(ị/, - 2)3"-' + (ị/2 - 3)3n-2 + ... +- 3)3 + yn - 3 = 0.(11)

60



D iều n à y kéo th e o ( y i , . . . , y n) ẽ ((^Ì,



X n - 2 , 4 ,0 ) ) . V ậy m ệ n h đề được



chứng m inh.

T ừ M ện h đề 3.1.6 t a có hệ q u ả s a u đ â y v à hệ q u ả n à y d ù n g đ ể th iế t lập

công th ứ c tr u y hôi fđể tín h ụ,n(sn) vói m ỗi n € N.



H ệ q u ả 3 . 1 . 7 . Lấy X — ( x i, X 2 , ...) = ( 2 , 3 , 2 , 3 , . . . ) E D°°. Với mỗi

n

n

n e N , đặt sn =

3 ~lXi và s'n = ^2trongđó=

2=1

1=1

( x i 5 . . . J Xfi— J Xji—i ) . Ta co

1

10

^n (S n ) —



2 5 ^ n - l( 5 n - l )



5

+



7^-0 ( ^ 71- 2 ( 3 7 1 - 2 ) +



/ ^ 71- 2 ( 5 ^1 - 2 ) ) •



Chứng minh. T ừ M ện h đề 3.1.6 t a có

a) N ếu n là số c h ẵ n th ì

( ( x i , . . . , a 4 ) ) = ( ( x i , x n _i , 2 ) ) u ( ( a ; i , xn- 2 , 1 ) 5 ) ) u ( ( x / ,

1



x'n_ 2 , 4 ,5 ) ) .



Do đó,



^n{sn) — ^ 5 ^ n - l ( s n - l ) + ^ 5 -^ 5 ^ n -2 (S n -2 ) + ^ 5 -^ 5 / % - 2 ( 3,1 - 2 )

10

=



5



rfifJ> n-l{Sn-i) +



2 iõ [M n - 2 (S n - 2 ) +



H n - 2 {s'n _ 2 )}-



b) N ếu n là số lẻ th ì

(W » -» ® íi)> = < ( z i , - , z n - i , 3 ) ) u ( ( a : i , xn- 2 , 4 , 0 ) ) u ( ( x / , ...,x'n_2ì 1 ,0 )).

1

Vì th ế ,

A^n(^n) = ■^5'/i n - l ( S n - l ) +

10

— 25



- ^ 5 ^ -2 (5 7 1 - 2 ) + ^5 •^5/i n - 2 ( s rì_2)

5



1 (^n— ) +

1



[/^71- 2 ( 571- 2 ) + ^ 71- 2 ( 5^1- 2 )]'



Do đó,

10



5



^ n { s 'n ) — ^ r / z n _ i ( s n _ i ) + ^ j õ ( / i n -



Hệ q u ả được c h ứ n g m inh.



2( S n - 2)



+ H n - 2 { s 'n - 2) ) •



61



T ừ hai H ệ q ủ a trê n , t a có



H ệ q u ả 3 . 1 . 8 . Lấy X = ( x i, £ 2 ,...) = (2 ,3 , 2 ,3 ,...) e D°°. Với mỗi

n

n e N , đặt sn —

3 _ íZị. Khi đó ta có

i= 1

, X

10

,

, 1 5

Mn(s n) — 25 f^n— (Sn— + 210 /^71— ( 371— ) — 2 Ĩ5 ^ n — (^ 71— )'

1

l)

2

2

3

3



Chứng minh. T ừ Hệ q u ả 3.1.5 v à 3.1.7, t a có

( ^ - 10 tn

M n(sn ) — 25 A - l ( 5n - l ) + Tpi M r i - l ^ n - l )

10

P 'n - li'S n - l)



=



(13)



5



7 ^5 ^7 1 -2 ( s n - 2 ) +



7^0 (M n ~ 3 (sn -3 ) +



^n -^iS n -s))



Vn - ĩ i Sn - ĩ ) + ^ 5 M n - 3 (S n _ 3 ).



