ịjl{A) = P{co : S(l>) e A} ịin(Á) = P{i0 : Sn{co) e Á).

/W4+i) ~ #<4+i> ~ w

• /W4+1)" #(4+l) “ #(4)
  • #(sfc+i) = #(sjfe) + #<4>-

35



(Xị, Xị, Xị G D, ỉ = 1 , . . . , k) là các điểm liên tiếp trong supp



Khi



đó ta có các khẳng định sau.

1 . N ếu Sk — s'k = 3~k th ì x'k = 0.

2. Sfc - s'k 7^ 3 ~ fc h o ặ c s'k - 4 Ỷ 3 ~ fcth i ^(s/c-i-i) —



3. N êu Sfc-(-i —



Chứng minh. 1. G iả sử

đó, nếu Sk — s'k =



Sfc_ 1



=



+ 3~kXk, s'k = S/ ;_ 1 + 3~kx'k- K hi

A



th ì



J



x 'k ~ x k 0- ( k- D



1 +



S k - l ~ SÁ;-1 “



2



3



ro 1 \



•



(3 - 1 )



Đ ể ý rằ n g với b ấ t k ỳ sn,s'n G s u p p fin, t a lu ô n có sn — s'n = í 3 - n , t e z

v à n ế u (1 + a — 6) = 0 (m o d 3) v à a , ò G D th ì a = 0, ò G { 1 ,4 } .



(3.2)



D o vậy, t ừ (3.1) v à (3.2) t a có x'k = 0 . T a có đ iều p h ả i ch ứ n g m in h .

2. T a có s " = sị_ỵ + 3 _/cx^. G iả sử tr á i lại rằ n g

s k — s 'k — s 'k ~ s k = 3



k-



K h i đó, th e o (3 .1 ), (3.2) v à Sk — s'k = 3~k t a có x'k = 0 . T h e o (3.1), (3.2)

v à s'k - 4 = 3~k t a lại có x'k G { 1 ,4 } , đ iề u n à y là m â u th u ẫ n . V ậy k h ẳ n g

đ ịn h n ày đư ợ c c h ứ n g m in h .

3. G iả sử rằ n g Sk+ 1 có th ê m sự b iểu d iễ n k h á c là



Sk+Ĩ = 4 + 3 _(fc+ 1 )4 + i với 4 + 1 £ { ! > 4 } v à

— s'k =



K hi đó, th e o g iả th iế t t a có



SUPP /4fc-



V ậy x ^+1 = 0 (m o d 3).



Đ iều n à y m â u th u ẫ n với g iả sử x'k+1 G { 1 ,4 } . Do đó # (s fc + 1 ) =

V ậy b ổ đề đ ư ợ c ch ứ n g m in h .

T ừ B ổ đ ề 2.2.1 t a có n g a y h ệ q u ả sau .



H ệ q u ả 2 . 2 . 2 . 1. Mỗi Sk+ 1 6 supp /ifc+i có nhiều nhất là hai sự biểu

diễn thông qua các điểm trong supp Hk- Hơn nữa, nếu Sfc+ 1 =

S k



+



1



c



h



ỉ



c ó



d



u



y



n



h



ấ



t



m



ộ



t



s



ự



b



i ể



u



d



i ễ



n



.



thì



36



2.



Nếu Sk+ 1 có hai sự biểu diễn thông qua Sk và s'k trong supp ịik thì



hai sự biểu diễn đó là Sk+ 1 = Sjfc + 3 _ (fc+1)4 = s'k +



Hơn nữa,



Sfc, s'k là hai điểm liên tiếp trong supp ịiỵ.

Bổ đề s a u là cơ sỏ cho việc ch ứ n g m in h c ô n g th ứ c tín h ch iều đ ịa p h ư ơ ng

tạ i m ỗi đ iểm tr o n g su p p ịi.



B ổ đ ề 2 . 2 . 3 . Với mỗi n G N và hai điểm liên tiếp bất kỳ sn, s'n trong

supp ụ-n, ta luôn có



Hn(Sn)



.



