CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

trong đó $f_{\nu \nu_0}$ là biên độ tán xạ từ trạng thái có spin (s, $\nu_0$) đến

trạng thái có spin (s, $\nu$). Tiết diện tán xạ ứng với trạng thái cuối có hình chiếu

spin trên trục \textit{z} nhận giá trị $\nu$ là



Nếu trường hợp thí nghiệm không quan tâm đến hình chiếu spin của chùm hạt

tán xạ thì



Sự phân bố của tiết diện tán xạ theo $\nu$ được quyết định bởi sự phụ thuộc spin

của tương tác. Trường hợp tương tác không phụ thuộc spin như tương tác điện từ,

tiết diện tán xạ của hạt có spin hoàn toàn giống với tiết diện tán xạ của hạt không có

spin.

Thế $V$ của tương tác hạt nhân-hạt nhân thường được viết dưới dạng tổng của

thành phần xuyên tâm, $V_{c}$ và thành phần tương tác spin-quỹ đạo, $V_{LS}$



Sự phụ thuộc spin của tương tác hạt nhân-hạt nhân tổng quát rất phức tạp vì nó

xuất hiện không chỉ trong thành phần tương tác spin-quỹ đạo $V_{LS}(r)$

(\ref{vovls}) mà còn trong cả thành phần xuyên tâm $V_{c}(r)$ (\ref{vcen}).

Trong khai triển sóng riêng phần cho hạt không có spin, hệ cơ sở là một bộ đủ các

hàm $\psi_{Elm}(r)=Y_{lm}(\bm \hat r)u_l(k,r)/r$, là hàm riêng của các toán tử

$H, \bm {L}^2$ và $L_z$. Đối với hạt có spin, toán tử $L_z$ không còn phù hợp

vì không giao hoán với \textit{H} có chứa thành phần thế spin-quỹ đạo. Hơn nữa

với sự phụ thuộc spin phức tạp trong thế tương tác hạt nhân $V_{c}(r)$, các toán tử

$\bm{L}^2$ và $\bm{S}^2$ cũng có thể không còn giao hoán với toán tử

\textit{H}. Tuy nhiên, đối với các bia như $^{48}\rm Ca, ^{90} Zr, ^{120}Sn$ và

$^{208}\rm Pb$ có spin bằng không thì $V_{c}$ trong các trường hợp này không



13



phụ thuộc spin. Do đó hệ cơ sở được chọn là các hàm riêng đồng thời của các toán

tử $\{H,\bm L^2,\bm S^2,\bm J^2,J_z\}$,



trong đó



và $u_l^J(k,r)$ là nghiệm của phương trình bán kính



còn $\langle lms\nu|JM \rangle$ là các hệ số Clebsch-Gordan. Như vậy có thể thấy

trong trường hợp hạt có spin, \textit{phương trình bán kính phụ thuộc vào số lượng

tử động lượng góc toàn phần, J}. Tại khoảng cách đủ xa tâm tán xạ, hàm bán kính

$u_l^J(k,r)$ có dạng



Như vậy, kết quả là \textit{độ dịch pha (phase shifts) trong trường hợp này phụ

thuộc vào số lượng tử J}.

Đến đây, hàm sóng tán xạ được khai triển theo hệ các hàm đủ $\psi_{ElJM}$



trong đó $A_{lJM}$ là các hệ số khai triển.

Khi $r \rightarrow \infty$, hàm sóng tán xạ trên được biểu diễn dưới dạng tương

tự trường hợp không có spin



14



với



Để tính biên độ tán xạ ta cần đưa phương trình (\ref{psisc}) về dạng (\ref{x+x-})

với các bước tương tự trường hợp hạt không có spin.

Trên thực tế, phương trình bán kính được giải bằng phương pháp số cho từng giá

trị của $l=0,1,...,l_{max}$. Giá trị $l_{max}$ phải thỏa điều kiện $l_{max}\gg

kR$, với \textit{R} khoảng tương tác của thế, để đảm bảo tính hội tụ. Vì phương

trình bán kính phụ thuộc \textit{J} nên mỗi phương trình trên được giải $2s+1$ lần,

mỗi lần cho một giá trị của \textit{J}. Như vậy cách giải cho trường hợp có spin

tương tự cho trường hợp không có spin ứng với cùng một khoảng tương tác, trừ

việc số lần giải phương trình bán kính được nhân lên với $2s+1$.

