II, Tứ diện trực giao (tứ diện trực tâm)

Cho A.BCD là tứ diện trực tâm (AB



^



^



CD, AC



^



BD, AD



BC).

- Các đường cao của tứ diện đồng quy.

- Mỗi đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáy

tương ứng.

- Các đoạn nối trung điểm các cạnh đối bằng nhau.

- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau

- Các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồng

quy.

- Trung điểm của các cạnh và các chân đường vuông góc

chung của các cặp cạnh đối diện nằm trên một mặt cầu.

- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau

2



2



2



2



2



AB + CD = AC + BD = AD + BC



2



- Với mọi điểm M nằm trong tứ diện ta có:

MA.S BCD + MB.S ACD + MC.S ABD ≥ 9V



với V là thể tích



của tứ diện (dấu “=” xảy ra kh M trùng với trực tâm của tứ

diện).

3, Ví dụ

1, Chứng minh rằng trong một tứ diện nếu có hai cặp cạnh

đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.

Giải

Cho tứ diện A.BCD. giả sử ta có:



 AC ^ BD



 AB ^ CD

Ta sẽ chứng minh BC

Vẽ AH



^



^



(BCD). Ta có:



AD.



 AH ^ CD

⇒ CD ^ ( ABH ) ⇒ CD ^ BH



AB

^

CD



 AH ^ BD

⇒ CD ^ ( ACH ) ⇒ CD ^ CH



AC

^

B

D



Do đó H là trực tâm tam giác BCD nên ta có:



BC ^ DH

⇒ BC ^ ( ADH ) ⇒ BC ^ AD



B

C

^

AH





(đpcm).



A



j



B



D



H



C



2, Chứng minh rằng một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ

nếu hình chiếu của mỗi đỉnh lên mặt đối diện là trực tâm của

mặt đó.



Giải

Thuận:

Cho tứ diện trực tâm A.BCD. Gọi A’, B’, C’, D’ là hình chiếu của

A, B, C, D lên các mặt đối diện. Ta chứng minh A’ là trực tâm

của BCD rồi suy ra ba kết quả còn lại.



CD ^ AB

⇒ CD ^ ( ABA ') ⇒ CD ^ A 'B.



CD

^

AA'



Tương tự ta có



BD ^ A'C



Vậy A’ là trực tâm của tam giác BCD.

Đảo:

Gọi A’ là trực tâm của tam giác BCD trong tứ diện trực giao

A.BCD. ta chứng minh A’ là hình chiếu của A xuống (BCD).

Ta có:



CD ^ AB

⇒ CD ^ ( ABA ' ) ⇒ CD ^ AA '



CD

^

A'B



Tương tự ta có



Từ (1) (2) ta có



BD ^ AA'



(2)



.



( BCD ) ^



(1)



AA '



.



Vậy A’ là hình chiếu của A lên (BCD).

Đối với các điểm B, C, D hoàn toàn tương tự.



A



D



C'



B



A'

B'

D'

C



3, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ

nếu tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi

một.

Giải

Thuận:

Cho tứ diện trực tâm ABCD. Vẽ BI

Ta có:

CD ^ AB

⇒ CD ^



CD ^ BI



( ABI ) ⇒ CD ^



^



CD



AI.



Gọi M là trung điểm của CD.

Ta có:

2



2



AC − AD = 2CD.MI



2



;



2



BC − BD = 2CD.MI



Từ đó ta có:

2



2



2



AC − AD = BC − BD



2



2



2



2



AC + BD = BC + AD



2



hay

(1)

Ta chỉ mới sử dụng một cặp cạnh đối vuông góc nhau, đó là

CD



^



AB , mà ta đã dược (1). Nếu ta sử dụng thêm một cặp



đối khác vuông góc nhau, chẳng hạn như BC

được:

2



2



2



AB + CD = AC + BD



^



AD thì ta



2



(2)



Từ (1) và (2) ta có :

2



2



2



2



2



AC + BD = BC + AD = AB + CD



2



(3) (đpcm)



Đảo:

Cho tứ diện A.BCD sao cho các cạnh thõa mãn (3).

Ta chứng minh tứ diện ấy là tứ diện trực tâm.

Vẽ đường cao BI trong tam giác BCD, đường cao AJ trong tam

giác ACD.

Vẫn gọi M là trung điểm BC ta có:

2



2



BC − BD = 2CD.MI

2



(I)



2



AC − AD = 2CD.MI



(II)



Theo giả thiết (3) ta có:

2



2



2



2



2



2



2



2



AC + BD = BC + AD = AC − AD = BC − BD .



Từ (I) và (II) suy ra:



MI = MJ ⇒ I = J



Lúc đó:



 CD ^ AI

⇒ CD ^ AB.



CD

^

BI





Nếu như ta sử dụng (2) ta sẽ được BC

để kết luận A.BCD là tứ diện trực tâm.



