V, Tứ diện có tích độ dài hai cạnh đối bằng nhau

 MC

 MD =



 MC =

 MD



AC

AC BC

AD

⇒

=

BC

AD BD

BD



Hay AC.BD =AD.BC.

Lập luận tương tự cho các đường phân giác khác suy ra tích độ

dài các cặp cạnh đối bằng nhau.

2)=>3) . Tức là nếu AC.BD =AD.BC =AB.CD thì phân giác của

hai mặt đối diện vẽ trên cạnh chung có chân trùng nhau;



AC.BD = AD.BC ⇒

Thật vậy,



MC AC

=

( 1) .

MD AD



tại N. Theo tính chất đường phân giác



So sánh (1), (2) và



AC BC

=

AD BD



Giả sử BA1 cắt CD



NC BC

=

( 2) :

ND BD



nhận được



MC NC

=

MD ND



. Hai điểm



M≡N



M, N cùng chia trong cạnh CD theo cùng tỉ lệ nên

. Lập

luận tương tự cho các cặp đường phân giác khác vẽ trên một

cạnh chung.

3)=>1). Từ điều kiện c) suy ra hai đường nối đỉnh và tâm

đường tròn nội tiếp mặt đối diện cắt nhau.

Rõ ràng các đường nối đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp mặt

đối diện đôi một cắt nhau vì chúng không đồng phẳng nên

phải đồng quy.

VI.Tứ diện có bốn mặt tam giác vuông

Nhân xét:

Không thể sắp xếp bốn tam giác vuông để tạo một hình tứ

diện như “hình vẽ” để tại mỗi đỉnh của tứ diện có một góc

phẳng vuông vì lúc đó AB>AD>DC>BC>BC>AB vô lý.



Cũng không thể tại một đỉnh nào đó có ba góc phẳng vuông,

vì khi đó theo tính chất của tứ diện vuông, mặt đối diện của

đỉnh được chọn là tam giác nhọn.

Như vậy tại một đỉnh chẳng hạn đỉnh A

ˆ < 900

DAC



ˆ = BAD

ˆ = 90

BAC



0



và



. Việc chọn góc vuông ở mặt ACD hoặc tại C hoặc

DC ^ AC , DC ^ AB ⇒ DC ^



( ABC ) ⇒ DC ^



BC



tại D. Khi đó:

Như vậy dạng duy nhất của tứ diện có bốn mặt vuông là

tứ diện có một mặt là tam giác vuông và hình chiếu của

đỉnh thứ tư trùng với đỉnh góc nhọn của tam giác vuông

được chọn.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông, vuông tại A và D, độ dài AB bằng 2 lần độ dài

^



CD, CD=AD, SA (ABCD), SA=AB.

a, Chứng minh các tam giác SDC, SCB vuông.

b, Lấy E là trung điểm của SB. Dựng giao điểm F của mặt

phẳng (ADE) với cạnh SC.

c, Chứng minh rằng

( SDC ) ^ ( SAD ) , ( SBC ) ^ ( ADE ) , AF ^ ( SBC ) ;

d, Tính góc tạo bởi (ADE) và (ABCD).

e, Cho AB=a, tính diện tích thiết diện AEFD.

Giải

Nhận xét : Việc giải trở nên đơn giản nếu xét hình chóp đã

cho là hợp của hai tứ diện có bốn mặt vuông: SACD và SABC.

^



^



^



Thật vậy do SA (ABCD) nên SA AD, SA AC. Theo giả

^



thiết thì AD AB nên tứ diện có 4 mặt vuông. Di CI=AD (I là

trung điểm của AD tam giác ACB có trung tuyến



CI =



0

1

ˆ = 90

AD ⇒ ACB

2



mặt vuông.



. Từ đó suy ra S.ABC là tứ diện có 4



a, Suy từ các tứ diện SADC và SABC là những tứ diện với

bốn mặt vuông.

^



^



b, Do (SAB) AD, suy ra AD SB. Tam giác SAB cân, AE là

^



^



trung tuyến vậy AE SB, từ đó suy ra SB (ADE). EF là

đường thẳng trung tuyến của (ADE) và (SBC) nên EF đi qua

giao điểm K của BC và AD.

^



c, Do DC (SAD), suy ra (SCD) chứa Dc phải vuông góc với

mặt phẳng (SAD).

^



^



d, Ta có AE AD, AD AD suy ra góc giữa (ADE) và (ABCD)

bằng góc



ˆ = 450

EAB

^



^



e, Vẽ FH //AE, AE AD =>FH AD.

0



0



ˆ = 90 , ABK

ˆ = 45 ,

KAB



Trong tam giác AKB có

suy ra ABK là

tam giác vuông cân: AB=AK=AS. Từu đó tam giác SKB đều

và các đường cao SC, KE của nó, đồng thời cũng là đường



trung tuyến của chúng bằng nhau và

theo định lý Talet:



KF 2

=

KE 3



KF FH 2

a 2

a 2

=

= ; AE =

⇒ FH =

KE AE 3

2

2

Dễ thấy

2



a

1

a 2

DK = DA = ; S AEK = . AK . AE =

;

2

2

4

2



S KDF



1

a 2

= .DK .HF =

2

12



. Vì FH//AE nên



S EFD = S AEK − S KDF =



a



2



2



6



.



CHƯƠNG II: CÁC DẠNG HÌNH HỘP

I, ĐỊNH NGHĨA:

- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành .

- Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.

- Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Ba độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh gọi là ba kích

thước của hình hộp chữ nhật.

- Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng

nhau.

II, TÍNH CHẤT:

- Hai mặt đối diện của hình hộp thì bằng nhau và nằm trong hai

mặt phẳng song song.

- Tất cả đường chéo của hình hộp chữ nhật đều bằng nhau và

2



cho bởi công thức



2



2



d =a +b +c



b, c là ba kích thước.



2



trong đó d là đường chéo a,



- Với hình lập phương cạnh a:

- Thể tích hình hộp:



V = S .h



d =a 3



(với S là diện tích đáy, h là chiều cao



hạ từ 1 đỉnh tới mặt đối diện)

- Thể tích hình hộp chữ nhật:

- Thể tích hình lập phương:



V = a.b.c



V =a



3



III, CÁC LOẠI HÌNH HỘP

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a và



điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho



2

CK = a

3



. Mặt phẳng



(α)



qua A,



K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa

diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó.

Giải

Chọn

Có



AK ⊂ ( AA ' C ' C )



( AA 'C 'C ) ∩ ( α ) = AK



Qua E vẽ



và



AK ∩ OO ' = E ⇒ E ∈ ( α )



IJ / / BD ( IJ ∈ DD', J ∈ BB ' ) ⇒ ( α )



là (AIKJ).



3



VABCD.A'B'C'D' = a.a.a = a .

2



2



2



2



2



OA + OB = AB ⇔ 2OA = AB ⇔ OA =

Có:



AB

2

=

a.

2

2



^



Do IJ//BD, BJ//ID, BB’ (ABCD) => BDIJ là hình chữ nhật.

⇒ BI = EO =

AKC).



KC 2.a a

=

=

2

3.2 3



(EO là đường trung bình của tam giác