(-L) 20«i-.+|-i < #(Sn._i) < #(s„) < #(sni) < 1 ae>+2.

49



T ừ Đ ịn h lý 2.4.1 v à M ện h đề 2.4.3 t a có đ ịn h lý sau .



Đ ị n h lý 2 . 4 - 4 ' Miền giá trị của hàm chiều địa phương của độ đo tự

đồng dạng Ị trong Bài toán ( 0 ,1 ,4 ) là tập

1

E = (1 - —



—



—



»!] * to 562, 1 ],



C H Ư Ơ N G 3. S Ử D Ụ N G D Ã Y F IB O N A C C I T ÍN H G IÁ T R Ị

LỚ N N H Ấ T C Ủ A Đ ộ ĐO XÁ C SU A T l à t íc h



c h ậ p



5



LẦN CỦA ĐỘ ĐO CA N TO R CHUAN



L ấy V là độ đo C a n to r c h u ẩ n th ì V có th ể x e m là được sin h b ỏ i hai á n h x ạ



Sị(x) = 2 ^ + 3 i, ỉ = 0 ,1 với các x ác s u ấ t ị với m ỗi Sị. K h i đó, tậ p b ấ t

biến c ủ a hệ h à m lặ p là tậ p C a n to r c h u ẩ n c , n g h ĩa là, c — So(C) u Si(C).

Lấy /X = V * ... * ự là tíc h c h ập m — lầ n c ủ a đ ộ đ o C a n to r ch u ẩn .

Với m > 3, độ đo n à y k h ô n g th ỏ a m ã n đ iều kiện tậ p m ở (xem [2]), do

đó việc n g h iên c ứ u chiều đ ịa p h ư ơ n g c ủ a đ ộ đ o n à y tro n g tìn h h u ố n g này

là k h á p h ứ c tạ p . M ộ t cách k h á c k h á th u ậ n tiệ n là x e m độ đo x á c s u ấ t ụ,

đư ợ c sin h bởi b iế n n g ẫ u n h iê n tổ n g , n g h ĩa là, độ đo ụ, được x â y d ự n g n h ư

sau:

L ấy X là b iến n g ẫ u n h iê n rời rạ c n h ậ n các g iá tr ị { 0 , 1 ,



với các



x ác s u ấ t tư ơ n g ứ n g là Pi — P ( X = i) — Tpi, i = 0 , 1 , r a v à lấy

là d ã y các b iến n g ẫ u n h iê n rời rạc, đ ộ c lập , có c ù n g p h â n p h ố i x ác s u ấ t

oo

n

như X . D ặt s =

3~iXj, s n =

3 ~ iX j v à /i, /in là h à m p h â n phối

j= i



j= 1



c ủ a s , Sn tư ơ n g ứng. K hi đó độ đo ịi h o ặ c là k ỳ dị, h o ặc là liên tụ c tu y ệ t

đối.

Ký



hiệu E = { 01( 5 ) : s e su p p Ịi} là t ậ p t ấ t c ả các g iá tr ị đ ạ t được c ủ a



c h iề u đ ịa p h ư ơ n g



củ a độ đo



ịi v à với m ỗ i m = 2 , 3 , . . . , t a



đặt



Q = in f { ^ ( s ) : s e SUPP m};

Lm

Qm =



su p {ã (s) :



s



e



su p p



ỊÌ\.



T ro n g [6 ] các tá c g iả đ ã chỉ r a rằ n g ã m = rcjpgl2 là đ iểm cô lập c ủ a E với



50



51



mọi m = 2 ,3 ,... và



log 2



ữm = 7-^77 ~ 0.63093 n ế u m = 2;

log 3



3 log 2

—

log 3



1 « 0.89278 n ế u



m = 3 o r 4.



