I. Phép thử và không gian các biến cố sơ cấp

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



những kết quả nhỏ hơn thì các kết quả nh vậy đợc gọi là các biến cố sơ cấp. Nói cách

khác một biến cố sơ cấp là một kết quả tối giản của phép thử.

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử G đợc gọi là không gian các biến

cố sơ cấp (không gian mẫu) với ký hiệu là .

Thí dụ 1. Nếu phép thử là tung một đồng xu thì = { S, N } trong đó: 1= S = kết

quả là sấp; 2 = N = kết quả là ngửa.

Thí dụ 2. Nếu phép thử là tung một hạt xúc sắc thì: ={1,2,3,4,5,6}

trong đó : i= i = đợc mặt i chấm (i= 1,6 )

Thí dụ 3. Nếu phép thử là tung cùng một lúc hai đồng xu thì :

={(S,S), (S,N), (N,S), (N,N)}

Thí dụ 4. Nếu phép thử là Tung cùng một lúc hai hạt xúc sắc thì:

={(x,y): x= 1,6 ;y= 1,6 }



Thí dụ 5. Nếu phép thử là "tung một đồng xu cho tới khi nào đợc mặt sấp thì dừng" thì:

= {S, NS, NNS, NNNS,...}



Thí dụ 6. Nếu phép thử là "đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia với



bán kính của bia là một đơn vị độ dài thì = [0,1[.

Nhận xét :

a. Số lợng các phần tử của trong các thí dụ 1, 2, 3, 4 là hữu hạn.

b. Số lợng các phần tử của trong thí dụ 5 là vô hạn nhng đếm đợc (tức là ta có thể

đánh số đợc 1 = S, 2 = NS, 3 = NNS,....).

Các tập hữu hạn hay vô hạn đếm đợc gọi là các tập hơp rời rạc.

c. Số lợng các phần tử của trong thí dụ 6 (số các điểm của đoạn [0,1[) là vô hạn

nhng đếm đợc. Trong trờng hợp này ta bảo có lực lợng continum.

II. - đại số các biến cố

1. Biến cố ngẫu nhiên



Một biến cố ngẫu nhiên A là một tập hợp con của



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



2



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Thí dụ 1: Gọi A là biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 khi tung hạt xúc sắc thì



A={3,6} .

Ghi chú

a. Kết quả nào của G mà làm cho A xảy ra thì kết quả đó đợc gọi là kết quả thuận lợi

cho A. Nh vậy biến cố A ở thí dụ vừa nêu có hai kết quả thuận lợi.



b. Mỗi biến cố sơ cấp cũng có thể coi là một biến cố ngẫu nhiên { } (gồm một phần

tử ).

c. đợc gọi là biến cố chắc chắn.

d. Tập hợp trống đợc gọi là biến cố không thể có.

Các khái niệm vừa nêu có thể minh họa trong hình sau

A

x x

x x

x







2. Mối quan hệ giữa các biến cố



Stone đã chứng minh đợc rằng: giữa các tập hợp và các biến cố có một sự đẳng cấu.

Vì vậy ta có thể dùng mối quan hệ giữa các tập hợp để mô tả mối quan hệ giữa các biến

cố. Cụ thể:

a. Nếu B A thì biến cố B gọi là kéo theo biến cố A. Nh vậy các phần tử của

thuộc B cũng sẽ thuộc A (Hình 1.1). Nói cách khác biến cố B xảy ra cũng làm cho biến cố

A xảy ra.



A

B x

x



x



x







Hình 1.1

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



3



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Thí dụ 2:



Gọi B là biến cố đợc mặt 3 chấm tức là B = {3}.

Khi đó B A = {3, 6} = biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3.

b. Nếu B A và A B thì A và B gọi là hai biến cố tơng đơng và đợc ký hiệu là

A=B.

Thí dụ 3: Giả sử mỗi chấm đợc 5 điểm nếu A là biến cố đợc mặt 6 chấm và B là biến



cố ngời tung đợc 30 điểm thì A = B.

c. Nếu B = \ A thì B gọi là biến cố đối lập của A. Nh vậy B sẽ xảy ra khi A không xảy

ra (Hình 1.2)



*



A

B







Hình 1.2

Thí dụ 4: Nếu A ={3, 6}= biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 thì B = \{3,



6}={1, 2, 4, 5} là biến cố đợc mặt có số chấm không chia hết cho 3.

