Développement d'une surface développable sur un plan.
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GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE
C’est l’élément linéaire d’un plan en coordonnées polaires. Un cône est applicable
sur un plan, Φ et (2) donne la loi du développement.
Passons enfin au cas général
x = f (v) + u l(v),
y = g(v) + u m(v),
z = h(v) + u n(v).
Nous supposerons que la courbe x = f (v), y = g(v), z = h(v) soit l’arête
de rebroussement, v l’arc sur cette courbe, l, m, n les cosinus directeurs de la
tangente en un point, et u la distance comptée sur cette tangente à partir du
point de contact. Alors l = f = a ; m = g = b ; n = h = c ; et
l =
da
a
= ,
dv
R
db
b
dc
c
= ,
n =
= ;
dv
R
dv
R
a
dx = a dv + u dv + a du,
R
b
dy = b dv + u dv + b du,
R
c
dz = c dv + u dv + c du;
R
m =
et
u2 2
ds = d(u + v) + 2 dv .
R
Cet élément reste le même si R garde la même expression en fonction de v.
Donc l’élément linéaire est le même pour toutes les surfaces développables dont
les arêtes de rebroussement sont des courbes dont le rayon de courbure a la
même expression en fonction de l’arc :
2
2
R = Φ(v).
Nous pouvons déterminer une courbe plane dont le rayon de courbure s’exprime
en fonction de l’arc par l’équation précédente. Nous prendrons pour coordonnées
dans le plan de cette courbe l’arc s de la courbe, et la distance comptée sur la
tangente à partir du point de contact et on aura pour l’élément linéaire du plan
la forme précédente. La développable sera donc applicable sur ce plan. Quand la
développable est donnée, on détermine par des opérations algébriques son arête
de rebroussement, et par une quadrature l’arc de cette arête de rebroussement.
On a alors
R = Φ(s).
Il faut construire une courbe plane satisfaisant à cette condition. Si α est l’angle
de la tangente avec Ox, on a
ds
;
R=
dα
d’où
ds
ds
= Φ(s),
α=
;
dα
Φ(s)
et alors
dx = cos α ds,
dy = sin α ds;
x, y se déterminent au moyen de trois quadratures. La courbe que l’on obtient
est le développement de l’arête de rebroussement.
CHAPITRE V.
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Réciproque.
Réciproquement toute surface applicable sur un plan est une surface développable.
Soit la surface
x = f (u, v),
y = g(u, v),
z = h(u, v),
que nous supposons applicable sur un plan. Nous avons, en choisissant convenablement les coordonnées u, v :
ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = du2 + dv 2 ;
d’où
∂x
∂u
2
∂x ∂x
= 0,
∂u ∂v
= 1,
∂x
∂v
2
= 1.
Différentions ces relations successivement par rapport à u, v, nous avons
∂x
∂u
∂x
∂u
∂ 2x
= 0,
∂u2
∂ 2x
= 0,
∂u ∂v
∂ 2 x ∂x
+
∂u2 ∂v
∂ 2 x ∂x
+
∂u ∂v ∂v
∂x ∂ 2 x
= 0,
∂u ∂u ∂v
∂x ∂ 2 x
= 0,
∂u ∂v 2
∂x
∂v
∂x
∂v
∂ 2x
= 0,
∂u ∂v
∂ 2x
= 0;
∂v 2
d’où nous tirons :
∂ 2 x ∂x
= 0,
∂u2 ∂v
Considérons les deux fonctions
∂x ∂ 2 x
= 0.
∂u ∂v 2
∂x
∂y
et
. Leur déterminant fonctionnel est :
∂u
∂u
∂ 2x
∂u2
∂ 2y
∂u2
∂ 2x
∂u ∂v
.
∂ 2y
∂u ∂v
Or, considérons les équations
∂ 2x
∂ 2y
∂ 2z
X 2 + Y 2 + Z 2 = 0,
∂u
∂u
∂u
∂ 2y
∂ 2z
∂ 2x
X
+Y
+Z
= 0;
∂u ∂v
∂u ∂v
∂u ∂v
d’après les relations précédemment écrites, ce système admet deux solutions
distinctes
∂x
,
∂u
∂x
X=
,
∂v
X=
∂y
,
∂u
∂y
Y=
,
∂v
Y=
∂z
;
∂u
∂z
Z=
.