K ết q u ả n à y đư ợ c ch ứ n g m in h b ằ n g đ ại số tổ h ợ p v à d ã y F ib o n a c ci. Nó p h ụ

00



t h u ộ c v à o v i ệ c đ ế m s ố c á c h b iề u d iễ n c ủ a m ỗ i đ iể m



s =



'j, Xj =



j=1

0 ,...,7 7 1 , với các x á c s u ấ t k ế t hợp. S a u đó, tro n g [ 1 2 ], P a b lo S h m e rk in c ũ n g

chỉ r a các g iá t r ị a m với m = 2 , 3 , 4 bỏi cách k h á c với p h ư ơ n g p h á p m à

các tá c g iả tr o n g [6] đ ã sử d ụ n g . T ro n g b à i b á o ấy, ô n g k h ẳ n g đ ịn h rằ n g

k ết q u ả th u đư ợ c ỏ đ â y là k h ô n g q u á k h ó . T u y n h iên , ông cho rằ n g việc

x á c đ ịn h ch ín h x á c g iá tr ị c ủ a a m vói m > 5 là k h ó v à ô n g đ ã ước tín h g iá

tr ị này.

Với ý n g h ĩa đó, C h ư ơ n g 3 c ủ a Đ ề tà i sẽ tr ìn h b à y việc x á c đ ịn h g iá tr ị



a m với m = 5 b ằ n g việc sử d ụ n g cô n g cụ Đ ại số tổ hợp, p h ư ơ n g p h á p giải

p h ư ơ n g tr ìn h b ậ c 3 c ủ a C a rd a n o v à d ã y số F ib o n a c ci. Đ iều th ú vị là k ết

q u ả tín h được c ủ a c h ú n g tô i tr ù n g với k ết q u ả m à P a b lo S h m e rk in đ ã ước

tín h tr o n g c ô n g tr ìn h c ủ a ông. K ết q u ả th u đ ư ợ c c ủ a c h ú n g tô i là:



Đ ị n h lý chính . Giả sử n là tích chập 5 lần của độ đo Cantor chuẩn.

Khi đó, giá trị bé nhất của chiều địa phương của độ đo xác suất /i là

427



log \-Ás(V 145 CQs(ar--°v,59^ ) + 5)1

a 5 = I - LĨ-2 V -------- P ------- 2------- L

------ l i I « 0.972638.

lo g 3



K ết q u ả n à y được tr ìn h b à y ch ứ n g m in h tro n g 2 p h ầ n . P h ầ n đ ầ u tr ìn h

b ày các kết q u ả cơ b ả n liên q u a n đ ế n việc c h ứ n g m in h ỏ p h ầ n sau.

3 .1 . M ộ t s ố k ế t q u ả b ổ t r ợ

G iả sử V là đ ộ đo C a n to r c h u ẩn v à



= V * ... * Ư ( m —lần ) là tíc h c h ập



m lần c ủ a độ đ o V. K hi đó, b ằ n g v iệc c h ứ n g m in h h o à n to à n tư ơ n g tự n

n h ư _ ổ đ ề 4.4 tr o n g [5], t a có

B



52



M ệ n h đ ề 3 . 1 . 1 . Giả sử u là độ đo Cantor chuẩn, nghĩa là V được

sinh bởi hai ánh xạ co có cùng tỷ số co Sị(x) = ị x + ịi, i = 0 , 1 với các

xác suất tương ứng là \ đối với mỗi Sị. Khi đó tích chập m ỉần của độ.

đo Cantor là ụ, = V * ... * V được sinh bởi hệ các phép co có cùng tỷ số

1 / 3 là Si(x ) = ị x + ị i với cấc xác suất tương ứng là p r đối với mỗi Si

với i = 0 , 1 ,



m.



M ê n h đ ề 3 . 1 . 2 . VỚI m > 2 , thì a ( s ) = lim IlogTỈr^r-1 nếu giới han

’

w

n—

+00 nloS 3 1

y

tồn tại. Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại ta thay thế a ( s ) bởi ã(s)

và a ( s ) và xem là giới hạn trên và dưới.

