Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (433 KB, 47 trang )
- Đường cao của tứ diện bằng
a
3
2
12
a 6
3
và thể tích bằng
.
R=
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
a 6
4
và bán kính
a 6
.
12
mặt cầu nội tiếp tứ diệ là
- Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với
nhau.
- Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất
kì là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa
hai cạnh ấy.
a 2
2
- Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kì bằng
- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều A.BCD cạnh a là hình lập
phương có cạnh bằng
a 2
.
2
3, Ví dụ
1, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a.
a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
b, Tính chiều cao, thể tích, bán kính hình cầu ngoại tiếp của
tứ diện ấy.
Giải
a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Ta có:
CD ^ AI
⇒ CD ^ AB
CD ^ BI
Tương tự cho các cặp cạnh đối còn lại.
b, Tính h,V, R
Vẽ AH
^
(BCD), H là trực tâm của tam giác BCD ta có:
2
2
2 a 3
2a
AH = AB − BH = a − .
.
÷ =
3
2
3
2
2
Vậy h =AH =
2
2
a 6
.
3
2
3
1
1 a 3 a 6 a 2
V = B.h = .
.
=
.
3
3 4
3
12
Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện A.BCD tâm O nằm
trên AH và đường trung trực của AB vẽ trong (ABH).
Tứ giác BHOJ nội tiếp, ta có
2
2
AB
a
a 6
AO. AH = AJ. AB ⇒ R = OA =
=
=
.
2. AH 2a 6
4
3
2, Cho tứ diện A.BCD đều cạnh a.
a, Gọi M là 1 điểm nằm trong tứ diện, x, y, z, t lần lượt là
khoảng cách từ M đến (BCD), (CAD), (DAB), (ABC). Chứng
minh x+y+z+t không đổi. Tính tổng số đó.
b, Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện A.BCD.
Giải
a, Nối M với 4 đỉnh của tứ diện. Tứ diện A.BCD bị chia thành 4
tứ diện nhỏ đỉnh M đáy là các mặt của tứ diện và độ dài các
đường cao chính là x, y, z, t.
Gọi h là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:
VMBCD + VMCDA + VMDAB + VMABC = V
⇔ S ABC .( x + y + z + t ) = S ABC .h ⇔ ( x + y + z + t ) = h
( x + y + z + t) =
Vậy
.
a 6
.
3
b, Tính r
Nếu M ở tại tâm hình cầu nội tiếp của tứ diện A.BCD.
( x + y + z + t) = r ⇒ r =
Thì ta có:
h
a 6
⇒r=
4
12
3, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a, chiều cao AH, I là trung điểm
của AH.
a, Chứng minh rằng I.BCD là 1 tam diện vuông.
b, Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện I.BCD.
Giải
a, Ta biết AH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
nên:
I ∈ AH ⇒ IB = IC = ID
∆ IBH
2
vuông tại H nên:
2
IB = BH + HI
Với
2
2 a 3 a 3
BH = .
=
3 2
3
và
a 6
a 6
⇒ HI =
3
6
AH =
2
Do đó:
2
Suy ra:
Vậy:
2
2
a 3 a 6
a
IB =
÷ +
÷ =
2
3 6
2
2
2
IC + ID = a = CD
2
IC ^ ID.
IB ^ ID IB ^ IC
Tương tự như vậy ta cũng có
r=
b, Ta có:
,
3VIBCD
STP
Trong đó:
2
VIBCD
STP
3
1
1 2
1 a a
a
= .IB.IC.ID = IB .ID = . .
=
6
6
6 2
2 12 2
: là diện tích toàn phần của tứ diện I.BCD.
2
STP = 3S ICD + S BCD
1 a a
a 3
= 3. .
.
+
2 2 2
4
=
(
)
3+ 3 a
4
2
.
Suy ra bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện I.BCD
3
r=
3a
:
12 12
(
)
3+ 3 a
4
2
=
(
a 3 2− 6
12
).
4, a,Cho ABC đều cạnh a. Một đường thẳng tuỳ ý qua tâm O
của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại M, N, P. Chứng minh:
1
OM
2
+
1
ON
2
1
+
OP
2
=
18
a
2
.
b, Cho tứ diện đều S.ABC. Qua đường cao SH của tứ diện ta
kẻ một mặt phẳng cắt các mặt bên theo những đường thẳng
tạo với mặt đáy của tứ diện các góc
2
2
α, β, γ
. Chứng minh:
2
tan α + tan β + tan γ = 12.
Giải
a, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Đặt
ˆ
ϕ = A ' OM
Aj
B'
C'
O
B
P
Ta có:
ˆ = 120 − ϕ
C'OP
ˆ = 60 − ϕ
B'ON
A'
C
Ta có: OA’=OB’=OC’=
1 a 3 a 3
.
=
3 2
6
Cho nên:
1
OM
2
+
1
ON
2
+
1
OP
2
2
2
2
2
= OA cos ϕ + cos (60 − ϕ ) + cos (120 − ϕ )
2
2
1
12 2
1
3
3
= 2 cos ϕ + cosϕ +
sinϕ ÷ + − cosϕ +
sinϕ ÷
2
2
2
2
a
=
12 2
1 2
3 2
co
s
ϕ
+
co
s
ϕ
+
sin ϕ
2
2
2
a
12 3 18
. = 2.
2 2
a
a
b, Mặt phẳng qua SH cắt các mặt (SBC), (SCA) và (SAB) theo
các giao tuyến lần lượt là SM, SN và SP. Ta có :
ˆ ; β = SNH
ˆ ; γ = SPH
ˆ .
α = SMH
Ta có:
2
2
2
tan α + tan β + tan γ =
SH
HM
2
2
2 1
1
1
= SH
+
+
÷.
2
2
2÷
HN
HP
HM
+
SH
HN
2
2
+
SH
HP
2
2
Ta có
2 2a
a 6
SH =
⇒ SH =
3
3
Theo câu a ta có
1
1
1 18
+
+
÷= 2
2
2
2÷
HN
HP a
HM
2
2a 18
tan α + tan β + tan γ =
. = 12.
3 a2
2
Cho nên
2
2
2
IV, Tứ diện gần đều
1, Khái niệm
Tứ diện gần đều là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau từng
đôi một. Do đó, bốn mặt của nó đều là các tam giác bằng nhau
và ngược lại. Tứ diện gần đều còn được gọi là tứ diện cân.
2,Tính chất
Một tứ diện gần đều có:
* Bốn mặt là các tam giác bằng nhau.
* Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
* Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện bằng 180.
* Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau
* Tất cả các mặt của tứ diện tương đương nhau.
* Bốn đường cao của tứ diện có độ dài bằng nhau.
* Tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau và trùng với
trọng tâm của tứ diện .
* Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
* Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ
diện bằng nhau.
* Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là
đường vuông góc chung của hai cạnh đó.
* Tứ diện có ba trục đối xứng.
* Tổng các côsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một
mặt của tứ diện bằng 1.
3, Ví dụ
1,
a, Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của AB, BC, và CA. Chứng tỏ O.MNP là một tứ
diện gần đều.
b, Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh ACB’D’
là một tứ diện gần đều.
Giải
a, Chứng minh O.MNP là tứ diện gần đều:
Thật vậy:
AB
OM
=
2
PN = AB
2