1.1.2. Hệ phương trình liên kênh

Trong tán xạ các hạt có cấu trúc, nếu thế tương tác \textit{V} không làm thay đổi

cấu trúc bên trong của các hạt hay tán xạ đàn hồi thì hàm sóng mô tả chuyển động

tương đối của hệ thỏa phương trình Schroedinger tương tự trường hợp các hạt

không cấu trúc chỉ khác ở chỗ biến số $\bm{r}$ được thay bằng khoảng cách

$\bm{R}$ giữa khối tâm của hai hạt nhân. Thực tế $V(R)$ có thể kích thích các

trạng thái khác nhau của hạt nhân hay dẫn đến sự sắp xếp lại thành phần giữa các

hạt. Khi đó xuất hiện nhiều trạng thái sau phản ứng với xác xuất xác định, mỗi

trạng thái của hệ $(A' + a')$ sau tán xạ như vậy là một kênh của phản ứng, kí hiệu

là $\alpha$. Đầu tiên ta sẽ xây dựng lại phương trình Schroedinger cho trường hợp

này.

Toán tử Hamilton tổng cộng thu được bằng cách cộng thêm năng lượng chuyển

động tương đối và thế tương tác $V_{\alpha}$ giữa hai hạt nhân vào các Hamilton

$H_a, H_A$



15



Sau đó ta có hàm sóng mô tả trạng thái nội tại của $a, \psi _a$ và của $A, \psi

_A$ là nghiệm của các phương trình Schroedinger



với $\varepsilon_a$ và $\varepsilon_A$ là năng lượng riêng của \textit{a} và

\textit{A}. Hàm sóng toàn phần $\Psi_\alpha$ của kênh $\alpha$ bây giờ là



trong đó $\chi_{a'A'}$ là hàm sóng mô tả chuyển động tương đối của hai hạt.

Phương trình Schroedinger cần giải có dạng



Thay toán tử \textit{H} từ (\ref{Htongcong}), hàm sóng $\Psi_\alpha$ từ

(\ref{totalwf}) vào phương trình (\ref{SE1}) và sử dụng (\ref{interw}) ta được

phương trình



Nhân hai vế của phương trình (\ref{SEto}) với $\psi^*_a\psi^*_A$, lấy tích

phân theo các biến nội độc lập của \textit{a} và \textit{A} và sử dụng tính trực

chuẩn của các hàm sóng nội ta có



với



và

16



trong đó $(E - \varepsilon _a - \varepsilon _A )$ là động năng của chuyển động

tương đối, $k_{aA}$ là số sóng tương ứng và $U_{aA,a'A'} (r_\alpha)$ là yếu tố

ma trận của thế tương tác $V_\alpha$



Vì tích phân trên được lấy theo các biến số nội $x_a$ và $x_A$ nên yếu tố ma

trận của thế tương tác chỉ là hàm của $r_\alpha$.

Ta thấy trong phương trình (\ref{CC}) các yếu tố ma trận chéo được đặt bên vế

trái, còn các yếu tố ma trận không chéo được đặt bên vế phải. Đối với tán xạ đàn

hồi, vì không xuất hiện các trạng thái kích thích $a', A'$ nên vế phải của (\ref{CC})

bằng không, ta thu được phương trình Schroedinger quen thuộc. Khi vế phải khác

không, phương trình (\ref{CC}) miêu tả cả tán xạ không đàn hồi và những ảnh

hưởng của nó đến tán xạ đàn hồi. Một điểm lưu ý khác là vế trái của phương trình

(\ref{CC}) không chỉ là trạng thái cơ bản của cặp $a, A$ mà còn có thể là các trạng

thái kích thích, $a', A'$. Khi đó hàm sóng $\chi _{a'A'} (r_\alpha)$ mô tả chuyển

động tương đối của hai hạt nhân kích thích. Nếu biết tất cả các yếu tố ma trận

$U_{aA,a'A'} (r_\alpha)$ thì chúng ta có thể giải các phương trình liên kết

(\ref{CC}) và thu được thông tin đầy đủ của phản ứng. Do đó (\ref{CC}) được gọi

là \textit{hệ phương trình CC}. Tuy nhiên, hệ phương trình CC là một tập hợp vô

hạn các phương trình nên trên thực tế người ta chỉ giải với một số ít các kênh quan

trọng và các kênh còn lại có thể được bỏ qua hoặc miêu tả chúng bằng TQH phức.