Đ ặ t D = { 0 , 1 , 5 } v à với m ỗi n e N t a k ý h iệu



D n = { ( x i, ...,xn) : Xi E D }D °° = { { xi , x 2, ...) : Xị e D}.

Với (x i ,...,x n) e D n , đ ặ t

n



n



(( x i,. .. ,x n)) = { ( y i , . . . , 2/„) e D n : Ỵ ] 3 ~ ý i =

2=1



1=1



N ếu ( z i, .. ., z n) e ( ( x i, ...,xn))ỉ th ì t a k ý h iệ u ( z i , .. ., z n) ~ (xi, ...,xn). Rõ

ràng rằng n ếu



( z i , . . . , z n) ~ ( x i , . . . , x „ ) v à (zn+ĩ , z m) ~ {xn+ĩ , x m)



th ì

( z i , zm) ~ ( x i , x m ).



(1)



K ý h iệu

((.Ti, ...,xn, x)) = {(yi, ...,yn,x) : (y i,



€ <(a?i, ...,x „ ) ) } .



Bổ đ ề s a u đ â y đ ư ợ c được sử d ụ n g th ư ờ n g x u y ê n tro n g ch ư ơ n g này.



n



n



9



B ồ đ ề 3 . 1 . 3 . Lấy sn —



3 ~ixj, s'n = Ỵ2 3~Jx'i là hai điểm trong

3=1

j= l

supp Ịin. N?u sn = s'n thỡ xn = x'n (mod 3).



M ệ n h d ề 3 . 1 . 4 . Với X = (XI, X2 , ...) = (2, 3 , 2 , 3 , . . . ) G D ° ° ; ta có

i) Nếu n là số chẵn thi (2/ 1 ,



2

/n) ẽ ( ( x i , x n)) = ( ( 2 , 3 , 2 ,3 ))



nếu và chỉ nếu

(J i , - , y n ) e (( x i, ...,x n _ i,3 )> h o ặ c ( y i , . . . , y n ) e ( ( x i,...,x „ _ 2 ,a :n_ 2 ,0 )).



53



ỉi) Nếu n là s ổ lẻ thì ( y \ , y n) £ ((x\, ...,xn)) = {(2 , 3 , 2 , 3 , 2 )) nếu

và chỉ nếu

( ỉ/l. •••) Vn) e ( 0 &1 ,



...,xn- i , 2 ) ) hoặc ( y i , ...,yn) e ({xi, ...,Xn-2,xn- 2ì5)).



Chứng minh, i) X é t trư ờ n g hợp n là số ch ẵn .

N ếu ( y i , y n) e ({xi, ...,xn)) = (( 2 ,3 , ...,2 ,3 ) ) th ì t a có



(yi - 2 )3 n_1 + (V2 - 3 )3 n" 2 + ... + (yn _ 1 - 2)3 + (y„ - 3) = 0.



(2)



D o đó, yn — 3 = 0 (m o d 3). V ì yn G D , n ê n yn = 3 h o ặc yn = 0 .



3~iXị. D o đó,

j=1

Ỉ=1

( y i ) - , y n - i ) e ({x\, ...,xn- i ) ) . T ừ (1) t a có (yi, ...,yn) e { ( x i , X n- 1 , 3)).

a) N ếu yn = 3 th ì yn —3 = 0. T ừ (2) t a có X]



b) N ếu yn = 0 th ì yn — 3 = —3. T ừ ( 2 ) t a có

(í /1 - 2 )3 " - 2 + (ị/2 - 3 )3 ”- 3 + ... + (ị/ti— - 3)3 + (» „ _ ! - 3) = 0.

2

D o đô, ( 2/ 1 ,



Un— ) Un— £ ((2, 3,

2

ĩ)



2 , 3, 3)) = ( ( ^ 1 )



2 ) 2-71— ))- T ư

2



( 1 ) t a có ( y i , . . . , y „ ) e ( ( x i , x n_ 2 , £ n - 2 , 0)).