/q q\



- "•



(3 '3)



Chứng minh. T a ch ứ n g m in h b ổ đ ề b ằ n g q u y n ạ p . Rõ rà n g b ấ t đ ẳ n g

th ứ c đ ú n g vói 72 = 1 . T a x é t trư ờ n g h ợ p n = k + 1 với g iả th iế t b ấ t đ ẳ n g

th ứ c (3.3) đ ú n g với m ọi n < k. L ấy Sjfc+ 1 > s'k+l là h a i điểm liên tiế p tro n g

s u p p fik+i. G iả sử s k + 1 = sk + 3~^k+l' x k+i với Xk+1 e D v ầ s k e s u p p ỊL

)

Jk.

X é t các trư ờ n g h ợ p sau.

a) Trường hợp 1: Xk+ 1 = 0. K hi d ó Sk+1 = Sk- T h e o Bổ dề 2 .2.1(3.) t a có



#(sk+i) = # (s * > . T a tín h # ( s 'fc+1>. Đ ể ý rằ n g n ếu

4 + 1 = sl + 3 ~ (fc+1 )4 + l < sk+l với s ị e



su p p ụ.k v à x*k+1 e D



th ì s* < Sk. D o v ậy đ ặ t

k

4



=



m ax



( 4



6



supp



Ị i k : s*k < S f c }



th ì Sfc, s'k là h a i đ iể m liên tiế p tro n g su p p ịik- T a x é t h ai k h ả n ă n g sau.

a i) N ếu



— s'k = 3 ~ fc th ì s'k+l = s'k + 3 _ (fc+1). Đ ể ý rằ n g n ếu s'k+l có



h ai sự biểu d iễ n q u a các đ iểm tro n g su p p ịik th ì th e o H ệ q u ả 2.2.2 (2.) t a

có



4 + 1 = 4 + 3 ~ (fc+1) = s* + 3 ~ (fc+1)4 vối s* e su p p fik.

k

k

Đ iều n à y kéo th e o s'k ~ s* —

k



— Sk~ s'k, m â u th u ẫ n với Bổ đề 2 .2 . 1 ( 2 .).



V ậy #(sjfc+1) = # ( s ’ ). D o đó, th e o g iả th iế t q u y n ạ p t a có

k



Hk+Ĩ (s k+l) _ ^ ( sk+1) _

/W



4 + i) ~ # < 4 + i> ~



^



w



1 I 7

Ị



37



Ũ2) N ếu Sfc — s'k > 2.3 k th ì với b ấ t k ỳ x*k+l G D v à sị < SjỊ, t a có

Sfc+ 1 — s k ầ. Sfc + 2.3 k > s'k + 3 (^+ 1)4 > s£ + 3 ^ + 1 )x£+ 1 .

N hư vậy s'k + 3 “ (fc+1)4 là g iá tr ị lớn n h ấ t tro n g su p p Hk+ 1 v à n h ỏ hơn

Sfc+1 . Do đó, s'k+l = s'k + 3 ~ ^ +1^4 là sự b iể u d iễn d u y n h ấ t c ủ a s'k+1. Vậy

# ( s 'fc+1) = #(s'k). K hi đó, th e o g iả th iế t q u y n ạ p t a có

^ k + l { sk + l ) _ ffi(5fc+l) _ ffi(s fc) ^ 7

/W



7 . 1



4 + 1 ) " # ( 4 + l) “ # ( 4 )



b) Trường hợp 2: Xk+ 1 — 1 hoặc Xk+ 1 = 4. V iệc ch ứ n g m in h h ai trư ờ n g

hợp n ày là n h ư n h a u . Do vậy, t a chỉ tr ìn h b à y ch ứ n g m in h tro n g trư ờ n g

hợp x k+1 = 4.