Hệ phương trình CC có thể được giải bằng một chương trình máy tính như

chương trình ECIS97 (Equations Coupl\'ees en It\'erations S\'equentielles -1997)

của GS. Raynal. Chương trình ECIS đầu tiên (ECIS68-1968) được phát triển từ

chương trình INCH của Bock và Hill, trải qua nhiều phiên bản đến nay ECIS97

được dùng vào nhiều mục đích trong đó có giải phương trình CC, DWBA của bài

toán tán xạ hạt nhân hay bài toán MQH hạt nhân.



17



1.2. Mẫu quang học hạt nhân

Một lý thuyết quang trọng trong nghiên cứu phản ứng hạt nhân là MQH hạt

nhân. Mẫu này tập trung vào việc xây dựng trường thế giúp thu được các đặc trưng

của tương tác hạt nhân-hạt nhân.

Từ việc đối chiếu sự tương tự trong kết quả tán xạ neutron lên hạt nhân bia với

tán xạ của sóng ánh sáng lên quả cầu trong suốt, TQH đầu tiên được xây dựng cho

tán xạ của neutron-hạt nhân và sau đó được phát triển cho các hạt tới khác như

proton, alpha rồi đến các ion nặng. Do đó tương tác giữa hai hạt nhân theo MQH

được xây dựng tương tự các hiện tượng quen thuộc trong quang học sóng. Môi

trường trong hạt nhân bia làm một phần của hàm sóng của hạt tới bị nhiễu xạ và

một phần khác bị khúc xạ. Hiện tượng này được đặc trưng bằng một hàm phức,

trong đó phần thực và phần ảo lần lượt là phần nhiễu xạ và phần khúc xạ của sóng

tới.

Thay cho việc giải hệ phương trình CC (\ref{CC}), trong MQH xét gần đúng

đóng góp của các kênh không đàn hồi lên hàm sóng tán xạ đàn hồi qua sự hấp thụ

sóng tán xạ bởi thành phần ảo của thế tán xạ. Như vậy thế thực $V(R)$ trong

phương trình Schroedinger được thay bằng thế phức $U(R)$



Phần thực $V(R)$ đặc trưng cho kênh tán xạ đàn hồi (sóng tới bị phản xạ). Phần

ảo $W(R)$ được thêm vào để tính đến các kênh khác (sóng tới bị hấp thụ một phần

trước khi ra khỏi môi trường). Do đó $W(R)$ đặc trưng cho phần sóng bị hấp thụ

do các va chạm không phải đàn hồi. Phương trình Schroedinger trong trường hợp

này là



và phương trình liên tục là



18



trong đó $\chi(\bm R)$ là hàm sóng mô tả chuyển động tương đối của hạt tới và hạt

nhân bia. Lấy tích phân phương trình liên tục theo $ \bm R $, ta có



với $N_a$ là số hạt bị hấp thụ khỏi kênh đàn hồi. Tiết diện hấp thụ, $\sigma_a$ hay

còn gọi tiết diện phản ứng $\sigma_r$ sẽ bằng tỷ số giữa $N_a$ và mật độ dòng tới



Trên thực tế, người ta hay dùng hàm sóng tán xạ ở xa tâm tán xạ thay cho hàm sóng

$\psi$



Tiết diện tán xạ toàn phần $\sigma$ sẽ bằng tổng của tiết diện tán xạ đàn hồi

$\sigma_{el}$ và tiết diện hấp thụ $\sigma_{a}$

1.2.1. Mẫu hiện tượng luận

Phương pháp đầu tiên, đơn giản nhất để xây dựng TQH là phương pháp hiện

tượng luận. TQH tổng quát thường được sử dụng có dạng



với $V_0$ và $W_0$ lần lượt là độ sâu của thế thực và thế ảo, các hàm số $f(R)$

và $g(R)$ phụ thuộc khoảng cách \textit{R} giữa hai khối tâm của hai hạt nhân, mô

tả hình dạng của các thế.