N gược lại, n ế u ( y i , . . . , ỉ / n ) e ( ( x i , z n _ i , 3 )), th ì

(ỉ/ 1 , - l ỉ / n ) e ( ( x i,

Do đó t a x é t trư ờ n g h ợ p ( 2/ 1 , ...,2/n) £ ( ( r c i ,. ..,xn- 2 , Xn-2,0)). K hi đ ó t a

có yn = 0 v à (yi, ...,yn- i ) e (( 2 , 3



, 2 , 3, 3 )). C h ú n g t a sẽ chỉ ra rằ n g



(ĩ/ 1 * ---, 2/n) e ( O i , . . . , x n )>. T h ậ t vậy, vì (y i, . . . , 2/ n - i ) e ((2 ,3 , ...,2 ,3 ,3 ) ) ,

n ên th e o Bổ đề 3.1.3 t a có y n- 1 — 3 = 0 (m o d 3). Đ iều n ày kéo th e o rằ n g



Vn— — 3 or yn- i = 0.

I

a) N ếu y n- 1 = 3 th ì y n- 1 - 3 = 0 v à

(y i - 2 )3 n- 2 + (y2 - 3 )3 n~ 3 + ... + (y n_3 - 3)3 + (y „ -2 - 3) = 0.

D o đó, (y i, . . . , 2/11- 2 ) ~ (2 ,3 , ...,2 ,3 ) = ( x i , z n _ 2) v à (yn _ i , yn ) = (3 ,0 ).

V ì (3 ,0 ) ~ ( 2 ,3 ) , n ê n th e o ( 1 ) t a có (yi, ...,yn) e ({xi,



54



b) N ếu y n- 1 = 0 th ì từ {yi, ...,yn- i ) ~ ( 2 , 3



, 2 , 3 ,3 ) t a có



(y i - 2 )3 n- 2 + (y2 - 3 )3 n" 3 + ... + (ỹ n_2 - 3)3 - 3 = 0.

K éo th e o



(yi - 2 )3 " - 2 + (í /2 - 3 )3 " - 3 + ... + (pn— - 2)3 + ị/„_2 - 4 = 0.

3



(3)



Do đó, yn _ 2 - 4 = 0 (m o d 3). V ì y n- 2 e -D, n ên y n_2 = 4 h o ặc y n- 2 = 1.

T a x é t h ai trư ờ n g hợ p sa u đây.



Trường hợp 1. y n-2 = 4, th ì (yn _ 2 , 2/ n - i , ỉ/n) = ( 4 ,0 ,0 ) v à y n_ 2 - 4 =

0 . T ừ (3) t a có ( ĩ / i , . . . , y „ _ 3) e ( ( 2 ,3 , . . . , 2 , 3 , 2 ) ) . V ì ( 4 ,0 ,0 ) ~ ( 3 ,2 ,3 ) ,

n ê n t ừ (1) t a c ó ( y i , . . . , ĩ / „) =



( y i , 2 / „ _ 3 , 4,0,0)



< ((2,3,2,3))

E



=



( ( z i , ...,xn)).



Trường hợp 2. y n- 2 = 1, th ì y n_2 - 4 = - 3 v à (yn - 2 ,ỉ / n - i ,ỉ/n ) =

( 4 , 0 , 0). T ừ (3 ), t a có

(ỉ/l - 2 )3 ” - “ + (ítì - 3 ) 3 " “ 3 + ... + ( y „ - 4 - 3)3 + ÍM-3 - 3 = 0.

D o đó, ( y i , y n _ 3) e (( 2 , 3



(4)



, 2 , 3 ,3 ) ) . L ậ p lu ậ n tư ơ n g tự t a có y n_3 = 0



h a y 2/71— = 3.

