III. Định nghĩa tiên đề về xác suất

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



hiện khách quan của một biến cố A bằng một con số. Con số này gọi là xác suất của A và

đợc ký hiệu là P(A). Đối với P(A) có nhiều cách định nghĩa khác nhau trong đó cách

định nghĩa theo tiên đề là có tính tổng quát nhất và chặt chẽ nhất về mặt lô-gic.



1. Định nghĩa tiên đề về xác suất



Xác suất (hoặc độ đo xác suất) P xác định trên - đại số các biến cố



A của không



gian đo ( , A) là một hàm thực ánh xạ A vào R và thoả mãn các tiên đề sau đây:



A .



(P1).



P(A) 0 với mọi A



(P2).



P( ) = 1.



(P3).



Nếu dãy {A i } (i= 1, ) thỏa mãn điều kiện A i A j = với mọi i j thì





P( A i ) = P (A i ) .





i =1



i =1



Tiên đề (P3) còn gọi là tính chất - cộng tính của độ đo xác suất P. Bộ ba ( , A, P)

đợc gọi là một không gian xác suất.

Ghi chú 1: Từ tính chất - cộng tính ta có thể suy ra tính chất hữu hạn cộng tính của độ

n



n



i =1



i =1



đo xác suất P, tức là P( A i ) = P(A i ) với A i A j = (i j).

(xem tính chất 2 ở mục sau ).

Ghi chú 2: Hệ tiên đề nêu trên đã đợc Can-mô-gô-rốp đa ra vào năm 1933. Ta thấy hệ

tiên đề này không mâu thuẫn, có nghĩa là ta có thể xây dựng những mô hình thoả mãn

tiên đề đó.

Chẳng hạn giả sử xét là một tập hợp hữu hạn các phần tử i (i = 1, n )

và A là hệ tất cả các tập hợp con của (kể cả và ). Nh đã nêu, A gồm 2 n phần tử.

p i 0

(i= 1, n )

Ta đặt pi = P( i ) sao cho: n



p i = 1

i =1



Khi đó:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



9



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

m



a. Nếu A = { i1 , i2 , ..., i m } thì P(A) = p i 0.

k =1



k



n



b. P( ) =



p

i =1



i



=1.



c. Nếu A = { i1 , i2 ,..., i m }

B = { j1 , j2 ,... js }

Trong đó:



i k jl với mọi k l thì AB =

và AB = { i1 , i2 ,..., i m , j1 , j2 ,... js }

P(AB) = P{ i1 , i2 ,..., i m , j1 , j2 ,... js }

m



= p i + p jl = P(A) + P(B)

k =1



n



k



l =1



Nh vậy các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đợc thoả mãn.

Ghi chú 3: Hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không đầy đủ, tức là với cùng một tập hợp ta có

thể xác định xác suất P trên tập hợp A theo những cách khác nhau.

Chẳng hạn nếu ta tung hạt xúc sắc thì ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Nếu hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất thì:

P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) = P( 4 ) = P( 5 ) = P( 6 ) =



1

6



Nhng nếu hạt xúc sắc không đồng chất và không cân đối thì các xác suất P phải xác

định khác đi, chẳng hạn ta có thể đặt:

P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) =



1

;

4



P( 4 ) = P( 5 ) = P( 6 ) =



1

.

12



Nh vậy tính không đầy đủ của hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không phải là một nhợc

điểm, mà trái lại nó là một u điểm vì nó cho phép ta tuỳ theo điều kiện cụ thể của vấn đề

đang xét mà xác định xác suất thích hợp cho các biến cố thuộc - đại số A.

2. Một số tính chất của xác suất suy ra từ định nghĩa tiên đề

Tính chất 1:



P( ) = 0.



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



10



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Chứng minh:



Xét dãy biến cố {A i } (i = 1, 2,...) sao cho A i = với mọi i. Khi đó A i A j = với i j





và



A



i



= .



i =1







Vậy theo tiên đề (P3) ta có: P() = P( A i ) =

i =1







P(A ) =

i =1

n



i



i =1



P()



Rõ ràng chỉ có một số thực thoả mãn đẳng thức này đó là số 0.

n



P( A i )= P ( A i ) với A i A j = (ij)

n



Tính chất 2:



i =1



i=1



Chứng minh:



Xét dãy các biến cố {A i } (i=1, 2, ..., n, ...) sao cho A i A j = (với i j ) và A i =





khi i > n. Khi đó



Ai =

i =1



n



Ai .

i =1



Theo tiên đề (P3) ta có:

n











n



i =1



i =1



i =1



i =1



P( A i ) = P( A i ) = P(A i ) = P(A i ) +

n



=



P(A i ) + 0 =

i =1



Tính chất 3:







P(A )



i = n +1



i



n



P(A ) .

i =1



i



P(A) + P( A ) = 1.