Các số liệu thực nghiệm cho thấy những nucleon nằm sâu trong hạt nhân chỉ

tương tác với các nucleon lân cận nên phần thực $V_0f(R)$ thay đổi rất ít trong

lòng hạt nhân nhưng giảm nhanh theo hàm mũ khi ra biên. Để mô tả sự biến đổi

như vậy của phần thế thực, hàm $f(R)$ thường có dạng hàm Woods-Saxon



19



với tham số $R_0$ là bề rộng của thế, có thể được xem là bán kính hạt nhân và

tham số $a$ là độ nhòe của thế trên bề mặt hạt nhân.

Hàm $g(R)$ của phần ảo phụ thuộc vào năng lượng của hạt tới. Tại năng lượng

dưới 10 MeV, sự hấp thụ chỉ xảy ra trên bề mặt. Khi đó $g(R)$ có dạng đạo hàm

của hàm Woods-Saxon tại bề mặt hạt nhân



Tại năng lượng lớn, phần ảo có hai số hạng, một là số hạng thể tích $W_v$ có

dạng hàm Woods-Saxon và một số hạng bề mặt $W_s$ có dạng tương tự trường

hợp năng lượng thấp.

Ngoài ra, tương tự thế spin-quỹ đạo trong mẫu lớp hạt nhân, thế spin-quỹ đạo

$V_{LS}(R)$ được thêm vào thế tương tác của hai hạt nhân để tính đến tương tác

giữa spin $\bm S$ và moment quỹ đạo $\bm L$



Nếu các hạt mang điện, ta phải cần thêm vào thế Coulomb $V_C(R)$, mô tả thế

tương tác giữa điện tích điểm, điện tích bằng điện tích của hạt nhân tới $Z_1$ và

quả cầu tích điện đều, điện tích bằng điện tích của hạt nhân bia $Z_2$, bán kính

$R_C$ bằng tổng bán kính của hạt tới và bia



Tổng hợp tất cả các thành phần trên, TQH $U(r)$ là



20



Khi sử dụng các số liệu của tán xạ đàn hồi ta có thể tìm được công thức tổng

quát dùng xác định các tham số trong TQH. Các tham số này là hàm theo khối

lượng, điện tích và năng lượng của hạt tới. Nhiều bộ tham số TQH áp dụng cho dải

năng lượng rộng (từ 1 keV đến 200 MeV) với nhiều bia khác nhau ($24 < A <

209$) đã được xây dựng rất thành công như TQH CH89 của Varner và đồng nghiệp

\cite{Varner91} hay TQH KD của Koning và Delaroche \cite{Kon03}. Mặc dù

tham số hóa từ thế Woods-Saxon bán thực nghiệm nhưng phương pháp này rất hữu

ích để tiên đoán TQH nucleon-hạt nhân khi mà số liệu tán xạ đàn hồi không có

hoặc không thể đo được như trường hợp của các hạt nhân không bền hay các hạt

nhân nằm trên đường biên (drip line). Tuy nhiên điểm hạn chế của mẫu này là

không phải một tán xạ hạt nhân-hạt nhân tổng quát nào cũng có một bộ tham số

TQH như trên. Thông thường, các tham số TQH chỉ đúng cho một phạm vi rất hẹp.

Với các trường hợp khác thì các tham số TQH được đưa vào để phù hợp với số liệu

tán xạ đàn hồi thực nghiệm cho từng trường hợp riêng lẻ như trường hợp của TQH

cho tán xạ ($^3$He,$^3$He) \cite{Pang09} được sử dụng cho việc nghiên cứu

phản ứng ($^3$He,$t$).

Bên cạnh mẫu hiện tượng luận, TQH còn được xây dựng một cách vi mô từ các

bậc tự do của nucleon như mẫu folding.