K hi Xk+I — 4 t a có Sjfc+ 1 = Sk + 3 _ ^ + 1 ^4. T h e o Hệ q u ả 3.1.2 (2.),

nếu tồ n tạ i sị 6 su p p Hk sao cho sị — Sf. — 3 -fc th ì sị, Sfc là hai điểm

liên tiế p và Sk+ 1 có h ai sự b iểu d iễ n th ô n g q u a các điểm tro n g s u p p Hk

(sfc+ 1 = Sk + 3 _ (fc+1U = sị + 3 ~ (fc+1)). D o đó, th e o Hệ q u ả 2.2.2 (1.) t a có

# (s fc + i) = #(sjfe) + # < 4 > V ì Sk+ 1 — s ị + 3 ~ (fc+1) v à Sk+1 > s ' +1 là h ai đ iểm liên tiế p tro n g su p p

k



Hk+b n ên Sífc+ 1 = sị- T h e o B ổ đề 2 .2 .1 (3 .) t a có #(sjfc+ i) = # ( s j ) . V ì

Sfc,



s ị là hai đ i ể m liê n t iế p t r o n g s u p p Ịik n ê n t h e o g i ả t h i ế t q u y n ạ p t a có

^fc+l(Sfc+l) _ # (g fc + i) _ # ( f fc ) + # ( 4 ) < 1. . 1

f^k+ l ( s fc+l)



# ( Sfc+l)



# ( Sfc)



N gược lại, n ế u k h ô n g tồ n tạ i sị 6 s u p p /ifc để s ị —Sk = 3 -fc th ì

Sfc+1 = Sk + 3 ~ (fc+1U là sự b iểu d iễ n d u y n h ấ t c ủ a Sfc+1 - Do đó,

# ( s fc+i) = #(sjfc). K hi đó s ' c+1 = s/j + 3 _(fc+1) ho ặc

f

4 + 1 = Sfc + 3 ~ (fc+1) = 4 + 3 ~ (fe+1)4

với S/J > s'l là h ai đ iểm liên tiế p tr o n g s u p p Hk- Đ iều n ày kéo th e o

# ( 4 + l ) < # ( s fc) + # ( 4 '> -



38



V ì Sfc, Sỵ là h a i đ iể m liên tiế p n ên th e o g iả th iế t q u y n ạ p , t a có

Hk+i { s ' k+i ) _



< # { s k ) + # ( sfc) < 1 +

i £ ( s k + 1)



M fc + l ( s fc + l)



$ (s /c )



BỔ đề đư ợ c c h ứ n g m in h .

Sử d ụ n g Bổ đ ề 2.2.3 v à ch ứ n g m in h tư ơ n g tự n h ư ch ứ n g m in h M ện h đề

2.1.3, t a có m ệ n h đề sau .



M ệ n h đ ề 2 . 2 . 4 • Với mỗi s G supp ỊJ , nếu tồn tại a(s) thì

L

a{s)



= to



=



n—

>00



1 _



n



ịĩấ p ỉA .



n—

>00 n log 3



n log 3



Ngược lại, nếu giới hạn a ( s ) không tồn tại thì ta tính ã (s ) và a(s) bởi

^r.t \1 T Z r llogM n(Sn)|

,

a{s) = lim — " I— =

ị

n—

>00 n log 3

í

a ls )^



n



i : „ l lo g M n ( s n )|



= lim

Tì->00



n lo g 3



1



lo g # (s n)

lim

' ;



1 -



ĨỈ-+C n log ỏ

G



- 1 7 Z r l o S # ( S™>



J-7—^ — 1

=

1 n—

>00 n l o g o



lim — ' -77 ■



Đ ể ý rằ n g n ế u ( y i , . . . , yn) v à (z \ , . . . , zn) là h a i p h ầ n tử tro n g (sn) th ì

3 _ í (yi — Zị) = 0. D o vậy, ở p h ầ n tiế p th e o c h ú n g tô i sẽ đ ư a r a các k h ái



1=1

n iệ m m ới là d ã y n g u y ê n tố , d ã y m ax , d ã y k h ô n g ,...đ ể từ đó x á c đ ịn h # ( s n )

với m ỗi n.

2 .3 .



D ãy



nguyên



tố và d ã y b ộ i



Đ ặ t r = D - D = { a - b : a, b e D } = {0,± 1 , ± 3 , ± 4 } . Với m ỗi

( x i , . . . , x n) G r n là dãy khôngn ếu J2

i= 1

B ằ n g việc tín h to á n trự c tiế p t a có m ệ n h đề sau .



n G



N, t a nói rằ n g



= 0.