(1 4 )



(1 5 )



T ừ (13), (14) v à (1 5 ), t a có k h ẳ n g đ ịn h p h á t b iểu tro n g H ệ qu ả.

3 .2 . C h ứ n g m i n h k ế t q u ả c h í n h



BỔ đ ề 3 . 2 . 1 . Lấy X = (X\,X 2 , ...) = ( 2 , 3 , 2 , 3 , . . . ) e D °° tíớỉ' m ỗ i n G N ,

n



đặt sn —



3 _ i Xị.



Khi đó ta có ^ n ( S n ) > l^n{tn) với mọi t n e supp Ịln.



2=1



Chứng minh. B ổ đề đư ợ c ch ứ n g m in h b ằ n g q u y n ạ p . với n = 1 t a có

/



N



r,/v



^



10



M i(s i) = ^ ( * 1 = 2) = ^

với m ọi Í 1



/



> M i(íi)



N



G



r 1 510,



{ỷ, ỳ ,



Gs u p p Ị \. G iả sử Bổ đề đ ú n g với n — k, n g h ĩa là,

1

Mfc(sfc) > ụ>k(h) for all t k e su p p ỊjL

k.



T a sẽ



ch ứ n g m in h B ổ đề đ ú n g với n = k + 1.Với y = ( y i , 2 2 ,

/



đ ặ t tn — ~lVi với m ỗi n e N, khi

3

i= l

hợp s a u đ â y c ủ a Vk+1 -



đó



•■•) £



-ơ00,



ijfci = 3~lyi- T a x é t các trư ò n g

2=1



Trường hợp 1 . N ếu Vk+1 = 1 (h ay 4), k h i đ ó th e o Bổ đề 3.2.1. th ì Íjfc+ 1 có

n h iề u n h ấ t là h a i s ự b iể u d iễ n



tk+1 = t k + 1.3_(fc+1) = t'k + 4 .3 -(fc+1).



62



Do đó th e o g iả th iế t q u y n ạ p t a có

ự k + i i t k + ì ) — ị i k ( t k ) P ( X k+l — 1) + Ị j j ỵ ( t ỵ ) P( Xk + \ = 4)

,



w 5

5 .

10

. .

( 2 5 ^ 25) = 7^5^kv-k)-



—

T h e o H ệ q u ả 3 .1.5 (ii), t a có



Hk+l{sk+l) > ~^^k^sk) ^ Mfc+ l(^fc+l)Trường hợp 2. N ếu Vk+1 = 0 (o r 3), k h i đ ó th e o Bổ đề 3.2.1. th ì tk+ i có

n h iều n h ấ t là h a i sự b iể u d iẽ n

tk+1 = tk + 0 .3 _(fc+1) = t'k + 3 .3 “ (/c+1).

a) N ếu yk = 0 (o r 3 ), th ì {yk, yk+i) e { ( 0 ,0 ) , (0 ,3 )} . D o đó, th e o B ổ đề

3 .2 .1 . t a c ó



{y[, ...,y'k+1) e ((yi, ...,Vk+i)) n ế u v à c h ỉ n ế u



( ĩ / í . l / i + l ) e { ( 0 , 0 ) , ( 3 ,0 ) , ( 2 ,3 ) , ( 5 ,3 ) , ( 0 ,3 ) , ( 1 ,0 ) , ( 3 ,3 ) , ( 4 ,0 ) ,} .

K ết h ợ p với g iả t h iế t q u y



Pk+i(tk+i) <



n ạ p t a có



P k - l( s k - i ) [ P ( X k = 0 )P (X fc + i = 0) + .ppfjfc = 3 )P (X fc + i =



0)



+ P ( X fc = 2 ) P ( X k+1 = 3) + P ( X k = 5 ) P ( X fc+1 =



3)



+ P ( X fc = 0 ) P ( X k+1 = 3) + P ( X k = 3 ) P ( X k+1 =



3)



+ P ( X fc = l ) P ( X k+ĩ = 0) + P(X fc = 4 ) P ( X fc+1 = 0)]

v i- i



—



1



_ _

— i— —

+ ^ 5 -^ 5 + 2 ^ '2 5 + 25 ' 2 ^

10



10 10



_5_ _1_



5_ J_



+ ^ 5 - 2 5 + 25-25 + 25 2 5 + 25 25

241

= ~2ĨÕ^k~ĩ{sk-l)T ừ g iả th iế t q u y n ạ p v à H ệ q u ả 3.1.5 (ii), t a có

,



,



10



,



.