Chứng minh:



Nh đã nêu, A và A thoả mãn hai hệ thức:

A A =





A A =





(1)

(2 )



Từ (1) ta có P( A A ) = P( ) = 1

Từ (2) ta có P(A A ) = P(A) + P( A )

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



11



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Tính chất 4: 0 P(A) 1.

Chứng minh:



Theo tiên đề (P1) ta đã có P(A)



0



Mặt khác theo tính chất 3 thì P(A) = 1- P( A )

Mà P( A ) 0 theo tiên đề (P1) nên P(A) 1.

Tính chất 5: Nếu B A thì P(B) P(A) và P(A\B) = P(A) - P(B).

Chứng minh:



Vì B A nên A = B (A\B). Do B (A\B) = nên P(A) = P(B) + P(A\B) (*).

Do P(A\B) 0 nên P(A) P(B).

Kết quả thứ hai đợc suy ra từ hệ thức (*).

Tính chất 6: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).

Chứng minh:



Ta có thể phân tích (xem hình 1.7)

A B =A B AB A B



A

AB



B

AB

AB





Hình 1.7

Nh vậy ta đã phân tích tổng của hai biến cố không xung khắc thành tổng của ba biến cố

xung khắc từng đôi. Từ đó theo tiên đề (P3) ta có:

P(A B) = P(A B ) + P(AB) + P( A B)



(1)



Mặt khác:

Do A = A B +AB nên P(A) = P(A B ) + P(AB)

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



12



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



suy ra P(A B ) = P(A) - P(AB)



(2)



Do B = A B + AB nên P(B) = P(A B ) + P(AB)

suy ra P( A B) = P(B) - P(AB)



(3)



Thay vào (2) và (3) vào (1) ta đợc

P(A B) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(AB)

= P(A) + P(B) - P(AB)

Ghi chú: Mở rộng tính chất này ta có:

n



n



n



i =1



i =1



i< j



P( A i )= P(A i ) - P(A i A j ) +



n



P(A A A



i< j< k



i



j



k



) - ... +



+(-1)n-1 P(A 1 A 2 ...A n ).

Chứng minh:

2



Theo tính chất 6 ta có P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 A 2 )

i=1



Giả sử

n 1



n 1



n 1



i =1



i =1



i =1



P( A i ) = P(A i ) - P(A i A j ) +...+(-1)n-2 P(A 1 A 2 ..An-1)

Khi đó:

n



n 1



i=1



i =1



Ai = (Ai ) A n

n



n 1



n 1



i =1



i =1



i =1



P( A i ) = P( A i ) + P(A n ) - P(A n A i )

n -1



n 1



i =1



i =1



= P( A i ) + P(A n ) - P( A i A n )

áp dụng giả thiết quy nạp cho thành phần thứ nhất và thứ ba ở bên vế phải rồi ghép



các tổng lại với nhau ta sẽ đợc kết quả phải chứng minh.

Tính chất 7:





P( A n )

n =1







P( A )

n =1



n



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



13



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Chứng minh:



Thật vậy, nếu đặt B 1 = A 1

B2 = A1 A2

...............

B n = A 1 A 2 ... A n-1 A n

...............

thì ta có:

Bn An



(n 2)

(i j)



Bi B j=





An =

n =1







B



n



.



n =1



Do đó:













n =1



n =1



n =1



P( A n ) = P( B n ) = P( Bn )







P( A )

n



n =1



( Vì B n A n nên P(B n ) P(A n )).

Tính chất 8: Nếu P là một độ đo xác suất xác định trên - đại số A của không gian đo



( , A) thì các điều khẳng định sau đây là tơng đơng:

a. P có tính chất - cộng tính.

b. P liên tục trên, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu tăng





A 1 A 2 .... A n ... thuộc A sao cho lim A n = A n

n



A



thì



n =1







lim P (A n ) = P( A n ).

n



n =1



c. P liên tục dới, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu giảm A 1 A 2 A n ...

thuộc A sao cho lim A n =

n







A



n







A thì



n =1



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



14



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut





lim P (A n ) = P( A n ).

n



n =1



d. P liên tục tại không tức là với bất kỳ dãy đơn điệu giảm

A 1 A 2 ... A n ... thuộc A sao cho







A



n



= thì



n =1



lim P (A n ) =0.

n



Ghi chú: Tính chất d) này còn gọi là tiên đề liên tục.