∂v
Z=
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GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE
Ces solutions ne sont pas proportionnelles, sans quoi les courbes u = const. et
v = const. seraient constamment tangentes. Donc les trois déterminants déduits
du tableau
∂ 2x
∂ 2y
∂ 2z
∂u2
∂u2
∂u2
2
2
∂ x
∂ y
∂ 2z
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
∂x ∂y
sont nuls ; or, ce sont les déterminants fonctionnels des trois quantités
,
,
∂u ∂u
∂z
prises deux à deux, donc ces trois quantités sont fonctions de l’une d’entre
∂u
∂x ∂y ∂z
elles, c’est-à-dire d’une seule variable t. De même
,
,
sont fonctions
∂v ∂v ∂v
d’une même variable θ. De plus la relation
∂x ∂x
=0
∂u ∂v
montre que θ par exemple s’exprime en fonction de t. Les six dérivées partielles
sont donc fonctions d’une même variable ; le plan tangent à la surface dépend
d’un seul paramètre. La surface est développable.
Remarque 1. Dans le développement les lignes géodésiques se conservent ;
or, les géodésiques du plan sont des droites. Les lignes géodésiques de la surface
développable sont donc les lignes qui dans le développement de cette surface sur
un plan, correspondent aux droites de ce plan.
En particulier, considérons la surface rectifiante d’une courbe, enveloppe du
plan rectifiant. Cette courbe est une géodésique de sa surface rectifiante, puisque
son plan osculateur est perpendiculaire au plan tangent ; elle se développe donc
suivant une droite lorsqu’on effectue le développement de la surface rectifiante
sur un plan. De là le nom de plan rectifiant.
Remarque 2. Il résulte de là que la recherche des géodésiques d’une surface
développable se ramène à son développement, et exige par conséquent quatre
quadratures.
Remarque 3. La détermination des lignes de courbure, développantes de
l’arête de rebroussement, revient à une quadrature.
Lignes géodésiques d’une surface développable.
5. Nous avons trouvé les lignes géodésiques d’une surface développable en
considérant le développement de cette surface sur un plan. On peut les chercher
directement. Soit l’arête de rebroussement
(1)
x = f (s),
y = g(s),
z = h(s),
s désignant l’arc. Si a, b, c sont les cosinus directeurs de la tangente, et u une
longueur comptée sur cette tangente à partir du point de contact, la surface est
représentée par
x = f + u a,
y = g + u b,
z = h + u c;
CHAPITRE V.
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en désignant par a , b , c , les dérivées de a, b, c par rapport à s, on a
dx
a
= a + u + au ,
ds
R
dy
b
= b + u + bu ,
ds
R
dz
c
= c + u + cu ;
ds
R
ou
dx
u
= a(1 + u ) + a ,
ds
R
d2 x
=a u −
ds2
dy
u
dz
u
= b(1 + u ) + b ,
= c(1 + u ) + c ;
ds
R
ds
R
1
R
−u
u
+a
1 + 2u − u
+a
,
R2
R
R
RT
et les analogues.
L’équation des lignes géodésiques est, en remarquant que la normale à la
surface n’est autre que la binormale à l’arête de rebroussement
d2 x
ds2
dx
ds
a
ou
a u −
u
R2
+
a
R
d2 y
ds2
dy
ds
b
d2 z
ds2
dz = 0,
ds
c
1 + 2u − u
a(1 + u ) + a
a
u
R
R
R
+a
−u
... ...
RT
... ...
= 0,
... ...
ou, en décomposant en déterminants simples,
1
R
R
1 + 2u − u
R
ou enfin
a
(1 + u ) a
a
b
b
b
c
u
u
c +
u − 2
R
R
c
u
u
1
R
u − 2 − (1 + u ) 1 + 2u − u
R
R
R
R
a
a
a
b
b
b
c
c = 0;
c
= 0,
c’est-à-dire
(2)
2
u u − 2u − u
R
3−u
R
u2
R
− 2 +u
− 1 = 0.
R
R
Telle est l’équation différentielle qui détermine u.
Cherchons la nature de l’intégrale générale. Si nous développons la surface
sur un plan, la courbe (1) sera représentée par une courbe
x = F(s),
y = G(s),
dont le rayon de courbure sera encore R. Le point homologue du point (u, s) de
la surface sera
x = F + uF ,
y = G + uG .