241



.



.



.



,



f^k+l\s k+l) -> ~^pịJ k) ^ TịĩQ ^k-iySk-l) — H

ik\s

’k+lv'k+l)•



63



b) N ếu yk = 4 (h a y 1 ), th ì {yk,Vk+1 ) e { ( 4 ,0 ) , (4 ,3 )} . D o đ ó th e o Bổ đề

3.2.1. t a có (y[, ...,y'k+l) e ( 0 / 1 , ...,yjfc+i)> n ế u v à chỉ n ếu

t ó . ĩ 4 + 1 ) e { ( 2 ,0 ) , ( 5 ,0 ) , ( 1 ,3 ) , (4 ,3 ) , ( 0 ,3 ) , ( 1 ,0 ) , (3 ,3 ) , ( 4 ,0 ) ,} .

T h e o g iả th iế t q u y n ạ p



t a có



< H k - i( t k - i ) ịP ( X k



M t+ ite + i)



= 2 ) P ( X t + i = 0) + P ( X *



= 5 )P (X fc+ I =



+ P ( X t = l ) P ( X t + i = 3) + P ( X h = i ) P ( X M



0)



=



3)



+ P ( X t = 0 ) P ( X M = 3) + P ( X k = 1 ) P ( X k+1 =



0)



+ P ( X k = 3 ) P ( X k+l = 3) + p ( x t = 4 ) P ( X k+l = 0)]

.10 1

1 1

5_10

_5 10

— / % - l ( s fc -l) (^ 5 -^ 5 + 2 5 '2 5

2 5 '2 5

25 ‘ 25

j _ 10



5_ _Ị_



10 10



£



J_ .



+ ¥ ' ¥ + ¥ ' ¥ + 2 5 ' 2 5 + 25 ' 25

- 210

(

\

~ 2 3 1 ^ k - l \ sk-l)T h e o g iả th iế t q u y n ạ p v à H ệ q u ả 3.1.5 (ii), t a có

10



231



ị^k+l {s k+l) ^ ^ ^ k ( s k) — T^Jo'P'fc— ( 5 fc-l) — l^k+l{^k+l)■

l

c) N ếu yk = 2 (h o ặ c 5), th ì (yk,Vk+ĩ) € { ( 2 ,0 ) , (2 ,3 ) } . D o đó, th e o Bổ

đ ề 3 .2 .1 . t a s u y r a



(y[, ...,y'k+1) e {{yi, ...,2/fc+i)) n ế u v à chỉ n ế u



( ĩ /Í> ĩ /'*+ i ) é { ( 0 ,0 ) , ( 3 ,0 ) , ( 2 ,3 ) , ( 5 ,3 ) , ( 1 ,3 ) , ( 4 ,3 ) , (2 ,0 ) , ( 5 ,0 ) ,} .

T h e o g iả th iế t q u y n ạ p , t a có

Vk+ĩitk+ì)



<



= 0 ) P ( X k+l = 0) + P { X k = 3 ) P ( X k + i = 0)

+ P ( X k = 2 ) P ( X k+1 = 3) + P ( X k = 5) P { X k+1 = 3)

+ P ( X fc = 2 ) P ( Z fc+1 = 0) + p ( x fc = 5 ) P ( X fc+1 = 0)

+ P ( X fc = l)P (X jfc+ i = 3) + P { X k = 4) P ( X k+ĩ = 3)]