3

+)



N ế u Un—3 =



3 th ì



t a có ( y i , . . . , y n - 4 ) e



(ỉ/n —3) ỉ / n - 2 ) V n —l ì U n)



=



(3 , 1, 0 , 0 ) v à t ừ



( ( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 ) ) . V ì ( 3 ,1 ,0 ,0 ) ~



( y i . - . ỉ / n ) e ( ( 2 ,3 , ...,2 ,3 ) ) = ( ( rri ,



(4 )



( 2 ,3 ,2 ,3 ) , t a có



x n )).



+ ) N ếu y n_3 = 0 th ì (4) có d ạ n g tư ơ n g tự n h ư d ạ n g (3). N h ư vậy, B ằn g

cách lặp lại lậ p lu ậ n trê n t a ch ứ n g m in h đ ư ợ c m ệ n h đ ề tro n g trư ờ n g hợp

n ày c ủ a n.



ii) X ét trư ờ n g h ợ p n là số lẻ.

G iả sử rằ n g (y i, ...,yn) e ({xi, ...,xn)) = < (2,3, . . .,2 ,3 ,2 ) ) k h i đó

(m ~ 2 )3 " - 1 + {y2 - 3 )3 n- 2 + ... + (y „ _ ! - 3)3 + yn - 2 = 0.

Đ iều n ày kéo th e o yn = 2 o r yn = 5.



(5)



55



a) N ế u y n = 2 k h i đ ó t ừ (5), t a có



{ y ĩ ỉ •••) V n - ĩ ) £ ( ( 2 , 3 ,



2 , 3 ) ) — ( ( ^ l , •••, £ n - l ) ) -



N ghĩa là

(y i, - , 2/n) e ( ( ^ 1 ) . . . , x n - i , 2 )).

b) N ếu yn — 5 th ì từ (5), t a có

(ĩíi - 2 )3 " - 2 + ( 3/2 - 3 )3 n~ 3 + ... + (y „_2 - 2)3 + J/„_1 - 2 = 0.

Do đó, ( y u - , V n - i ) ~ ( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 , 2 , 2 ) =



D iều n à y



d ẫ n đ ến

( y i . - , 2/n) e ( ( x i >...l x „ _ 2 ,a:n _ 2 l 5 )).



2/n ) € ( ( a ? i , Z n - 1 , 2 )) th ì t a s u y n g a y rằ n g (yi, ...,yn) G



N gược lại, n ếu ( 2 1 ,

/



( ( x i, .. . , x n )). Do đ ó t a x é t các trư ờ n g hợp

(2 /1 ,-,2 /n )



G ( ( z i," .,Z n -2 ,Z n - 2 ,5 ) ) .



K hi đó t a có yn = 5 v à

(ỉ/l> •••) Un— € ( ( ^ 1 ) •••) %n— %n— )} — ((2 , 3,

ì)

2)

2

T a sẽ chứ ng m in h rằ n g ( 2/ 1 ,

T h ậ t vậy, v ì (2/ 1 ,



2, 3, 2, 2 )).



2

/n) € ( ( s i ,



Vn-i) e (( 2 ,3 , . . . , 2 , 3 , 2 , 2 )), n ên



0/1 - 2 )3 n- 2 + ( 2/2 - 3 )3 n- 3 + ... + (ỉ/n - 2 - 2)3 + yn _ i - 2 = 0.



( 6)



Do đó, y n- 1 = 2 h a y yn _ i - 5.

a) N ếu yn_ i = 2 kh i đó t ừ ( 6), t a có (yi, ...,yn- 2 ) € ((2 ,3 , . ..,2 ,3 ,2 ) )

và ( ỉ/n - iiĩ/n ) = (2 ,5 ) . V ì (2 ,5 ) ~ (3 ,2 ) , n ê n từ ( 1 ) t a có

(ỉ/1) •••)Un) e ( ( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 , 2 ) ) = ( ( x i , x n ) ) .



b) N ếu y n- 1 = 5 khi đó từ ( 6), t a có

(ĩ/1 - 2 ) 3 n - 3 + ( y 2 - 3 ) 3 n - 4 + ... + ( y n - 3 - 3 ) 3 + y n _ 2 - 1



= 0.