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 1 . Bất kỳ dẫy nào có dạng sau đều là dãy không

( 0 , . . . , 0 ); ± ( —1 ,3 ); ± ( 1 , —4 ,3 );

± ( 1 , - 4 , 4 , - 4 , . . . ,4 , —4 ,3 )



hoặc



± ( - 1 , 4 , - 4 , . . . , 4 ,-4 ,3 ).



(34)



39



M ệnh đề s a u cho t a điều k iện c ầ n v à đ ủ đ ể m ộ t d ã y h ữ u h ạ n tro n g r n

là d ã y k h ô n g .



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 2 . Dãy



X



= ( x \ , . . . , x n)



G r n



là dãy không nếu và chỉ



nếu nó có thể phân tích duy nhất dưới dạng ghép của các dẫy dạng

(3.4).

Chứng minh. H iển n h iê n n ếu g h ép các d ã y k h ô n g với n h a u t a đư ợ c d ãy

kh ô n g . D o vậy t a cần chỉ r a đ iều ngượ c lại. L ấy



X



= (x i,...



,x n)



e r n là



d ã y khô n g . K h i đó

n



(3.5)



2=1

n ê n xn = 0 (m o d 3). K h ô n g m ấ t tổ n g q u á t, t a g iả sử rằ n g xn — 3. N h â n

h ai vế c ủ a (3.5) với 3 n_1 t a có

X n —1



+ 1



=



0 (m o d 3).



(3.6)



D o đó Xn- 1 — —1 h o ặ c Xn- 1 = —4.

N ếu Xn- 1 = —1 th ì (xn- i , x n) = ( —1 ,3 ), d ã y n à y có d ạ n g n h ư tro n g

n—

2

(3.4) v à

Xi = 0 . D o vậy, lặp lại lậ p lu ậ n n h ư trê n cho d ã y k h ô n g

2=1

c ò n lại



( x i , . . . , x n-2)-



N ếu xn- \ — —4 th ì (a:n _ i,a ;n ) — ( —4 ,3 ) . Do đó, từ (3.5) t a su y ra



Xn— — 1 = 0 (m o d 3). Đ iều n ày d ẫ n đ ế n x n-2 = 1 h o ặc x n-2 = 4. X é t

2

hai trư ờ n g hợ p sau .



Truờng hợp 1: x n-2 — 1- K hi đ ó (x n - 2 , X n -



1,



xn) = (1, —4 ,3 ) , đ â y là



n—

3

d ạ n g (3.4) v à



= 0. D o đó, t a lặ p lại lập lu ậ n n h ư trê n cho d ã y



2= 1

k h ô n g còn lại ( x i , . . . , Xn- 3).



Trường hợp 2: x n-2 = 4. K hi đ ó (xn- 2 , Xn- 1 , xn) = ( 4 , —4, 3) v à từ

(3.5) t a s u y r a rcn_3 + 1 = 0 (m o d 3), đ â y là d ạ n g (3.6). B ằ n g cách lặp lại

lập lu ậ n n h ư tr ê n t a có

cX i , . . . , x n ) = ( - 1 , 4 , - 4 , . . . , 4 , - 4 , 3 )



hoặc



40



[



x



ị



,



. . . ,



x



n ) — ( 1,



4, 4,



4, . . . , 4,



4 , 3)



với i > 1 nào đó. T h ậ t vậy, n ếu k h ô n g n h ư vậy th ì cuối cù n g t a được d ãy

( x i , . . . , xn) = (4, - 4 , . . . , 4, - 4 , 3) h o ặc

( x i , . . . , x n ) = ( —4 ,4 , —4 , . . . , 4 , —4 ,3 ) .

N hư ng tro n g c ả h a i sự biểu d iễn n ày th ì X đ ều k h ô n g p h ả i là d ã y không.

D iều n à y là m ầ u th u ẫ n .

Đ ế ý rằ n g n ế u i > ì th ì t a có th ể lặp lại ch ứ n g m in h trê n cho d ãy k h ô n g

còn lại ( x i , . . . , Xị-i) để tiế p tụ c p h â n tích .

N gược lại, ( x i , . . . , x n) = ( x i , . . . , x n) = X là m ộ t d ã y d ạ n g (3.4).