1 JL

_ _

_ JL

ì ? 15

- /^/c— (s fc -i) (25 • 25 + 2 5 '2 5 + 2 5 '2 5 + 25 ' 25

1

5 10



5 10



+ 2 5 '2 5 + 2 5 ‘25 +

231

— 2^-0



10 _1_



J_ ^

+ 2 5 '2 5 '



64



V ì t h ế , t ừ h ệ q u ả 3 . 1 . 5 ( ii ) , t a c ó



10



231



ụ*k+l is k+l) ^ ^ 5'ị^ki^k) — 210 1 {s k— l)

Trường hợp 3. N ếu Vk+\ =



^k+li^k+l)-



2 (h o ặc 5). T a có th ể ch ứ n g m in h trư ờ n g hợp



này tư ơ n g tự n h ư ch ứ n g m in h trư ờ n g h ợp 2 .

Vây, b ổ đề đ ư ợ c c h ứ n g m in h .

T ừ Hệ q u ả 3 .1.8 t a có

/



\ _ 10



l^n\s n)



.



,



2 5 M ĩ i - l vs n - l j +



15



.



.



2 l 0 ^í n - 2 ( s n - 2 j



45



,



2 l 5 ^ ' n ~ 3 v s T i-3 ,)'



B ằn g cách giải p h ư ơ n g tr ìn h đ ặ c trư n g

Y 3 — 12 Y 2 — -1Ẽ- Y 4—n

- ặ õ X + ^L5 = 0 (*)



x

t a có n g h iệm là



427



2

a rc c o s"

X i = - ^ [ v ^ c o s t -------- - ^ 9V— ) + 5] ~ 0 ,3 4 3 5 0 5 5 1 5 8

Ó•ù

o

427



_2

,__

a r c c o s — 7= r

T

7T

X.2 = — ^ [ \ / Ĩ 4 5 c o s (-------- __59V145 + + 5j ^

ổ

o

o



0j 04959875748



427



n

r

X z = — ^ [ \ / Ĩ 4 5 c o s ( ---------. 5 W 1 45 - | ) + 5] ~ - 0 , 0 8 0 6 0 4 2 7 3 2 8 .

o .z

o

Ó

_9



a rc co s r ~ 7=



___



B ằn g việc g iải hệ th ứ c tr u y hồi F ib o n a c c i



đ ể tín h ụ,n(sn)tro n g



Hệ q u ả



trê n , t a có hệ q u ả sau.



H ệ q u ả 3 . 2 . 2 . Lấy X = (XI, X2 ,...) — ( 2 , 3 , 2 , 3 , . . . ) G -D00. Với mỗi

n

n e N , đặt sn = J2 3~ixi- Khi đó ta có

2=1



ụ-nisn) — a iX Ĩ + <22-^2 + a 3 ^ 3

với X \ , X 2 , X 3là nghiệm của (*) và a\, < , ữ 3 là nghiệm của hệ gồm

22

3 phương trình sau

M i(s i ) — a i X i + C2 X 2 + «3-^3

L



65



A2 ( 52) — t i i X ị + a 2X 2 + C X 3

í

13



M3(s 3) = CLlXf + C2X 2 + C3X 3 ,

L

I



trong đó fẤi(sì), /Ì 2 ( s 2 ), ụ-3{sị) là các giá trị trong Hệ quả 3.1.5. T ừ

B ổ đề 3.2.1, H ệ q u ả 3.2.2 v à M ện h đ ề 3.1.4, t a có

Đ ị n h l ý 3 . 2 . 3 . Lấy Ị1 là tích chập 5 lần của độ đo Cantor chuẩn, khi



đó giá trị bé nhất của chiều địa phương của độ đoác suât /i. là

log [ A s ( \ / Ĩ 4 5 c o s (ar- C V ^ ) + 5)1

°

a 5 = I—

----------- P - — 1------- ------ ~ 0 ,9 7 2 6 3 8 .

log 3



66



T óm



tắ t k ế t q u ả c h ín h c ủ a đ ề tài



1 . Đ ã tr ìn h b à y m ộ t c ác h h ệ th ố n g về d ã y số F ib o n a c c i, T ỷ số vàng, m ối

liên hệ g iữ a c h ú n g , ý n g h ĩa c ủ a d ã y số F ib o n a c c i v à T ỷ số v àn g tro n g tự

n h iê n và tr o n g x ã h ội v à ứ n g d ụ n g c h ú n g vào việc x ác đ ịn h m iền g iá trị

c ủ a h à m ch iều đ ịa p h ư ơ n g tr o n g H ìn h h ọ c F ra c ta l.