(7)



56



D o đó, y n- 2 = 1 o r y n- 2 = 4.

b l ) N ếu y n- 2 = 1 k h i đó từ (7), t a có ( y i , y n _ 3) e (( 2 , 3 , 2 , 3 ) ) và

( ĩ/n - 2 ,ỉ / n - i ,ỉ / n ) = ( 1 ,5 ,5 ) . V ì ( 1 ,5 ,5 ) ~ ( 2 ,3 ,2 ) , n ên th e o (1) t a có

(z/i) •••) Vu) £ ( ( 2 , 3 , 2 , 3 , 2 ) ) = ( ( x i , xn)).



b2) N ếu y n_2 = 4 th ì từ (7), t a có (yi, ...,yn- 3) e ( ( 2 , 3 , 2 , 3 ,2 ,2 ) ) v à

( y n - 2 ,y n - i ,y n ) = ( 4 ,5 ,5 ) . V ì ( 4 ,5 ,5 ) ~ ( 5 ,3 ,2 ) , từ (1) t a có (yi, ...,yn) e

(( 2 ,3 ,



...2 ,3



, 5 , 3 , 2 )). D o đó, b ằ n g c á h lặ p lại lậ p lu ậ n tư ơ n g tự n h ư trư ò n g



hợp tr ê n t a có y n-2 = 5 và

( 2/ 1 , - . ỉ / n - 3) € ((^1)



^ n — 2-71— )) = ( ( 2 , 3 , 2 , 3 , 2 ,2 ) ) .

2)

2



K h ẳ n g đ ịn h đ ư ợ c ch ứ n g m in h .

T ừ M ện h đề 3.1.3 t a có hệ q u ả s a u đây.



H ệ q u ả 3 . 1 . 5 . Lấy X —



— ( 2 , 3 , 2 , 3 , . . . ) 6 -ơ°°. Với mỗi



n



n



n e N , đặt sn = Ỵ 2



và s'n —



trong đó (x\, ...,3:Ịl. 1)x , ) =

n



i= l

i= l

( 3^1 J •••) ^»71— ) ^ 71— )» Khỉ đo td co

1

1



i) ụ*i ( s i) — M i(s í ) — 2^)



/^2 (^ 2 ) = 2$-



^ 2 ( 52 ) = 2^ ,



ii) /in (s n) = ^ M n - l í S n - l ) + Ặ ự n - l (s n - l ) •

Chứng minh, ỉ) Với n = 1 t a có (( 2 1 )) = ((® i)) = { (2 )} . D o đó,

M i ( s i ) = Mi ( s i ) =



P (^1



= 2 ) = 25*



V ớ in = 2 t a có ( O r i ,z 2)) = { ( 2 ,3 ) , ( 3 , 0 )} v à ( ( x Ị , x'2)) = { ( 2 , 2 ), (1 ,5 )} .

D o đó,



10 10

H2\S2) — 25-^5



10 1 _ 110

+

q ' qE ~

P



21QÌ



,

10 10

^ Á s2) — 2 5 '2 5



5 1

■"

*



2 10 ■



105



2$'25 ~



ii) T h e o M ện h đề 3.1.3, t a có

a) N ế u



n là s ố c h ẵ n t h ì



1



( (*^ ) ■• •)



%n))



((■£ 1) • • •) 2-71—l i



3) )



u ( ( x J , • • ■,



%n—\ > 0 ) ) •



57



b) N ế u n l à s ố lẻ t h ì



( ( x i, ...,x n )) = ((xi, ...,xn- 1 , 2 )) U '( ( x i,



x'n_ X 5 )).

i



Do đó, với m ọi n e N t a có



ụnisn) = P ( X n = 2 )/in _ i (sti— + P ( X n = 5 )/i n— (sn_ i)

i)

1

10

/

N

1

/ /

X

— 25 M n -H S n -l) + 2 5 ^ n ~ 1' Sn~ 1' '

Hệ q u ả được c h ứ n g m in h .

