III, CÁC LOẠI HÌNH HỘP

3



VA.BDIJ



1

1 a 2

a a

= .OA.SBJID = .

.a 2. =

3

3 2

3 9



(1)



3



VC.BDIJ



1

1 a 2

a a

= .OC.SBJID = .

.a 2. =

3

3 2

3 9



(2)



3



VJ.CIK



1

1 1 2

a

= .JF.SIKC = .a. a. a =

3

3 2 3

9



(3)



⇒ V1 = VA.BDIJ + VC.BDIJ + VJ.CIK

3



3



3



3



a

a

a

a

=

+

+

=

9

9

9

3



Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, chiều cao là h.

Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên ABB’A’ một góc

tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

Giải

Ta có:



( A ' BD ) ∩ ( ABB ' A ') = A ' B



 DA ⊥ AB



 DA ⊥ AA'



. Do ABCD vuông và



( AA' ⊥ ( ABCD ) )



α



. Tính thể



⇒ DA ⊥ ( ABB ' A ') .



Dựng AI



⊥



⊥



A’B thì được DI



A’B (theo định lý 3 đường vuông



góc).

Do đó



ˆ =α

DIA



Tính thể tích:

Gọi a là cạnh đáy lăng trụ.

Trong tam giác vuông DAI có:



AI = AD.cot α = a.cot α



Trong tam giác vuông ABA’:



1

AI



2



=



1

AB



2



+



1

2



AA '



⇒



1

h



2



=



1

2



2



a .cot α



−



1

a



2



2



=



tan − 1

a



2



2



⇒ a = h tan − 1.



Thể tích lăng trụ:



2

3

2



V = a .h = h . tan α − 1÷





2



Diện tích xung quanh:



2



SXQ = 4.a.h = 4.h . tan − 1.



Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a. Góc

0



giữa đường chéo AC’ và đáy là



60 .



Tính thể tích và diện tích



xung quanh của lăng trụ.

Giải

Ta có:



CC ' = tan α . AC

S ABCD =



p=



( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d )



AB + BC + CD + DA 4a

=

= 2a

2

2



⇒ S ABCD =



( 2a − a ) ( 2a − a ) ( 2a − a ) ( 2 a − a )



=a



ˆ =π

ABC

2

2



2



2



2



AC = AB + BC = a + a = a 2



π

⇒ CC ' = tan .a 2 = a 6

3

2



⇒ VABCD. A ' B 'C'D' = S ABCD .CC ' = a .a 6 = a



3



6



2



S xq = 4.S ABB ' A = 4.a.a 6 = 4a



2



6



Vậy:

Thể tích của lăng trụ là:



VABCD. A ' B 'C'D' = a



Diện tích xung quanh là:



S xq = 4a



2



3



6



6



Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, đường chéo

AC’=d hợp với đáy ABCD 1 góc bằng

BCC’B’ 1 góc bằng



α



và hợp với mặt bên



β



∠CAC ' = α ; AC ' B = β

a) Chứng minh

b) Chứng minh thể tích hình hộp là

3



V = d .sin α .sin β . cos ( α + β ) .cos ( α − β ) .

c) Tìm hệ thức giữa

Cho d cố định,



α, β



α, β



để A’D’CB là hình vuông.



mà A’D’CB vẫn là hình vuông, định



α, β



để V lớn nhất.

Giải

a, Ta có



CC ' ^



( ABCD )



. Nên AC là hình chiếu của AC’ xuống



(ABCD)

ˆ '=α

⇒ ( AC ', ( ABCD ) ) = ( AC ',AC ) = CAC



Tương tự:



AB ⊥ ( BCC ' B ')



xuống (BCC’B’)



nên BC’ là hình chiếu của AC’



⇒ ( AC ', ( BCC ' B ' ) ) = ( AC ',BC' ) = ACˆ 'B = β .

b, V =AB.BC.CC’

Trong tam giác vuông ACC’:



CC’ = AC’.sin α = d .sin α ;



AC = AC’.cosα = d .cosα ;

AB = AC’.sin β = d .sin β ;



Trong tam giác vuông ABC’:

Trong tam giác vuông ABC

2



2



2



2



2



2



2



2



BC = AC − AB = d .cos α − d .sin β = d cos α − sin β

3



2



2



⇒ V = d .sin α .sin β . cos α − sin β



(1)



3



1 + cos2α 1 − cos2β

−

2

2



3



1

( cos2α + cos2β )

2



= d .sin α .sin β .



= d .sin α .sin β .

3



= d .sin α .sin β . ( cos ( α + β ) + cos ( α − β ) )

c, Hệ thức giữa



(đpcm).



α, β

2



A’D’CB là hình chữ nhật có

chéo A’C =AC =d.



2



BC = d cos α − sin β



Do đó để A’D’CB là hình vuông thì

2

2

2 

 2

2 BC = A ' C ⇔ 2  cos α − sin β ÷ = 1







(2)



và đường



d, Định



α, β



để V lớn nhất

2



( 2 ) ⇒ sin β = cos α −



1

2



thế vào (1). Ta có:

2

2 

2

2 3

1

2 3

1

V=

d sin α cos α − =

d sin α  cos α − ÷

2

2

2

2



2

1

 2

sin

α

+

cos

α

−

2 3

2÷

≤

d 

÷

2

2



÷







≤



d



3



(BĐT Cauchy)



2



32



Đẳng thức xảy ra khi:

2

2

0

0

1

1

sin α = cos α − ⇔ cos 2α = ⇔ 2α = 60 ⇒ α = 30

2

2

2



0



sin β = cos 30 −

Khi đó:

V=



Vậy V đạt lớn nhất là



0

1 1

= ⇒ β = 30

2 2



d



3



32



2



0



khi α =β = 30 .



Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi



cạnh a,



0

Aˆ = 60



. Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy



ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy. Cho BB’=a.

a) Tính góc giữa cạnh bên và cạnh đáy.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp.

Giải



D'



M



A'



B'



D



C

j

O



A



a) Ta có



b)



B



1

0

OB 2 a 1

ˆ

ˆ = 60 .

cos B 'BO =

=

= ⇒ B ' BO

BB ' a

2



0

ˆ = a.sin 60 = a 3

B ' O = BB 'sinB'BO

2



Gọi



0

ˆ = a.sin 60 = a 3

B ' M ⊥ C ' D ' ⇒ B'M = B'C'.sinB'C'D'

2



S ABCD = S A ' B ' C ' D ' = B ' M . A ' B =

2



a



2



3



2



2



a 3 a 3 3a

⇒V =

.

=

.

2

2

4

2



2



3a

3a

a 6

A ' B = OA + OB =

+

=

4

4

2

2



⇒ A' N =



a 6

4



2



2



6a

a 10

⇒ AN = A ' A + A ' N = a −

=

16

4

2



⇒ AB ' =



2



2



10

a

2

2



1

1 10 a 6 a 15

⇒ S ABB ' A = AB '. A ' B = .

.a.

=

2

2 2

2

4

⇒ S xq = 4.S ABB ' A = a



2



15.



MỤC LỤC