R õ rà n g rằ n g sự b iể u d iễn c ủ a X = { x \ , , xn) b ằ n g cách n ày là d u y

n h ấ t. D o vậy m ệ n h đề đư ợ c ch ứ n g m in h .

T h e o M ệnh đ ề 2.2.3, g iá trị m a x (m in ) c ủ a ch iều đ ịa p h ư ơ n g đ ạ t được

tạ i s khi # ( s n ) có g iá tr ị bé n h ấ t (tư ơ n g ứ n g lớn n h ấ t) với n đ ủ lớn. Do

Vậy, p h ầ n tiế p th e o sẽ đ ư a r a m ộ t số k h á i n iệ m d ù n g cho việc ước tín h g iá

trị lớn n h ấ t (b é n h ấ t) c ủ a # ( s n ). T rư ớ c h ế t t a đ ư a r a các k h á i niệm sau.



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 3 . 3 . T a gọi d ã y ( x i , . . . , xn) < ZT 1-* - 1 với i > 1 là dãy

E

nguyên tố



nếu k h ô n g tồ n tại d ã y



( ĩ j i , , yn) e D n - Í ~ 1 \ { ( x j , . . . , x n ) } sa o



T a gọi d ã y vô h ạ n (xi, Xi+1 , . . . ) G D°° (i > 1)

j=i

j=i

là dãy vô hạn nguyên tố nếu m ỗi đ o ạ n h ữ u h ạ n c ủ a X là d ã y n g u y ên tố .



cho Ỵ2 3



M ột d ã y (h ữ u h ạ n h a y vô h ạ n ) đư ợ c gọi là dãy bội n ếu nó k h ô n g p h ả i là

dãy n g u y ên tố.

ỏ đây t a h iểu mỗi đoạn c ủ a m ộ t d ã y là m ộ t d ã y COĨ1 liên tiế p có d ạ n g

( x i , ■. . , X i + n )



với i, n



e



N.



M ệnh đề s a u đ â y cho t a đ iều k iện c ầ n v à đ ủ đ ể m ộ t d ã y là d ã y n g u y ên

tố.



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 4 . Dãy (Xị,. . . , x n) với ỉ > 1 là dãy nguyên tố nếu và

chỉ nếu nó không chứa các đoạn (0,4) và (1,1).



41



Chứng minh. K h ô n g m ấ t tín h tổ n g q u á t t a x é t d ã y X = (x \ , . . . , xn). Để

n

ý rằ n g n ếu X c h ứ a đ o ạ n ( x j , x j + 1 ) = (0 ,4 ) th ì .tổng sn —

3~iXi sẽ k h ô n g

t= i

'

đổi nếu th a y ( x j , x j + 1 ) = (0 ,4 ) bởi ( x j , x j + 1 ) = (1 ,1 ) . Do đó, n ếu X ch ứ a

(0 ,4 ) hay ( 1 , 1 ) th ì



X là d ã y bội.



N gược lại, n ế u X là d ã y bội th ì tồ n tạ i y = ( y i , . . . , yn) e D n với y



X



sao cho X — là d ã y kh ô n g . D o đó th e o M ện h đề 3.2.2 th ì X — y c h ứ a các

y

đ o ạn d ạ n g (3.4). K h ô n g m ấ t tổ n g q u á t, g iả sử rằ n g



X — y = ( - 1 , 4 , - 4 , . . . , 4 , —4 , 3 )



hoặc



x ~ y = { 1 , - 4 , 4 , - 4 , . . . , 4 , - 4 , 3).



(3 .7 )



(3.8)



Vì Xi, H € D n ê n n ế u X —y có d ạ n g (3.7) th ì

i

z = ( 0 , 4 , . . . ,0 ,4 ) và y = (1 ,0 ,4 , . . . , 0 , 4 , 1 )

và nếu



X — y c ó d ạ n g ( 3 .8 ) th ì

X = (1,0,4, . . . , 0 , 4 )



và



y = (0,4, . . . , 0 , 4 , 1 ) .



N hư vậy, X lu ô n c h ứ a (0 ,4 ) . M ện h đ ề đư ợ c ch ứ n g m in h .

