a0 = Co, ai = Cj,a^.1 = Ck.Ị.

24



f 0 = 0 v à f] = 1 .

T a có p h ư ơ n g trìn h đ ặ c trư n g là: X 2 - X - 1 = 0.

C á c n g h iệ m đ ặ c tr ư n g là ri = - +- ^



v à r2 =



— .



D o đó c á c sổ F ib o n a c c i đ ư ợ c c h o b ở i c ô n g th ứ c fn = ai ( r i) n + a 2(r2)n.

C á c đ iề u k iệ n b a n đ ầ u ta có

f 0 = 0 = ai + a 2;

fi = 1 = ai ri + a 2r2.

T ừ hai p h ư ơ n g trìn h n à y c h o ta ai = —



, a2 = - — .



D o đó c á c số F ib o n a c c i đ ư ợ c c h o b ở i c ô n g th ứ c tổ n g q u á t sau :



A Ị ỉ + yíì) "

5 {



2J



V5 Ị 1 - V 5 Ì

5 ■



12J



C ô n g th ứ c B in e t c h o số F ib o n a c c i

F (n ) = £



r . 0 - J g>\/5



trong đỏ ty là tỷ sổ vàng ở trên.

Chứng minh (b ằ n g q u y n ạ p ). T ừ h ệ th ứ c tru y h ồ i F ib o n a c c i

F { n + 2 ) - F (n + 1) - F ( n ) = 0.

d ẫ n tớ i p h ư ơ n g tr ìn h x á c đ ịn h T ỷ số v à n g : X2 - X - 1 = 0 .

M ộ t n g h iệ m b ấ t lỳ c ủ a p h ư ơ n g trìn h trê n th o ả m ã n tín h c h ấ t X2 = X + 1, n h â n

h ai vế v ớ i jCn _ 1 ta có:



x n + ỉ = x n + x n- 1

C h ú ý rằ n g , th e o đ ịn h n g h ĩa v ề số p th ì ^ là m ộ t n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g trìn h v à

n g h iệ m k ia là 1 — i . D o đó

f




(1 -



= ự > n + ¥>n_1v à

( 1 - v»)" + ( 1 - V* ) " - 1



B â y g iờ đ ịn h n g h ĩa h à m Fa b(n) b ở i



25



Fa,b{n ) — aíp



^p) x á c đ ịn h v ớ i m ọ i số th ự c a ì b'



+ 6 (1



T ất cả c á c h à m n à y th ỏ a m ã n h ệ th ứ c tru y h ồ i F ib o n a c c i, th ậ t v ậ y



Fa>b( n + l ) = a ự > n+1 + b { l - v ) n+1



= a(
= aípn + 6 ( 1 —Ip)n + ay?n _ 1 + 6 ( 1 —

=



+ F a>ố( n -



B ây g iờ c h ọ n ữ — l / 1

^



=



ụ g



-



và k ~



1)



V T i ế p



tu c :



Ụ ẽ = 0



và



„



,,,

”M



;



V



ụ - v )



v /s



v /5



- 1 +2ự> _



-1 + (1 + VS) _ ,



v /5



v”

5



n h ữ n g c h ứ n g m in h ờ trê n c h ứ n g tỏ rằ n g v ớ i m ọ i n

¥ ■ "-(! - g ) "

V5



C h ú ý rằ n g , v ớ i h a i g iá trị k h ở i đ ầ u b ấ t k ỳ c ủ a a,b, h à m Fa b(n) là c ô n g th ứ c

tư ờ n g m in h c h o m ộ t lo ạ t c á c h ệ th ứ c tru y h ồ i.



1.5. M ở rộng dãy số Fibonancci

1.5.1. M ở rộng cho các số ăm

D ù n g F n.2 = Fn - Fn.\, có th ể m ở rộ n g các số F ib o n a c c i c h o các c h ỉ số n g u y ê n

âm . K h i đó ta có: ... - 8 , 5, -3 , 2, -1 , 1, 0 , 1, 1, 2, 3, 5, 8 , . . . v à F .„ = -(-1)"F „.



1.5.2. Không gian vectơ

T h u ậ t n g ữ dãy Fibonacci c ũ n g đ ư ợ c d ù n g c h o c á c h à m g từ tậ p c á c số

n g u y ê n tớ i m ộ t tr ư ờ n g F th o ả m ã n g{n+ 2 ) = g(n ) + g(n+\). C á c h à m n à y có

th ể b iể u d iễ n d ư ớ i d ạ n g



g(n) = F(n ) g( 1 ) + F(n- 1) g{ 0),

do v ậ y các d ã y F ib o n a c c i h ìn h th à n h m ộ t không gian vectơ v ớ i h à m F(n ) v à



F(n- 1) là m ộ t c ơ sở .