^



AD. Như vậy cũng đủ



4, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ nếu

các đường cao của nó đồng quy.

Giải

Thuận:

Cho A.BCD là tứ diện trực giao, AA’, BB’, CC’, DD’ là các

đường cao của tứ diện. Để chứng minh chúng đồng quy ta

chứng minh chúng cắt nhau từng đôi một. Chẳng hạn ta chứng

minh AA’ và BB’ cắt nhau.



Ta có:



CD ^ AB

⇒ CD ^ ( ABA ') ≡ ( ABI )



CD ^ AA'



(I là giao điểm của B’A với CD)

⇒ ( ABI ) ^



( ACD )



Nhưng BB’



^



(ACD) nên:



B ∈ AI

Vậy AA’ và BB’ chính là 2 đường cao của tam giác ABI nên cắt

nhau. Tương tự chứng minh các cặp đường thẳng còn lại cắt

nhau.

Giao điểm H của 4 đường cao trong tứ diện gọi là trực tâm của

tứ diện.

Đảo:



Cho tứ diện A.BCD có 4 đường cao là AA’, BB’, CC’, DD’ đồng

quy. Ta chứng minh tứ diện ấy là tứ diện trực tâm

Xét 2 đường cao AA’ và BB’, cắt nhau ở H. Ta có:

AA ' ^



( BCD ) ⇒ AA' ^



CD



BB' ^



( ACD ) ⇒ BB' ^



CD



Do vậy CD



^



AB



Chứng minh tương tự với các cặp cạnh còn lại.

Suy ra điều cần chứng minh.

5, Chứng minh trong một tứ diện trực tâm, các điểm chính

giữa của các cạnh và chân các đoạn vuông góc chung của các

cặp cạnh đối diện đều nằm trên một mặt cầu.

Giải

Gọi M, N, P, Q, S lần lượt là điểm chính giữa của AB, BC, CD,

AC, BD. Sẽ thấy rằng MP, NQ, RS cắt nhau tại trung diểm mỗi

đoạn. Gọi điểm này là điểm O, đó chính là trọng tâm của tứ

diện.

Ngoài ra do AC



^



BD nên MN



^



MQ và tương tự.



Suy ra MNPQ, MSPR, .... là những hình chữ nhật nên:



MN = NQ = RS ⇒ OM = ON = OP = OQ = OR = OS

Như vậy 6 điểm M, N, P, Q, S, R cùng nằm trên một mặt cầu

tâm O.

Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Gọi KL là đoạn vuông góc chung của BC và AD.

Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AC và BD.



Ta chứng minh 6 điểm I, J, K, L, E, F cùng nằm trên một mặt

cầu tâm O nói trên.

Trước hết ta có:



CD ^ AB

⇒ CD ^ BJ



CD

^

IJ



Ta chứng minh tương tự cũng có CF

Gọi G, H,



ω1



^



BD, DK



^



BC.



lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn



ngoại tiếp tam giác BCD.

O1 là hình chiếu của O lên (BCD).

Ta biết rằng AH



^



(BCD) và



O ∈ AG



nên



O 1 ∈ GH



.



Ta có:

GO 1 GO 1

=

=

O 1 H OA 3



GO1 GP 1

=

=

GH GB 3

Do đó



Vậy



O1 H=O1ω 1



O1



là tâm đường tròn Euler của đường tròn đi qua I, J, K,



L, E, F tức là:



O1 N = O1 K = O1 J = O1 P = O 1 S = O1 F

Suy ra:



ON = OK = OJ = OP = OS = OF .



Nói cách khác K, J, F thuộc mặt cầu (O)

Chứng minh tương tự cho L,E, I.



III, Tứ diện đều

1, Khái niệm

Tứ diện đều là tứ diện có 6 cạnh bằng nhau, do đó có 4 mặt là

các tam giác đều bằng nhau.

2, Tính chất

- Các mặt là các tam giác đều bằng nhau.

- Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau và đều

bằng 60o

- Các mặt bên nghiêng đều với đáy.

- Chân đường cao hạ từ một đỉnh bất kì trùng với trực tâm,

trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn

ngoại tiếp cảu mặt đó.

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của

tứ diện trùng nhau.



- Đường cao của tứ diện bằng



a



3



2



12



a 6

3



và thể tích bằng



.



R=

- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện



a 6

4



và bán kính



a 6

.

12



mặt cầu nội tiếp tứ diệ là

- Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với

nhau.

- Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất

kì là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa

hai cạnh ấy.



a 2

2



- Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kì bằng

- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều A.BCD cạnh a là hình lập



phương có cạnh bằng



a 2

.

2



3, Ví dụ

1, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a.

a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

b, Tính chiều cao, thể tích, bán kính hình cầu ngoại tiếp của

tứ diện ấy.

Giải