Ghi chú: Biến cố đối lập của biến cố A thờng đợc ký hiệu là A .

d. Nếu C = A B thì C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra

khi ít nhất có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra (Hình 1.3)

ta cũng có thể ký hiệu C = A + B

A



B





Hình 1.3

Thí dụ 5: Nếu A={3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3



*



(*)Tất cả các thí dụ trong mục này sẽ đợc xét trong phép thử tung một hạt súc sắc khi đó



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



={1,2,3,4,5,6}



4



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn

thì C = A B ={2,3,4,6}= Biến cố đợc mặt chẵn hoặc bội 3 .

n



A i của n biến cố thành phần A i



Tơng tự biến cố tổng



(i= 1, n ) là biến cố sẽ xảy ra



i=1



khi ít nhất có một trong các biến cố Ai xảy ra.

e. Nếu C = A B thì C gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra

khi A và B đều xảy ra. (Hình 1.4)

Ta cũng có thể ký hiệu C = A.B

B





A

Hình 1.4



Thí dụ 6: Nếu A ={3,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3



B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn.

thì C = A B ={6}= Biến cố đợc mặt 6 chấm( vừa là chẵn vừa là bội của 3)

n



Tơng tự biến cố tích



A i của n biến cố thành phần A i là biến cố sẽ xảy ra khi tất cả

i =1



các biến cố A i đều xảy ra (i= 1, n )

f. Nếu A B = thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc. Nh vậy A và B sẽ không thể

cùng xảy ra trong phép thử (Hình 1.5)

B

A





Hình 1.5

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



5



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Thí dụ 7: Nếu A = {3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3



B ={1, 2}= Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2

thì A B = (không thể vừa đợc mặt có số chấm là bội của 3 vừa có số chấm nhỏ hơn

hoặc bằng 2).

Nhận xét 1: Hai biến cố A và B ở hình 1.4 là không xung khắc (phần giao không trống).

Nhận xét 2: Hai biến cố đối lập A và A sẽ thoả mãn cả hai hệ thức:

A A =





A A =





(1)

(2)



Nh vậy có thể nào cũng có một (hệ thức 1) và chỉ một (hệ thức 2) trong hai biến cố

này cùng xảy ra trong phép thử.

Ghi chú: Các biến cố A i (i = 1, n ) gọi là xung khắc từng đôi. Nếu bất kỳ cặp biến cố nào

trong chúng cũng là hai biến cố xung khắc.

g. Các biến cố A i (i= 1, n ) gọi là một hệ đầy đủ n biến cố (hoặc tạo nên một phân hoạch

của ) nếu :

n

A i =

(với i j )

i =1

A A =

j

i



Nh vậy thể nào cũng có một và chỉ một trong các biến cố A i (i= 1, n )

xảy ra trong phép thử (Hình 1.6).



An

A1

A2



.



Ai



.





Hình 1.6

Thí dụ 8:



Nếu A = {1, 2} = Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



6



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



B = {3} = Biến cố đợc mặt có số chấm là 3

C ={4, 5, 6} = Biến cố đợc mặt có số chấm tối thiểu là 4 thì A, B, C là một hệ

đầy đủ 3 biến cố.

Nhận xét: Hai biến cố đối lập A và A lập thành một hệ đầy đủ 2 biến cố.

Ghi chú: Vì giữa các tập hợp và các biến cố có sự đẳng cấu nên các tính chất của các phép

toán về tập hợp cũng đúng cho các phép toán về biến cố, chẳng hạn các phép toán hợp và

giao các biến cố có tính chất giao hoán và kết hợp.

Cụ thể ta có:

AB=BA



( A B ) C = A (B C)

A B= B A

( A B ) C = A (B C)

Vì thế với một số hữu hạn các biến cố sơ cấp A i (i= 1, n ) thì các biến

n



i =1



cố



n



i =1



A i , A i là hoàn toàn xác định.