26



T ổ n g q u á t h ơ n , g iá trị c ủ a g có th ể lấ y tro n g m ộ t nhóm abeỉ (x e m n h ư m ộ t z -



module ). K h i đ ó d ã y F ib o n a c c i là m ộ t Z - m o d u le 2 c h iề u .

1.5.3. Các dãy số nguyên tương tự

Các số Lucas

Đ ặ c b iệ t, d ã y F ib o n a c c i L v ớ i L ( l ) = 1 v à L{ 2 ) = 3 đ ư ợ c g ọ i là d ã y các sổ



Lucas, th e o tê n c ủ a E d o u a rd L u c a s. D ã y L u c a s đ ã đ ư ợ c L e o n h a rd E u le r đề

c ậ p đ ế n n ă m 1 7 4 8 , tro n g Nhập môn giải tích vô hạn. v ề ý n g h ĩa , c á c số L u c a s



L(n) là lũy th ừ a b ậ c n c ủ a T ỷ số v à n g .

( ỉ



( l



+



V S ) ) "



=



I



(L ( n ) +



F ( n W 5) .



C á c số L u c a s q u a n h ệ v ớ i c á c số F ib o n a c c i th e o h ệ th ứ c



L (n) = F ịn — 1) -Ị- F (n H~ 1 ) .

M ộ t tổ n g q u á t h o á c ủ a d ã y F ib o n a c c i là c á c d ã y L u c a s. N ó có th ể đ ịn h n g h ĩa

n h ư sau:

ơ ( 0 ) = 0 ; ơ ( l ) = 1 ; U(n + 2) = P U ( n + \ ) - Q U ( n ị

tro n g đ ó d ã y F ib o n a c c i là trư ờ n g h ợ p đ ặ c b iệ t k h i p = 1 v à Q = - 1 . M ộ t d ạ n g

k h á c c ủ a c á c d ã y L u c a s b ắ t đ ầ u v ớ i F (0 ) = 2 , F ( l ) = p. C ác d ã y n à y c ó ứ n g

d ụ n g tro n g lý th u y ế t số đ ể k iể m tra tín h n g u y ê n tố.

C á c số Padovan đ ư ợ c x â y d ự n g tư ơ n g tự v ớ i h ệ th ứ c tru y h ồ i



P(n) = P(n - 2) + P(n - 3).

Các số Tribonacci

C á c số T r ib o n a c c i tư ơ n g tự c á c số F ib o n a c c i, n h ư n g th a y v ì k h ở i đ ộ n g

v ớ i h ai p h ầ n tử , d ã y n à y k h ở i đ ộ n g v ớ i b a p h ầ n tử v à m ỗ i số tiế p th e o b ằ n g

tổ n g c ủ a b a p h ầ n tử đ ứ n g trư ớ c . S au đ â y là m ộ t số số T r i b o n a c c i :

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7 , 13, 2 4 , 4 4 , 81, 149, 2 7 4 , 5 0 4 , 9 2 7 , 1 7 0 5 , 3 1 3 6 , 5 7 6 8 , 1 0 6 0 9 ,

1 9 5 1 3 ,3 5 8 9 0 , 6 6 0 1 2 , ...

G iá trị c ủ a h ằ n g số T rib o n a c c i là n g h iệ m c ủ a đ a th ứ c Jt3 - X2 - X - 1, x ấ p x ỉ



27



b ằ n g 1.8 3 9 2 9 , v à c ũ n g th o ả m ã n p h ư ơ n g trìn h x + x~3 = 2. N ó có v ai trò q u a n

trọ n g k h i n g h iê n c ứ u khối Snub.

C ác số T rib o n a c c i c ũ n g đ ư ợ c c h o b ở i



ở đ â y c ặp d â u n g o ặ c v u ô n g n g o à i là k ý h iệ u c ủ a h à m phân nguyên v à



a± = ( 1 9 ± 3 V § 3 ) 1/3



6=



( 5 8 6 + 1 0 2 v ^ 3 ) 1At



Các tổng quát hỏa khác

C ác đa thức Fibonacci là m ộ t tổ n g q u á t h o á k h á c c ủ a d ã y F ib o n a c c i.