2 . Đ ã x á c đ ịn h đư ợ c m iề n g iá trị c ủ a h à m ch iều đ ịa p h ư ơ n g c ủ a độ đo độ

đo F ra c ta l k ết h ợ p với B ài to á n (0,1,4) là:

£ = [ l - ! 2 i í ỉ ± ^ l i ^ >l ] « [0.562, 1],



K ế t q u ả n à y đư ợ c cô n g b ố tro n g b ài b á o c ủ a Vũ H ồng T h a n h , N guyễn

N h ụ y v à Lê X u â n Sơn: " S in g u la rity of p ro b a b ility m e a su re in fra c ta l ge­

o m e try " , Acta Math. Vietnam. Vol. 3 3 , No. 1 , pp. 3-16.

3 . Đ ã c h ứ n g m in h đ ư ợ c m ộ t d ự đ o á n c ủ a p. S h m e rk in là n ếu /Ấ là tích

ch ập 5 lần c ủ a độ đo C a n to r ch u ẩn , k h i đó g iá tr ị b é n h ấ t c ủ a chiều đ ịa

phương của độ đo xác suất



ịi là

427



log [ t L ( V l 4 5 c o s r C S ^ ) + 5)1

O,

a 5 = I—

- — 3-------------------------------------- L 0 ,9 7 2 6 3 8 .

-~

log 3

K ế t q u ả n à y đư ợ c cô n g b ố tro n g b ài b á o c ủ a V ũ H ồng T h a n h , N guyễn

N gọc Q u ỳ n h v à Lê X u â n Sơn: " T h e e x tre m e v alu es of local d im e n sio n in

F ra c ta l g e o m e try " , Journal of Sciences, VNU, Serial of Physics and



Mathematics , No. 3 , p p 33 - 50.

4 . C ác k ế t q u ả th u đư ợ c là m ới, là sự đ ó n g g ó p k h o a h ọ c có ý n g h ĩa vào

việc x á c đ ịn h g iá t r ị c h iều đ ịa p h ư ơ n g c ủ a độ đo F ra c ta l tro n g H ìn h học

F ra c ta l - B ài to á n đ a n g đ ư ợ c n h iề u n h à T o á n h ọ c trê n th ế giới q u a n tâ m

n g h iên cứu, n h ư n g chủ y ếu chỉ s ử d ụ n g đ ế n các cô n g cụ c ủ a T o á n



học s ơ cấp.

5.



Sự h o ạ t đ ộ n g c ủ a Đ ề tà i đ ã góp p h ầ n đ à o tạ o m ộ t T iế n sĩ b ảo vệ vào



th á n g 1 1 /2 0 0 8 v à m ộ t T h ạ c sĩ b ảo v ệ vào th á n g 12/2008.



D A N H M Ụ C C Ô N G T R ÌN H C Ủ A C Á C T Á C G IẢ L IÊ N

QUAN Đ ẾN ĐỀ TÀI



1. V u T h i H o n g T h a n h , N g uyen N h u y a n d Le X u a n Son (2008), "Sin­

g u la rity o f p ro b a b ility m e a su re in F ra c ta l g e o m e try " , Acta Math.



Vietnam. Vol. 3 3 , No. 1 , p p 3-16.

2. V u T h i H o n g T h a n h N guyen N goc Q u y n h a n d Le X u a n Son (2009),

" T h e e x tre m e v alu es of local d im e n sio n in F ra c ta l g e o m e try " , Journal



of Sciences, VNU, Serial of Physics and Mathematics , No. 3 , pp.

33-50.



67