Với n e N, k ý h iệu z n là t ậ p t ấ t c ả các đ o ạ n ch iều d ài n sao cho nếu



X e z n th ì X đ ư ợ c g h ép m ộ t cách tù y ý b ỏ i các đ o ạ n d ạ n g ( 1 , 1 ) hoặc

(0 ,4 ). K hi đó, th e o M ện h đ ề 2.3.4 n ếu X e z n th ì X là d ã y bội, hơn nữa,



3 ^ Xi th ì # ( s n ) = # z n .

2=1

Đ ể ý rằ n g , n ế u t a th ê m số 1 v ào đ ầ u h a y cuối c ủ a m ộ t d ã y b ộ i th ì t a



nếu



X = ( x i , X n ) e z n v à sn =



được d ã y bội k h á c với ch iều d à i lớn hơn. D o vậy, t a có các k h á i n iệm sau.



Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 3 . 5 . D ã y X — (xị+ 1 , . . . , xn+i ) e D n (i > 1) được gọi là

dãy bội cơ sở ch iều d ài n n ế u X là m ộ t p h ầ n tử c ủ a z n. T a gọi m ộ t d ã y vô

h ạ n X = (Xj, Xj+ 1 , . . . ) E D°° (j > 1) là dãy bội cơ sở vô hạn n ếu hoặc



Xi = 1 h o ặc (xì , xì + i) = (0 ,4 ) với m ọi i — j , j + 1 ,....

M ột d ã y bội cơ sở chiều d ài n c ủ a m ộ t d ã y vô h ạ n ( x i, X2 , . ■.) được gọi

là dẫy bội max n ếu k h ô n g tồ n tạ i b ấ t kỳ m ộ t d ã y bội cơ sở n à o c ủ a X ch ứ a



42



nó n h ư m ộ t đ o ạ n con th ự c sự.



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 6 . Bất kỳ X = ( X\,X 2 , • . . ) ệ D°° thì X luôn được ghép

bởi các dãy bội max và các dãy nguyên tố. Hơn nữa, sự ghép đó là duy

nhất.

Chứng minh. T h e o M ện h đề 2.2.4, n ế u X k h ô n g c h ứ a (0 ,4 ) h ay (1 ,1 )

th ì X là d ã y n g u y ê n tố . N gược lại, t a có th ể b iểu d iễn



X = ( x i , . . . ,Xfc,0 , 4 ,a:fc+3 , . . . )

hoặc

X



( 3^ 1 , • • • ) %k ỉ 1 ) 1 ) - £ f c+3 j • ■ •)•



T h e o M ện h đề 2.2.3 th ì ( x i , . . . ,Xk) là d ã y n g u y ên tố. X é t hai trư ờ n g

hợp sau.



Trường hợp 1: (a:fc+3 , Xk+4, . ■.) là d ã y b ộ i cơ sỏ vô h ạn . K hi đó, X được

g h é p d u y n h ấ t b ỏ i hai p hần : p h ầ n t h ứ n h ấ t là đ o ạ n n g u y ê n t ố ( x i , . . . ,



Xk)



v à p h ầ n th ứ h a i là d ã y bội cơ sở vô h ạ n (xk+i,Xk+ 2 , .. .)•



TrUờng hợp 2: (£jfc+i,£jk+ 2 , . . . ) k h ô n g p h ả i là d ãy bội cơ sỏ vô h ạn .

L ấy Xk+t (t € N , t > 3) là tọ a đ ộ đ ầ u tiê n th ỏ a m ã n Xk+t Ỷ 1 hoặc



{Xk+t, Xk+t+i) + (0 ,4 ) .

K hi đó c ả (zfc+ i >...,X jfc+ í_ i ) = (



0



,



4



,



v à (xk+1, . . . , x k+ t-i) =



( 1 , . . . , 1) đ ề u là d ã y b ộ i m ax . N h ư vậy, X đ ư ợ c g h é p bỏi b a p h ầ n : d ãy

nguyên tố ( x i , . . . ,



Xk), d ã y b ộ i m a x (Xfc+ 1 , . . . , Xk+t- 1 )



d ãy con vô hạn



(xk+t, Xk+t+i , . . . ) . L ặp lại lập lu ậ n n h ư tr ê n đ ể tiế p tụ c p h â n tíc h d ã y còn

lại {Xk+t, Xk+t+i , . . . ) , t a có đ iều p h ả i c h ứ n g m in h .