M ộ t d ãy F ib o n a c c i n g ẫ u n h iê n c ó th ể x á c đ ịn h b ằ n g v iệ c n é m đ ồ n g x u ch o

m ỗi n tro n g d ã y v à lấ y F{n ) = F(n~ 1) + F {n - 2 ) n ế u đ ồ n g x u sấp v à lấy



F(n) = F{n—1) - F(n~ 2 ) n ế u đ ồ n g x u n g ử a .

C ó th ể đ ịn h n g h ĩa d ã y " n g ẫ u n h iê n F ib o n a c c i" là d ã y c á c số /„ x á c đ ịn h th e o

đệ q u y



/ o = l ,/ , = l,v à



j



_ ị f n - \ + fn -2 voixacsuat 0.5



\fn-l ~ / n -2 Vỡỉ xac suaí 0-5

C ăn b ậc n c ủ a trị tu y ệ t đ ố i c ủ a số h ạ n g th ứ n h ộ i tụ h ầ u c h ắ c c h ắ n v ề m ộ t

h ằ n g sổ k h i n tă n g v ô h ạ n .

I



1 .1 3 1 9 8 8 2 4



... khi n - » 00



Số nguyên tố F ibonacci

M ộ t số c á c số F ib o n a c c i c ũ n g là c á c số n g u y ê n tố n h ư Tiêu bản



OE1S2C: 2, 3, 5, 13, 89, 2 3 3 , 1597, 2 8 6 5 7 , 5 1 4 2 2 9 , . . . . C h ư a b iế t c h ắ c rằ n g

có v ô h ạ n số nguyên tổ Fibonacci k h ô n g .



Các xâu (ký tự) F ibonacci

T ư ơ n g tự v ớ i c á c b iể u th ứ c số , m ộ t x â u F ib o n a c c i đ ư ợ c đ ịn h n g h ĩa đ ệ q u y

n h ư sau



28



f b



F n : = i'X ro) : =



khi n = 0;



< a



k h i 71 = 1;



F ( n — 1 ) 4- F { n — 2)



k h i n > 1.



tro n g đó d ấ u "+" k ý h iệ u c h o p h é p g h é p h a i x âu .. D ã y c á c x â u F ib o n a c c i k h ở i

đ ầu là:



b , a, a b , a b a , a b a a b , a b a a b a b a , a b a a b a b a a b a a b , ...



Đ ộ dài c ủ a m ỗ i x â u F ib o n a c c i c h ín h là số F ib o n a c c i, v à c ó m ộ t x â u F ib o n a c c i

tư ơ n g ứ n g v ớ i m ỗ i số F ib o n a c c i. C á c x â u F ib o n a c c i c u n g c ấ p d ữ liệ u v à o ch o

các ví dụ c h o m ộ t v à i thuật toán máy tính.

1.6. B iế n n g ẫ u n h i ê n v à đ ộ đ o x á c s u ấ t



1.6.1. Ben ngẫu nhiên

Định nghĩa 1. M ộ t b iế n số đ ư ợ c g ọ i là ngẫu nhiên n ế u tro n g k ế t q u ả c ủ a

p h é p th ử n ó c h ỉ n h ậ n m ộ t v à c h ỉ m ộ t tro n g c á c g iá trị c ó th ể c ó c ủ a n ó tù y

th u ộ c v à o sự tá c đ ộ n g c ủ a c á c n h â n tố n g ẫ u n h iê n .

B iế n n g ẫ u n h iê n đ ư ợ c g ọ i là rờ i rạ c n ế u c á c g iá trị có th ể c ó c ủ a n ó lập

n ê n m ộ t tậ p h ữ u h ạ n h a y đ ế m đ ư ợ c.



1.6.2. Đô đo xác suất

9

Định nghĩa 2. M ộ t h à m đ ộ đ o |I trê n đ ại số c á c tậ p c o n c ủ a tậ p X th ỏ a m ãn :

|0.(X) e [0, 1] th ì IX đ ư ợ c g ọ i là độ đo xác suất.



Định nghĩa 3. G iả sử /Ẩ là m ộ t đ ộ đ o trê n X . Giá của độ đo J là tậ p đ ó n g b é

U

nhất v ớ i phần bù c ó độ đ o



J bằng

U



k h ô n g v à k ý h iệ u là



suppỊẦ.



