autour de la gộnộratrice toujours dans le mờme sens, et la rotation

totale quil eectue est de 180 . En deux points diộrents, les plans tangents

sont diộrents.

2o . La division des points M et le faisceau des plans (P) sont en correspondance homographique.

3o . Comme trois couples dộnissent une homographie, deux surfaces rộglộes

qui ont une gộnộratrice commune, et qui sont tangentes en trois points de cette

gộnộratrice, sont tangentes en tous les autres points de cette gộnộratrice, cest-dire se raccordent tout le long de cette gộnộratrice. Lexpression de K peut se

simplier ; on a :

D=



df 2

dl df

l df



dl df

dl2

l dl



l df

l dl =

l2



dl2



doự

(3)



K=



D

.

dl2



df 2



dl df



2



,



CHAPITRE V.



85



Dans le cas gộnộral, on trouve de mờme

(4)



K=



l2



D

l2

dl2 (



l dl)2



.



K est le paramốtre de distribution ; il est rationnel. La formule (2) montre que,

si M se dộplace dans une direction quelconque sur la gộnộratrice, le plan tangent

tourne, par rapport cette direction, dans le sens positif de rotation, si K est

positif ; et tourne dans le sens nộgatif, si K est nộgatif.

La signe de K correspond donc une propriộtộ gộomộtrique de la surface.

Daprốs (3) ou (4), le paramốtre de distribution est nul pour une surface dộveloppable.

Remarque. Soient sur une mờme gộnộratrice deux points M, M oự les plans

tangents soient rectangulaires. On a

tg V tg V = 1,

doự, en vertu de (2),



CM CM = K2 ;



les points dune gộnộratrice oự les plans tangents sont rectangulaires forment

une involution dont C est le point central.

Exemple 1. Surface engendrộe par les binormales dune courbe gauche.

Soit la courbe

x = f (s),



y = g(s),



z = h(s);



avec les notations habituelles, nous avons

df = a ds,

l=a ,



dg = b ds,

m=b ,



dh = c ds,

n=c ,



et

dl =



a

ds,

T



dm =



b

ds,

T



dn =



c

ds.

T



Le point central est ici dộni par u = 0 ; la courbe est ligne de striction. Le

paramốtre de distribution est

a b c

a b c

K = T2

= T;

T T T

a b c

le paramốtre de distribution est ộgal au rayon de torsion de la courbe au point

correspondant. La courbe est ligne de striction, trajectoire orthogonale des gộnộratrices et gộodộsique.



86



GẫOMẫTRIE SUPẫRIEURE



Exemple 2. Surface engendrộe par les normales principales une courbe.

On a ici

df = a ds,

l=a,

a

a

ds,

dl =

R

T



dg = b ds,

m=b,

b

b

dm = ds,

R T



dh = c ds,

n=c,

c

c

dn = ds;

R T



le point central est dộni par

a

a

+

R

T

a

a

+

R

T



a

u=



2



=



1

R



1

1

+ 2

R2 T



=



RT2

= MC,

R2 + T 2



et on a :



K=



2



2



a



a

a

RT

+

2 + T2 R

R

T

a



b



b

b

+

R T

b



c



c

c

R2 T

+

.

= 2

R T

R + T2

c



Cherchons le plan tangent au centre de courbure O. Nous avons

tg V =



CO

MO MC

1

=

=

K

K

K



R



RT2

R2 + T 2



=



R2

R

1

= ;

2 + T2

KR

T



pour le point M, qui est sur la courbe on a

tg V =



CM

T

= ,

K

R



donc

tg V tg V = 1.

Les plans tangents en M et O sont rectangulaires, ce qui est un cas particulier

dune proposition que nous verrons plus loin (No 12).

ẫlộment linộaire.

9. Cherchons lộlộment linộaire dune surface rộglộe :

x = f (v) + u l(v)



y = g(v) + u m(v)



z = h(v) + u n(v).



En dộsignant par des accents les dộrivộes par rapport v, il vient :

dx = (f + ul ) dv + l du,



dy = (g + um ) dv + m du,



dz = (h + un ) dv + n du



et

ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 ,



CHAPITRE V.



87



avec :

E=



l2 ,



F=u



ll +



lf ,



l 2 + 2u



G = u2



lf +



f 2.



Supposons que l, m, n soient les cosinus directeurs :

l2 = 1,

E = 1,



F=



ll = 0,

l 2 + 2u



G = u2



lf ,



lf +



f 2.



Ces rộsultats sobtiennent directement en faisant le changement de paramốtre



Eu = u ;

doự

du =







dE



E du + u dv dv.

2 E



Nous avons alors, en supprimant les accents,

ds2 = du2 + 2Fdu dv + G dv 2 .

Supposons de plus que la courbe x = f (v), y = g(v), z = h(v) soit trajectoire

orthogonale des gộnộratrices, alors

lf = 0, F = 0, et on a

ds2 = du2 + G dv 2 ;

il est ộvident que lộlộment linộaire doit avoir cette forme, car on a un systốme

de coordonnộes orthogonales. On arrive aussi cette expression en posant

du + F dv = du ,

doự

u =u+



F dv,



ce qui exige une quadrature. La variable u est dộnie une constante prốs,

cest une longueur portộe sur chaque gộnộratrice partir de la mờme trajectoire

orthogonale. Pour dộnir la variable v, considộrons la direction de la gộnộratrice

x = l, y = m, z = n. Ces ộquations sont celles de la trace du cụne directeur

sur la sphốre de rayon 1 ; nous prendrons pour v larc de cette courbe ; alors

l 2 = 1, et

G = u2 + 2u

lf +

f 2.

Posons

l f = G0 ,



f



2



= G1 ,



nous avons

G = u + 2uG0 + G1 ;

les quantitộs G0 , G1 , ainsi introduites sont liộes dune faỗon simple au point central et au paramốtre de distribution. Considộrons linvolution des points M, M