Đ ể th u đư ợ c cô n g th ứ c tr u y hồi cho v iệc tín h /in(-Sn), t a c ầ n các k ết q u ả

sau.



M ệ n h đ ề 3 . 1 . 6 . Lấy X — (X\,X 2 , ...) = ( 2 , 3 , 2 , 3 , . . . ) e .D00. Vốĩ mỗi

n e N , đặt (x[, ...,x'n) = ( x i , X n - 1 , s n _ i ) . Khi đó ta có

i) Nếu n là số chẵn thì (y i, ...,yn) e ((a ^ , ■ ■

■ ,x'n)) = ( ( 2 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 ))

nế-ii m chỉ nếu



(Vh •••) Vn) e < ( x i , I n - 1 ,2)> u ((® 1 , .... x n - 2 , 1 ,5 )) u ( ( x í , a 4 _ 2 , 4 ,5 ) ) .

ii) N ế u n là số lẻ thì (yi,...,y n) £ ((a^i, ■■■,z'n)) — (( 2 ,3 , . . . ,2 ,3 ,3 ) ) nếw

wà



c



h



ỉ



n



ế



u



iyiì •••) Vn) € (( 2-1 ) •••) 2-rì— ) 3)) u ( ( ^ 1 )

1



Xn— , 4,0 )) u ((^ I) ...Ị 2-71— ^ ) }•

2

2)



Chứng minh, i ) X é t trư ờ n g hợp n là số ch ẵn .

a) N ếu ( y i , . . . , y n ) e



( ( x i, . . . , x n _ i , 2 ) ) th ì



=



2 v à (y i, ...,2 /n -i) e



( ( x i, .. . , x n _ i ) ) . D o đó, th e o ( 1 ) t a có

(z/i) •••) z/n) ẽ {(2 , 3

b) N ếu (y i,



, 2 ,3 , 2 , 2 )) =



( ( # 1 , ...,xn)).



G ( O i , . . . , z n - 2 , 1 ,5 )) th ì yn = 5, yn _ i = 1 và



{y i , . . . , y n- 2 ) G ( ( x i , . . . , x n _ 2)) = (( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 ) ) .

V ì (1 ,5 ) ~ (2, 2), n ê n th e o (1) t a có

(ỉ/ 1 ) •••>ỉ/n) ẽ (( 2 , 3



, 2 , 3 , 2 , 2 )) = ( ( x j , x n )).



58



c) N ếu (ỉ/ 1 , ...,yn) e (O n , ...,xn- 2 , 4 ,5 ) ) = ( ( 2 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 4 , 5 ) ) k h i đó

từ ( 1 ) t a có

( y i > - , ỉ / n ) e ((2, 3, ...,2 ,3 , 2, 2 )) = < ( r r ì , r r ^ ) )

do ( 2 , 2 ,4 ,5 ) ~ ( 2 , 3 , 2 , 2 ).

N gược lại, n ế u ( y i , yn) e (( 2 , 3



, 2 , 3 , 2 ,2 ) ) th ì t a có



(yi - 2 )3 n ~ 1 + (w - 3 ) 3 " - 2 + ... + (Ịfc - 1 - 2)3 + y„ - 2 = 0.

Do đó, yn = 2 h o ặ c yn —



(9)



5.



a) N ếu yn — 2 th ì yn — 2 = 0 . D o đó, từ (9), t a



có



(y i, - , 2 / n - i ) e (( 2 ,3 , . . . , 2 , 3 , 2 ) ) = ( ( x i, . . . , £ n - i ) ) .

Do đó, ( y i , . . . , í / n ) e ( ( x i , Xn-1,2)).

b) N ếu yn — 5 th ì yn — 2 = 3. D o đó, t ừ (9 ), t a



(»1 - 2)3 ” - 2 + ( w - 3 ) 3 " - 3 + . . . + (Vn-Ì - 3 )3 + Vn-1 - 1 = 0.