Định nghĩa 4. Đ ộ đ o x á c s u ấ t |i có g iá là tậ p h ữ u h ạ n h a y đ ế m đ ư ợ c đ ư ợ c g ọ i

là độ đo xác suất rời rạc.

Đ ể ý rằ n g n ế u |0. là đ ộ đ o x á c s u ấ t rờ i rạ c th ì đ ộ đ o ấ y c h ỉ tậ p tru n g tạ i

h ữ u h ạ n h a y đ ế m đ ư ợ c đ iể m . K h i đ ó ta có th ể b iể u d iễ n :



suppụ = {an:n eN , ju(an) > o}.

H ơ n n ữ a , n ế u đ ặ t B = {an : n eN , /u{an) > o}. th ì ịấ(Á) =



v ớ i m ọ i tậ p A

xeAnB



tro n g đại số c á c tậ p h ợ p c o n c ủ a X .



C H Ư Ơ N G 2. Ứ N G D Ụ N G D Ã Y F I B O N A C C I V À T Ỷ s ố

V À N G Đ Ể T ÍN H Đ ộ Đ O X Á C S U A T T R O N G B À I T O Á N

( 0 ,1 ,4 )



Đ ặc điểm c h ín h c ủ a các tậ p F ra c ta l là sự t ự đ ồ n g d ạ n g (self-sim ilar) g iữ a

m ộ t bộ p h ậ n n h ỏ b ấ t kỳ với to à n th ể đ ố i tư ợ n g F ra c ta l ấy. C ác tậ p tự

đ ồng d ạ n g n à y đư ợ c x â y d ự n g từ họ các á n h x ạ co m à t a gọi là hệ hàm



lặp (I te r a te d F u n c tio n S y ste m ) n h ư sau:

G iả sử Sj(x) — p(x + bj), bj e M; p € ( 0 , 1 ) với j = 1 ,



là họ



h ữ u h ạ n các á n h x ạ đ ồ n g d ạ n g tr ê n R . K h i đó, lu ô n tồ n tạ i d u y n h ấ t tậ p

c o m p a c t k h á c rỗ n g F C R sao cho

ra



F = \J f,{F ).

3=1



T ập F được x e m là F ra c ta l - tậ p tự đ ồ n g d ạ n g . V í d ụ n h ư tậ p C a n to r, h o a

suplơ, h ìn h b ô n g tu y ế t V on K och, đ ệm S ie rp in sk i, tậ p J u lia , t ậ p M an d e l­

b ro t,...

N ếu t a k ết h ợ p hệ h à m lặp gồm các p h é p đ ồ n g d ạ n g { / j } j L i với h ệ các

giá tr ị x á c s u ấ t

cho



th ì sẽ có d u y n h ấ t m ộ t độ đo x ác s u ấ t B orel Ị sao

1

m



n = ^ T ỹjịio Ị 7 l .



(0 . 1 )



j= 1

T a gọi [Ấ là độ đo tự đồng dạng c ủ a hệ h à m lặp (x em [10 ]).

Đ iều đ á n g chú ý là g iá c ủ a độ đ o x ác s u ấ t Ị c h ín h là t ậ p F ra c ta l sin h

1

bỏi hệ h à m lặ p . V ì th ế , m ộ t tro n g n h ữ n g b ài to á n cơ b ả n c ủ a h ìn h h ọ c tự

đ ồ n g d ạ n g là n g h iê n cứ u về độ đo x á c s u ấ t n à y m à cự th ể là n g h iê n cứu

về chiều đ ịa p h ư ơ n g c ủ a nó. Đ iều th ú vị là việc x á c đ ịn h độ đo x ác s u ấ t

29



30



lại d ự a tr ê n hệ th ứ c tr u y hồi x á c đ ịn h d ã y số F ib o n a c c i v à đ ặc b iệ t là liên

q u a n m ậ t th iế t đến T ỷ số v àn g (đ ã tr ìn h bày. ỏ C h ư ơ n g 1 ).

Đ ể ý rằ n g n ế u t a k ết hợp h ệ h à m lặ p có d ạ n g {fi(x) = p (z + fri)}™ ! (p €

( 0 , 1 ), bi e R ) với hệ các g iá tr ị x á c s u ấ t {pi}™ ! th ì độ đo tự đ ồ n g d ạ n g

sin h r a tro n g trư ờ n g hợp n ày có th ể đ ư ợ c x â y d ự n g b ằ n g cách: G iả sử



X i , X 2, ... là d ã y các b iến n g ẫ u n h iê n rời rạ c , đ ộ c lập, có c ù n g p h â n phối,

m ỗi biến n g ẫ u n h iê n Xị n h ậ n các g iá tr ị b \, . . . , bm với các g iá tr ị x ác s u ấ t

oo



tư ơ n g ứ n g là P i , . ..