N ếu (xk+t,xk+t+i) = (0 ,4 ) th ì lặp lại lậ p lu ậ n n h ư tro n g T rư ờ n g hợp

2 từ Xk+t+2 t a th u đư ợ c k h ẳ n g đ ịn h .

M ệnh đề sa u là cơ sở để x ác đ ịn h số cách b iể u d iễn c ủ a m ỗi điểm tro n g

g iá c ủ a Ịin ứ ng với d ã y bội cơ sở.



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 7 . Với mỗi dãy bội cơ sở X = ( z i , ...,xn) G z n, ta đặt

Fn =



Khi đó ta có

Fn = F n _ 1 + F n_ 2 với mọi n > 3 và Fị = 1, F2 = 2.



(3.9)



43



Chứng minh. T a sẽ ch ứ n g m in h m ệ n h đề b ằ n g q u y n ạ p . Dễ kiểm t r a

được Fỵ — 1 , F2 = 2 và -F3 = Fị + F2 . G iả sử (3.9) đ ú n g với m ọi n < k.

T a sẽ chỉ r a rằ n g Ffc+1 = Fk + Fk-\.



h-\-\

Lấy X = ( x i , . . . , £fc+i) G



v à Sfc+ 1 =



3 - ĩ Xị. K hi đó t a có

i= l



# ( s fc+i) = # Z fc + i = -Ffc+ 1 .

K h ô n g m ấ t tổ n g q u á t, t a g iả sử rằ n g X = ( 1 , . . . , 1). K hi đó t a su y ra

Sjfc+1 =



vớ i (Sjfc) = Zjfc.



L ấy s'k = sk - 3 -fc, khi đó (sj.) = ( ( 1 , . . . , 1 , 0)>, Sk+1 = s'k + 3 -(fc+ i >4

và s'k = s /c_ 1 với

f



= ( ( 1 , . . . , 1)) = Z k-\. T h e o Bổ đề 2.1.1 (iii), t a



có

# ( 4 > = # < 4 - i ) = # Z k - i = f t - 1Do đó

^Àh-1 = #(sjfc+ i) = #{sjfc) + # ( 4 ) = # ( s fc) + # ( 4 - i ) = -Ffc- 1 + Fk.

V ậy m ệ n h đề đư ợ c ch ứ n g m in h .



n



N ếu X = ( x i, ...,xn) là d ã y bội cơ sở ch iều d ài n v à sn =



th ì

i= l



từ M ệnh đề 2.2.5, t a có

r



Fn —



* _ 1 ư1 + A

2



— $ \ sn) —



"+1



r 1 ~ A " +\

2



foim

(3.10)



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 8 . Với cấc ký hiệu như đã nêu trên thì với mỗi n ẽ N

và tn G supp fin ta luôn có



Chứng minh. T a ch ứ n g m in h m ệ n h đề b ằ n g q u y n ạ p . R õ rà n g rằ n g b ấ t

đ ẳ n g th ứ c đ ú n g với n = 1. X é t trư ờ n g h ợp n = k + 1 với g iả sử rằ n g b ấ t



44



đ ẳ n g t h ứ c đ ú n g với m ọ i n < k. L ấ y

fe+1



y = (2/1 , * • .,Vk+ 1 ) £ Zk+ 1 v à đ ặ t ijfc+1 = 5 ^ 3



V



i= l

T a có Í fc+1 = tk + 3 ~ (fc+1 )yfc+i với t k e su p p Ịik v à 2/fc+i € D.



N ếu Ĩjk+ 1 = 0 th ì t^+i — tk • K hi đó, th e o Bổ đề 1.1.2 (iii) v à g iả th iế t

q u y n ạ p t a có

# ( ^ + 1 ) = #(íjfc) < F k < Fk+lN gược lại, n ế u yk+1 Ỷ 0 th ì tk+i có n h iề u n h ấ t h a i sự b iểu diễn là



tk+ì = t k + 3 ~ (fc+1) = t'k + 3 ~ (fc+1 )4.