Đ iề u n à y d ẫ n đ ế n



y n- 1 = 1 h a y y n- 1 = 4.



b l) N ếu y n- 1 = 1 k hi đó t ừ (10) t a có

( y i , . . . , y n _ 2) € (( 2 ,3 , ...,2 ,3 ) ) = < (xi, ...,a :„ _ 2 )>.

Do đó, (y i,



6 ( ( x i,



X n_ 2 , 1 ,5 )).



b2) N ếu yn _ i = 4 k h i đó t ừ (10), t a có



( y i , - , 2/n- 2 ) € ((2,3, ...,2,3, 2 ,2)) = ((xị, ...,a4_2)).

D o đó, (y i,



2/n) € ( ( ^ l) •••) xn - 2 ỉ 4 ,5 ) ) .



u ) X é t trư ờ n g h ợ p n là số lẻ.

a) Rõ rằ n g rằ n g n ê u ( y i , . . . , y n ) e ( ( x i, ...,rcn _ i , 3 ) ) th ì

( ỉ / i , - » 2 / n ) e ( ( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 , 3 ) ) = ( { x [ , ...,x 'n )).



có

(10)



59



b) N ếu (y i ,...,y n) e ( ( i i , . . . , x n _ 2 , 4 , 0 )> = ( ( 2 ,3 , . . . , 2 , 3 , 2 , 4 , 0 ) ) khi đó từ

( 1 ), t a có



{y\i •••) Urì) £ (( 2 , 3 , 2 , 3 , 3 ) ) = ( ( a ? ! , £ n )),

do ( 4 , 0 ) - ( 3 , 3 ) .

c) N ếu (y i, ...,y n ) e ((x' 1 ;



a 4 _ 2 , 1 , 0 )) = ( ( 2 ,3 , . . . , 2 , 3 , 3 , 1 , 0)} khi đó từ



( 1 ), t a có

(ĩ/l» -,ỉ/n )



e



((2 ,3 , ...,2 ,3 ,3 ))



=



((z ì,...,a 4 )),



do ( 3 ,1 ,0 ) ~ ( 2 ,3 ,3 ) .

N gược lại, n ế u (yi, ...,yn) e ( ự v



x'n)) = (( 2 , 3 , 2 ,3 ,3 ) ) , khi đó t a



có

- 3)3 + y n - 3 = 0.



(ị/, - 2 ) 3 " - ' + (ị/2 - 3 )3 n -2 + ... +



(11)



D o đó, yn = 3 h a y y n = 0 .

a) N ếu yn = 3 th ì yn — 3 — 0. D o đó, k h i đó từ (11), t a có

(ỉ / 1 1 •••) ỉ/n— £ (( 2 , 3

ì)



, 2 ,3 ) ) = ( ( ^ 1 ,



khi D o đó, t ừ ( 1 ) t a có ( y i , y n) e {

b) N ếu yn =

(ỉ/! -



{ x



£ n _i ) ) .



i , 3 )).



0 th ì yn — 3 = —1. D o đó, từ (11), t a có



2)3 n- 2 + (V2 - 3 )3 " - 3 +



... + (y n_2 - 2)3 + Vn-1 - 4 = 0.(12)



Đ iều n à y kéo th e o yn- i — 1 h a y y n- 1 = 4.

b l) N ếu y n- 1 = 1 th ì yn _ i — 1 = —3. Do vậy, từ (12) t a có

( y i , - , 2 / n - 2 ) e < (2 ,3 , . . . , 2 , 3 , 3 ) ) = ( ( z ì , - . . , Z n - 2 ))Vì th ế



< ((a ^ ,

E



b 2 ) N ếu y n- 1 = 4 t h ì 7/n _ i — 4 =



1 ,0 )).



0 . D o vậy, từ ( 1 2 ) t a có



( yi » - , 2 / n - 2 ) e ( ( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 , 2 ) ) = ( ( x i , . . . , a r n _ 2 ) ) .