, p m .



Đ ặt s —



p{Xi v à x á c đ ịn h m ộ t độ đo x ác s u ấ t

2=1



Ị.ip bởi



ụ>p{A) — P {u : S(u>) E A} với A là t ậ p B orel tr ê n R .

T a ch ứ n g m in h được Hp =



K hi độ đ o h o à n to à n kỳ dị th ì b ài to á n



n g h iê n cứ u về ch iều đ ịa p h ư ơ n g c ủ a độ đ o n ày là có ý n g h ĩa.

Với 771 = 3, ỏi = 0, 62 =



1, độ đ o n h o à n to à n k ỳ dị n ếu Ò = 0

3



(m o d 3) h a y Ò3 = 1 (m o d 3). V iệc n g h iê n cứ u đ ộ đo sin h r a tro n g trư ờ n g

hợ p n ày t a gọi là Bài toán (0 ,1 , a) tổng quát. Đ ể ý rằ n g , khi a = Ò = 3A:

3

với k = 1 t a có Bài toán ( 0 ,1 ,3 ) là b à i to á n có n h iề u ứng d ụ n g v à



được



n h iề u n h à to á n học ỏ Mỹ, c h ẳ n g h ạ n n h ư T . Y . H u, N. T . N hư, K asin g

L au , ....tậ p tr u n g n g h iên cứu. K hi a = Ò = 3k + 1 với k = 1 t a có Bài

3



toán ( 0 ,1 ,4 ) tư ơ n g đư ơ ng với B ài to á n ( 0 ,1 ,3 ) . K ế t q u ả n g h iên cứu về bài

to á n n ày đư ợ c tr ìn h b à y tro n g C h ư ơ n g 2 c ủ a Đ ề tà i.

2 .1 . M ộ t s ố k h á i n i ệ m c ơ b ả n



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 1 . G iả sử D là m ộ t t ậ p con đ ó n g tro n g R d. M ộ t án h

x ạ / : D —> D đ ư ợ c gọi là phép co tr ê n D n ếu tồ n tạ i h ằ n g số c G (0 ,1 )

sao cho 11/ ( 2;) - f( y) II < c\\x - y II với m ọ i x , y e D.

N ếu đ ẳ n g th ứ c x ả y ra, n g h ĩa là 11/ ( 2;) — f ( y ) II = c\\x —y II, th ì



f( x ) = cRx + b

với R là m a t r ậ n trự c giao c ấp đ v à M à v e ctơ tro n g R d. T ro n g trư ờ n g hợp

n à y t a gọi / là phép đồng dạng.



31



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 2 . G iả sử D là m ộ t tậ p co n đ ó n g tro n g R d. K hi đ ó d ãy

các p h é p co { / i , . . . , fm} trê n D được gọi là m ộ t hệ hàm lặp.

K ý hiệu c là họ t ấ t c ả các tậ p con c o m p a c t, k h á c rỗ n g c ủ a



t a tra n g



bị cho c bỏi m e tric H a u sd o rff 7í . K h i đó, Tí là m ộ t m e tric đ ầ y đ ủ tr ê n c.

T a có đ ịn h lý sa u .



Đ ị n h lý 2 . 1 . 3 . Cho hệ hàm lặp { / i , . - . , / m } trên Md . Khi đó, tồn tại

duy nhất một tập compact khác rỗng F € c thỏa mãn

m



F= U /.W

i= l



Hơn nữa, nếu ta xác định một ánh xạ f : c —> c bởi

m



ỉm



= u f i { X ) vói X e C ,

i= 1



thì f k(A ) —> F theo metric Tí khi k — oo với bất kỳ A G c, trong đó f k

*

ký hiệu là sự lặp lại k lần ánh xạ f . Đặc biệt, nếu tồn tại A £ c sao

cho fi(A ) c A với mọi i thì

oo



F =

k= 0



T ừ đó t a có đ ịn h n g h ĩa sau.



