I, Tứ diện vuông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (433 KB, 47 trang )
1, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông tại O
∆ABC
a, C/m các góc trong
OH ^
đều nhọn,
( ABC ) .
b, Vẽ
Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC,
ngược lại đúng không?
c, Cho OA = a; OB = b; OC = c; tính OH?
Giải
a, Chứng minh
∆ABC
Ta chứng minh
2
Ta có:
Aˆ
nhọn
2
2
BC = AC +AB − 2AC.AB.cos A
2
Do đó
=
là tam giác nhọn
2
AB +AB − BC
cosA =
2 AB. AC
2
2
2
2
2
2
2
OA
+OB
+OA
+OC
−
OB
−
OC
÷
÷
2 AB. AC
2
=
OA
AB. AC
b, Vẽ
OH ^
>0
⇒ 0
( ABC )
(đpcm)
.
• Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
Ta có:
AB ^ OH
⇒ AB ^ ( OCH ) ⇒ AB ^ CH.
AB ^ OC
Tương tự như trên ta được CA
^
BH
Vậy h là trực tâm của tam giác ABC.
• Chứng minh ngược lại: H là trực tâm tam giác ABC
^
chứng minh OH
(ABC)
AB ^ CH
⇒ AB ^ ( OCH ) ⇒
AB ^ OC
( OCH ) ^ ( ABC ) .
Tương tự như trên ta được (OBH)
Từ (1) (2) suy ra: OH
^
(1)
^
(ABC)
(ABC).
c, Tính OH
CH cắt BC tại I, theo định lý 3 đường vuông góc cho ta
OI ^ AB.
1
Ta có:
OH
2
1
=
OI
2
OC
1
OA
1
=
a
2
2
1
+
2
=
1
+
OB
+
1
b
2
+
2
1
c
2
1
+
OC
.
abc
2 2
Vậy OH =
2 2
2 2
a b +b c +c a
.
2
(2)
2, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông góc tại O. Gọi
a , b, g
là
các góc hợp bởi giữa mặt phẳng đáy (ABC) và các mặt phẳng
bên chứng minh rằng:
2
2
2
cos α + cos β + cos γ = 1.
Giải
2
Chứng minh
∆ OAH
2
2
cos α + cos β + cos γ = 1.
vuông tại H nên:
2
2
OH
OH
cosα =
⇒ cos α =
2
OA
OA
Từ đó suy ra:
2
2
2
2 1
1
1
cos α + cos β + cos γ = OH
+
+
.
2
2
2 ÷
OC
OA OB
Theo bài 1 ta có:
2
1
1
1
1
+
+
=
2
2
2 ÷
2
OC OH
OA OB
2
2
2
cos α + cos β + cos γ = OH .
Suy ra
1
OH
2
= 1
(đpcm).
3, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông tại O. Chứng minh rằng:
2
S
2
∆ABC
2
2
= S OAB + S OAC + S OBC .
Giải
Vẽ
OI ^ AB
. Theo định lý 3 đường vuông góc ta có:
OC ^ ( OAB )
⇒ CI ^ AB
AB
^
OI
S
2
2
∆ABC
=S
OAB
+S
2
2
OAC
+S
OBC
2
2
2
2
2
1
1
1 2
= OB .OC + OC .OA + OA .OB
4
4
4
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1 2
1
1 2
= OC OA + OB + OA .OB = OC . AB + OA .OB
4
4
4
4
2
2
2
1
1 2
= OC . AB + OI . AB
4
4
=
(
)
2
2
2
2
2
1
1
2
AB OC + OI = AB .CI
S ∆ABC
4
4
=
(đpcm).
4, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông tại O. Đặt OA=a; OB=b;
OC=c.
a, Nếu
2
Aˆ , Bˆ , Cˆ
là 3 góc trong
2
∆ ABC
. Chứng minh:
2
a tan Aˆ = b tan Bˆ = c tan Cˆ .
0
b, Nếu a + b = c. Chứng minh
OCAˆ + OCBˆ + ACBˆ = 90 .
Giải
2
a, Chứng minh
2
2
a tan Aˆ = b tan Bˆ = c tan Cˆ
Vẽ CH
^
AB. Áp dụng định lý 3 đường vuông góc cho OH
S∆ABC =
AB. Ta có:
1
AB.CH
2
=
^
1
ˆ
AB.AHtanA
2
2
1 2
ˆ 1 a tan Aˆ
OA tanA
2
2
=
=
Tương tự ta có:
Vậy suy ra:
2
1 2
ˆ = 1 c tanCˆ
S∆ABC = b tanB
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ = c tanC
a tan Aˆ = b tanB
(đpcm).
II, Tứ diện trực giao (tứ diện trực tâm)
1, Khái niệm
Tứ diện trực giao là tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc với
nhau từng đôi một.
2, Tính chất
Cho A.BCD là tứ diện trực tâm (AB
^
^
CD, AC
^
BD, AD
BC).
- Các đường cao của tứ diện đồng quy.
- Mỗi đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáy
tương ứng.
- Các đoạn nối trung điểm các cạnh đối bằng nhau.
- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau
- Các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồng
quy.
- Trung điểm của các cạnh và các chân đường vuông góc
chung của các cặp cạnh đối diện nằm trên một mặt cầu.
- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau
2
2
2
2
2
AB + CD = AC + BD = AD + BC
2
- Với mọi điểm M nằm trong tứ diện ta có:
MA.S BCD + MB.S ACD + MC.S ABD ≥ 9V
với V là thể tích
của tứ diện (dấu “=” xảy ra kh M trùng với trực tâm của tứ
diện).
3, Ví dụ
1, Chứng minh rằng trong một tứ diện nếu có hai cặp cạnh
đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.
Giải
Cho tứ diện A.BCD. giả sử ta có:
AC ^ BD
AB ^ CD
Ta sẽ chứng minh BC
Vẽ AH
^
^
(BCD). Ta có:
AD.