1.2.2. Mẫu folding

Một mẫu vi mô cho TQH phải được xây dựng từ tương tác NN. Đến nay chưa có

một mẫu vi mô hoàn chỉnh cho hệ phức tạp như hệ hai hạt nhân tương tác với nhau.

Tuy nhiên một phương pháp gần đúng đã được Feshbach xây dựng. Như đã đề cập,

thay cho việc giải hệ phương trình CC (\ref{CC}), toán tử chiếu Feshbach

\cite{Feshbach} cho ta một thế $ U $ hiệu dụng tương đương để tìm hàm sóng

$\chi(\bm R)$ từ phương trình (\ref{SE})



với $\alpha = mn$ kí hiệu cho cặp trạng thái của hạt nhân tới và hạt nhân bia.

Trong biểu thức (\ref{Feshbach}), $V_{00}$ là số hạng bậc nhất của tương tác

21



giữa hai hạt nhân, số hạng thứ hai lấy tổng theo tất cả trạng thái có $\alpha \neq 0$

hay $mn \neq 00 $. Biểu thức (\ref{Feshbach}) được viết gọn lại là



Số hạng $V_F$ có thể xây dựng từ mẫu folding



kí hiệu ngoặc đơn là lấy tích phân theo các biến số nội.

Mẫu folding đã được sử dụng trong các tính toán thế tương tác nucleon-hạt nhân

(mẫu folding đơn) và tương tác hạt nhân-hạt nhân (mẫu folding kép) trong nhiều

năm qua \cite{Khoa00}. Trong mẫu này, thế tương tác \textit{V} được xây dựng từ

tổng các tương tác NN hiệu dụng $v_{ij}$ giữa nucleon thứ \textit{i} trong hạt tới

và nucleon thứ \textit{j} trong hạt nhân bia



Khi tính đến sự trao đổi giữa nucleon \textit{i} và \textit{j}, hàm sóng cần được

phản đối xứng hóa, việc này tương đương với việc thay $v_{ij}$ bằng tổng của của

hai thành phần



trong đó



là thành phần trực tiếp (direct part) và



là thành phần trao đổi (exchange part), với $P^x_{ij}$, $P^\sigma_{ij}$,

$P^\tau_{ij}$ lần lượt là các toán tử trao đổi tọa độ, spin và spin đồng vị của cặp

nucleon. Tương tác NN hiệu dụng không những phụ thuộc vào đặc tính của cặp

nucleon tham gia tương tác mà còn phụ thuộc mật độ hạt nhân chung quanh chúng.

22



Do đó $v^{\rm{D(EX)}}$ là các hàm phức tạp, phụ thuộc nhiều biến số nên sẽ

được trình bày chi tiết hơn trong chương \ref{ch:2}, trong phần này để đơn giản ta

vẫn dùng kí hiệu $v^{\rm{D(EX)}}$.

Yếu tố ma trận trong (\ref{yeutomatranV}) được viết lại dưới dạng tổng của số

hạng trực tiếp và số hạng trao đổi



trong đó $\bm{R}$ và $\bm{R'}$ lần lượt là khoảng cách giữa hai khối tâm của hai

hạt nhân \textit{a}, \textit{A} và \textit{a'}, \textit{A'}. Sử dụng hàm mật độ không

gian đơn hạt (one-body spatial density), số hạng trực tiếp là



trong đó $\rho_{aa'}(\bm{r}_a)$, $\rho_{AA'}(\bm{r}_A)$ lần lượt là mật độ

không gian của hạt tới và hạt nhân bia. Đối với số hạng trao đổi, khác với số hạng

trực tiếp, số hạng này chứa thành phần phi định xứ. Tuy nhiên ta có thể dùng phép

xấp xỉ định xứ và thu được số hạng trao đổi dưới dạng



với $\bm{s}=\bm{r}_A-\bm{r}_a+\bm{R}$ (hình \ref{folding}) và $\bm{K(R)}$

là động lượng chuyển động tương đối



$\mu_\alpha$ là khối lượng rút gọn của kênh $\alpha$ và $M_\alpha =

\frac{aA}{a+A}$. Đối với tán xạ đàn hồi, vì các hạt nhân sau tán xạ không bị kích

thích nên ta có



23