K hi đó tf~ = t'k + 3 _fe. G iả sử r ằ n g t'k —



3



t he o Bổ đề 2.1.2 (i) t a



i=l

su y r a y'k = 0 . D o đó t'k = íỊb 1 = Ẽ 3 - %

_

i= 1

g iả th iế t q u y n ạ p v à M ện h đề 2.2.7, t a có



V ậy # ự k) = # ( í /c_ 1). T h e o

f



# (ifc + l) < # ặ k ) + # ( 4 ) = #(*fc) + # ( 4 - 1 ) ^ Fk + Fk-Ĩ = -Ffc+1 V ậy m ệ n h đề đư ợ c ch ứ n g m in h .



M ệ n h đ ề 2 . 3 . 9 . Giả sử



X



= ( x i , . . . , £jfc) e -Dfc được g/iép bởi các dẫy



nguyên tố và m dãy bội max, trong đó chiều dài của các dãy bội max

k

là h , . .. ,lm. Giả sử lị + ... + lm — n < k. Khi đó, với

= Ỵ2 3~lXị ta

1=1

CÓ



m



# (« < ;} = 1 1 ^ .



i=l

Chứng minh. T a n h ắ c lại rằ n g



F



j



là k ý h iệu lực lượng c ủ a lớp t ấ t cả



các d ã y bội cơ sở chiều d à i b ằ n g j với j e N . T h e o n g u y ên lý n h â n t a có

n gay đ ẳ n g th ứ c . Đ ể c h ứ n g m in h b ấ t đ ẳ n g th ứ c , trư ớ c h ế t t a chỉ ra rằ n g

với n e N ,n > 2 v à n i , H2 E N , lĩị + U2 — n, th ì

F n iF n2 < F n .



(3.11)



45



T a sẽ ch ứ n g m in h (3.11) b ằ n g q u y n ạ p . R õ rà n g rằ n g b ấ t đ ẳ n g th ứ c

đ ú n g vói m ọi n < 5. G iả sử rằ n g nó đ ú n g với .mọi n < k (k > 5), t a chứng

m in h nó đ ú n g với n = k + 1. L ấy k\ < /C sao cho k\ + /C = k + 1. T h e o

2

2

M ệnh đề 2.2.8 v à g iả th iế t q u y n ạ p , t a có

•Ffci-Fjfej = Fkl(Fk2_i + Fk2- 2)

= FklFk2- i + FklFk2_2

— Fkl+k2- i 4" Fk1+k2—

2

= p 'k 1+ k2 =



N hư vậy (3.11) đư ợ c c h ứ n g m in h .

T ừ (3.11) với chú ý rằ n g /1 + . . . + lm

m



= n , t a su y



ra



m



n



n F[i -



i= 1



2=3



- Fh+:.+im= Fn-



V ậy m ện h đ ề đư ợ c c h ứ n g m in h .

2 .4 . M i ề n g i á t r ị c ủ a c h i ề u đ ị a p h ư ơ n g c ủ a B à i t o á n ( 0 ,1 ,4 )

T rư ớ c h ế t t a có các k ế t q u ả về g iá t r ị cực b iê n c ủ a chiều đ ịa p h ư ơ n g

tro n g B ài to á n ( 0 ,1 ,4 ) n h ư sau .



Đ ị n h lý 2 . 4 . 1 . Với cấc ký hiệu như đã nêu trên ta có giá trị lớn nhất

của chiều địa phương là

ã = ot* = l

và giá trị bé nhất của chiều địa phương là

lo g (l+ \ / 5 ) - l o g 2



a = a* = 1 ----------------- -—------------ « 0.562.

log 3



Chứng minh. Đ ể ý rằ n g n ếu X = ( 0 , 0 , . . . ) h o ặc £ = ( 4 , 4 , . . . ) h ay tổ n g

q u á t hơn



X



— (XI, X2 , . . . ) G D°° là d ã y n g u y ê n tố th ì # ( s n ) = 1, Vn e N



với sn —



D o đó Hn(sn) = 3 ~ n # ( s n ) = 3 _ n Vn G N. K hi đó, lấy



i—

1