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 4 ■G iả sử { / 1 ,



f m} là m ộ t h ệ h à m lặp x ác đ ịn h trê n



T ậ p c o m p a c t k h á c rỗng d u y n h ấ t F c Md th ỏ a m ã n đ ẳ n g th ứ c

m



F = {Jf,(F)

i= 1



được gọi là tập bất biến c ủ a h ệ h à m lặ p { / 1 ,

N ếu m ỗi fi (i = 1



/ro}-



tro n g hệ h à m lặ p { / i , . . . , / m } là p h é p đ ồ n g



d ạ n g th ì F đ ư ợ c gọi là tập tự đồng dạng.

C h ú ý rằ n g n ế u /i là độ đo x ác s u ấ t rời rạ c tr ê n M th ì

s u p p ụ = {an : n e N với Ịi{an) > 0}.



32



Hơn n ữ a, n ế u đ ặ t B — {an : n e N , ụ,(an) > 0} th ì ịi(Á) =



^2



ịi(x)



xeAnB



vói m ọi tậ p B orel Ấ c M .

Đ ịn h lý s a u đ â y cho p h é p t a x â y d ự n g m ộ t đ ộ đ o từ hệ h à m lặp k ế t hợp

vói hệ các g iá t r ị x á c s u ấ t.



Đ ị n h lý 2 . 1 . 5 . Cho hệ hàm lặp



gồm cấc phép đồng dạng



trên R d và hệ các giá trị xác suất {pi,



(pi,



...,Pm e (0,1), Y ^ P i —



2=1

1 ). Khi đó, luôn tồn tại duy nhất một độ đo xấc suất Borel



thỏa mãn



m



(1.1)

với mọi tập Boreỉ A. Hơn nữa,

hệ hàm lặp { / i ,



supp ịi = F vói F là tập bất biến của



đã cho.



Hệ h à m lặp



c ù n g với h ệ các g iá trị x á c



được gọi là hệ hàm lặp



xác suất. T a c ũ n g nói các g iá tr ị



suất

x ác s u ấ t



k ết hợp với hệ h à m lặ p { f i } ị í ị .



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 6 . G iả sử



v à {pùỴLi là h ệ h à m lặp x ác s u ấ t.



K hi đó, độ đo x á c s u ấ t B orel d u y n h ấ t ụ tro n g Đ ịn h lý 2.1.5 được gọi là

-



độ đo bất biến c ủ a hệ h à m lặ p {fi}ịLị.

N ếu m ỗi fi (i = 1 ,



ra ) c ủ a hệ h à m lặ p {fi}ịỊ-i là p h é p đ ồ n g d ạ n g th ì



ỊX được gọi là độ đo tự đồng dạng.

Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 7 . M ộ t hệ xác suất là m ộ t d ã y { X ị } ^ 1 các biến n g ẫu

n h iên rời rạ c , đ ộ c lập, có c ù n g p h â n p h ố i, m ỗi b iến n g ẫ u n h iê n Xi n h ậ n

các g iá trị th ự c ò i , . . . , bm với các x á c s u ấ t tư ơ n g ứ n g là P i , . . . ,pm.

Hệ x ác s u ấ t



đư ợ c gọi là hệ xác suất đều n ếu Pi = ... = Pm = 1 /m.



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 8 . C ho p G ( 0 , 1 ) v à m ộ t h ệ x á c s u ấ t { X i , X 2 , ...}, đ ặ t

oo



s =



p{Xị. K h i đó, độ đo x á c s u ấ t Hp cho bởi

1=1



yUp(A) =



P {cj : S( uj) e A} được gọi là độ đo Fractal sin h bỏi s.



N ếu hệ h à m lặ p {fi}ịLi trê n R có d ạ n g f i ( x ) = p ( x + bi), i = 1, ...,m

v à hệ các g iá t r ị x á c s u ấ t kết hợp { p i \ ĩ =i ch ín h là các g iá tr ị x á c s u ấ t m à

Ẹ



{Pi}ịỊ=l



33



inỗi biến n g ẫ u n h iê n Xị n h ậ n th ì t a có th ể chỉ r a rằ n g độ đo F ra c ta l ịip

tro n g Đ ịn h n g h ĩa 2.1.8 th ỏ a m ã n p h ư ơ n g tr ìn h (1.1).