Ngoài ra ta cũng có quy tắc đối ngẫu (quy tắc De Morgan) nh sau:

n

Ai =

i = 1



n

Ai =

i = 1



n



Ai



i =1

n



Ai



i =1



3. -Đại số các biến cố



Trong thực tế có nhiều trờng hợp chúng ta muốn thực hiện vô hạn lần các phép toán

về các biến cố và kết quả vẫn phải đợc một biến cố. Vì vậy đối với một họ A các biến

cố nào đó đợc xây dựng trên không gian ta sẽ giả thuyết nó thỏa mãn các yêu cầu sau

đây:

a.



A



b. Nếu A



A thì A A



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



7



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



c. Nếu A i (i = (1, ) là một dãy đếm đợc các biến cố thuộc A thì:





A



i







A



i =1



Họ A các biến cố nh vậy đợc gọi là một - đại số ( một trờng Borel) các biến cố.

Từ định nghĩa trên ta suy ra:

. A.



Vì A nên =



A.



. Nếu A A, B



Vì A A nên A



A thì A B A.



A; B A nên B A. Do đó A B A, tức là



AB



A.



Suy ra A B A . Vậy A B A.





. Điều kiện c) tơng đơng với điều kiện



A A . Điều này suy

i



i =1



rộng kết quả ở ).

Tóm lại một - đại số các biến cố sẽ đóng kín đối với một dãy hữu hạn hoặc đếm

đợc các phép tính tổng, tích hoặc lấy đối lập với các biến cố thuộc



A. Nói cách khác



nếu A là một - đại số các biến cố thì khi ta thực hiện một số hữu hạn hay đếm đợc các

phép toán vừa nêu đối với các biến cố thuộc A thì kết quả lại đợc một biến cố thuộc A.

Cặp ( , A ) đợc gọi là một không gian đo. Nó dùng để mô hình hoá một phép thử ngẫu

nhiên cùng với các sự kiện mà ta muốn xét gắn với phép thử ấy.

Thí dụ 9: Nếu ={ 1 , 2 ,..., n } và ta xét - đại số A là tập hợp tất cả các tập con của

(kể cả và ) thì đây là - đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ và gồm 2 n



phần tử.



III. Định nghĩa tiên đề về xác suất



Nh ta đã nêu ở phần mở đầu chơng, mỗi biến cố ngẫu nhiên A có một khả năng

xuất hiện khách quan. Vì thế trong lý thuyết xác suất ngời ta lợng hoá khả năng xuất

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



8



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



hiện khách quan của một biến cố A bằng một con số. Con số này gọi là xác suất của A và

đợc ký hiệu là P(A). Đối với P(A) có nhiều cách định nghĩa khác nhau trong đó cách

định nghĩa theo tiên đề là có tính tổng quát nhất và chặt chẽ nhất về mặt lô-gic.



1. Định nghĩa tiên đề về xác suất



Xác suất (hoặc độ đo xác suất) P xác định trên - đại số các biến cố



A của không



gian đo ( , A) là một hàm thực ánh xạ A vào R và thoả mãn các tiên đề sau đây:



A .



(P1).



P(A) 0 với mọi A



(P2).



P( ) = 1.



(P3).



Nếu dãy {A i } (i= 1, ) thỏa mãn điều kiện A i A j = với mọi i j thì





P( A i ) = P (A i ) .





i =1



i =1



Tiên đề (P3) còn gọi là tính chất - cộng tính của độ đo xác suất P. Bộ ba ( , A, P)

đợc gọi là một không gian xác suất.

Ghi chú 1: Từ tính chất - cộng tính ta có thể suy ra tính chất hữu hạn cộng tính của độ

n



n



i =1



i =1



đo xác suất P, tức là P( A i ) = P(A i ) với A i A j = (i j).

(xem tính chất 2 ở mục sau ).

Ghi chú 2: Hệ tiên đề nêu trên đã đợc Can-mô-gô-rốp đa ra vào năm 1933. Ta thấy hệ

tiên đề này không mâu thuẫn, có nghĩa là ta có thể xây dựng những mô hình thoả mãn

tiên đề đó.

Chẳng hạn giả sử xét là một tập hợp hữu hạn các phần tử i (i = 1, n )

và A là hệ tất cả các tập hợp con của (kể cả và ). Nh đã nêu, A gồm 2 n phần tử.

p i 0

(i= 1, n )

Ta đặt pi = P( i ) sao cho: n



p i = 1

i =1



Khi đó:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



9