T h ậ t vậy, t a có 5 = p (X 1 + s') vói s' là b iến n g ầ u n h iên có cù n g p h â n

p hối n h ư s v à độc lậ p với X\. K hi đó, t a có



ỊX

P(A) = p ( 5 e A ) =



P (p{X l + S') e A )



m



=



P ( * l = bi) p (p(b, + S') e A)



2=1

m



= x >



P ( / i ( S ') s A)



2=1

m



= ỵ , P i P ( s ' e f-'(A ))

1—1

m



1=1

T ừ đ â y k ế t hợp với tín h d u y n h ấ t c ủ a độ đo tự đ ồ n g d ạ n g t a có ịẦ — ịi.

p

D o vậy, t a ký h iệ u c h u n g là II v à gọi là đ ộ đ o F ra c ta l.

T h e o J e n s e n v à W in tn e r th ì độ đo F ra c ta l H nói trê n h o ặc là liên tụ c

tu y ệ t đối hoặc là h o à n to à n k ỳ dị. T ro n g trư ờ n g h ợ p độ đo F ra c ta l /i h o à n

to à n kì d ị th ì m ộ t tr o n g n h ữ n g v ấ n đề trọ n g tâ m là n g h iên cứ u chiều đ ịa

p h ư ơ n g c ủ a nó. K hái niệm n à y đư ợ c đ ịn h n g h ĩa n h ư sau .



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 9 . Với s G s u p p ỊX chiều địa phương dưới c ủ a ụ, tạ i s

,

ký h iệu là a(s) và đư ợ c x á c đ ịn h bỏi



t \ - V ■ r ìữẽ K B { s , h ) )

a[s) = lim i n f ------—— -----— ,

h->0+

lo g h

tr o n g đó B(s, h ) là h ìn h c ầu tâ m tạ i s, b á n k ín h b ằ n g h. T ư ơ n g tự , t a đ ịn h

n g h ĩa chiều địa phương trên b ằ n g cách sử d ụ n g giới h ạ n tr ê n v à ký hiệu

nó bởi ã(s).

N ếu h ai giới h ạ n n à y b ằ n g n h a u th ì g iá tr ị giới h ạ n ch u n g được gọi là



chiều địa phuơng c ủ a ịi tạ i s v à k ý h iệu là a ( s ) .

T a ký hiệu:



34



n là độ đo F ra c ta l đư ợ c sin h r a b ỏ i hệ x á c s u ấ t,

E = { a ( s ) : s € su p p /i} , Ea = {s : s e su p p /X, a ( s ) = a } ;

ã = s u p ( ã ( s ) : s e su p p fi}] a — in f { a ( s ) : s e su p p ụ,}]

Q* — su p { a ( s ) : s G s u p p ịi } v à O = in f { a ( s ) : s £ s u p p fi}.

i*

G iả sử X q, X i , . . . là d ã y các b iến n g ẫ u n h iê n rời rạc, đ ộ c lập, có cù n g

p h â n phối, m ỗi b iến n g ẫ u n h iê n Xi n h ậ n các g iá tr ị 0 , 1 ,4 với các x ác s u ấ t

b ằ n g n h a u Po = Pi = P2 = ị.

K ý h iệu N là t ậ p t ấ t c ả các số n g u y ê n k h ô n g âm v à M+ là tậ p các số

th ự c k h ô n g âm . Với 771, n € N đ ặ t D = { 0 , 1 ,4 } v à ký hiệu

B n+1 = { (x 0,



xn) : Xi e B } ; D °° = { (x 0 , Xi , ...) : Xi e D }.



Với q — 1 /3 đ ặ t



S = f 2 q~kx k v à

k=0



T a có th ể xem s : D °° —> M+



S n = J 2 q - kX h

k=0



và



s n : D n+1 —> R + là các h à m được xác



đ ịn h bởi



S{x) = Y ^ q ~ kx k với X = (xo, XI,...) e

k= 0

và



Sn(x) = ^ 2 q ~ kXk với X = (xo, ...,xn) e ID)^+ 1.

k=0



K ý hiệu ỊLv à Ịin tư ơ n g ứ ng là các đ ộ đ o F ra c ta l sin h bởi s v à 5 n , n g h ĩa là

J



ịjl{A) = P{co : S(l>) e A}\



ịin(Á) = P {i 0 : Sn{co) e Á).



2 .2 . C á c k ế t q u ả b ổ t r ợ



B ỗ đ ề 2 . 2 . 1 . Giả sử

s k = Ỵ 2 3~ixi > s ' k = ỵ 2 3~ix,i> s k = s 3~ix"

i=l

2= 1

2=1