Chứng minh:



a) => b)

Vì A 1 A 2 .... A n ... nên ta có thể viết:





A



n



n =1



= A 1 + (A 2 \A 1 ) + (A 3 \ A 2 ) + ...



Do các biến cố bên vế phải xung khắc từng đôi nên theo a) ta có:





P( A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 \A 1 ) + P(A 3 \ A 2 ) + ...

n =1







Do



An







A và trên A



n =1



đã xác định độ đo xác suất P nên P( A n ) tồn tại.

n =1



Vì thế chuỗi bên vế phải của đẳng thức trên phải hội tụ.

Do đó ta có:

P( A n ) = lim (P ( A 1 ) + P ( A 2 \ A 1 ) + ...... + P (A n \ A n 1 )) = lim P (A n )

n

n





n =1



Tóm lại P( lim A n ) = lim P (A n ) .

n

n

b) => c)

Vì {A n } là dãy đơn điệu giảm nên nếu ta đặt A 'n = A 1 \A n thì {A 'n } sẽ là một dãy đơn

điệu tăng. Vậy theo b) thì:





'

n



'

n



lim P (A ) = P( lim A ) = P(

n

n



A

n =1



'

n



)







Tức là



lim P(A 1 \ A n ) = P[ (A 1 \ A n ) ]

n

n =1



Mặt khác do A 1 An nên ta có thể viết

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



15



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



A n = A 1 \(A 1 \A n )

Do đó P(A n ) = P(A 1 ) - P(A 1 \A n )



lim P (A n ) = P(A 1 ) - lim P (A n \ A n )

n



n







= P(A 1 ) - P[ (A 1 \ A n ) ]

n =1











n =1



n =1



(A1 \ A n ) = A 1 \ A n



Cũng do A 1 A 2 ... A n ..... nên





Vậy : lim P (A n ) = P(A 1 ) - P[A 1 \ A n ]

n

n =1











n =1



n =1



= P(A 1 ) - [ p(A 1 ) - P( A n )] = P( A n ).

Tức là P( lim A n ) = lim P (A n ) .

n

n

c) => d)

Mệnh đề này là hiển nhiên, do các kết quả trên ta có:





lim P (A n ) = P( lim A n ) = P( A n ) = P( ) = 0

n



n



n =1



d) => a)

Trớc hết ta có thể viết

n







Ai = Ai +

i =1



i =1







A



i



i = n +1



Do giả thiết các biến cố là xung khắc từng đôi và vế phải coi nh chỉ gồm hai biến cố

(trờng hợp hữu hạn) nên:

n







P( A i ) = P( A i ) + P(

i =1



i=1







Nếu đặt B n =







i =1



A



i



)



i = n +1



n



i =n







i =1



A i thì P( A i ) = P( A i ) + P(B n +1 ).



Ta thấy B n B n +1 B n +2 ....



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



16



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Mặt khác nếu B n xảy ra thì một trong các biến cố Ai xảy ra (i n), do đó các biến cố

A i+1 , A i+2 ,... sẽ không xảy ra vì các biến cố của dãy {A i } (i= 1, )

Theo giả thiết là xung khắc từng đôi. Từ đó các biến cố B i+1 , B i+2 ,...sẽ là không thể





có, vì thế



B



i



= .



i =n







Do



Ai

i =1







A nên P( A



i



) tồn tại.



i =1



Vậy ta có thể viết





P( A i ) =

i =1







lim P( A

n



i



)+



i =1



lim P(B n +1 )

n



n



=



lim P(A ) + 0

n



i =1



i







=



P(A ) .

i =1



i



3. Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn



Xác suất P(A) nhằm nêu lên khả năng xảy ra của A chứ không khẳng định về hiện

thực của biến cố đó. Tuy nhiên biết đợc khả năng xảy ra của A ta có thể nhận định đợc

tình hình xảy ra của A một cách hợp lý. Cụ thể qua thực nghiệm và quan sát thực tế ngời

ta rút ra nguyên lý xác suất nhỏ sau đây:

Một biến cố có xác suất nhỏ thì thực tế ta có thể coi nó là không thể xảy ra trong một

phép thử.

Tuy nhiên với mức xác suất nhỏ là bao nhiêu thì biến cố sẽ đợc coi là hầu nh không

thể có? Điều này sẽ do từng trờng hợp cụ thể quyết định. Về vấn đề này tác giả Guy

Lefort cũng có ý kiến nh sau: Trong thực hành phải coi sự kiện rất ít khả năng xảy ra

là một sự kiện thực tế không thể xảy ra (nếu không thì chúng ta không bao giờ dám qua

đờng vì thực tế có một xác suất, tuy rất nhỏ, nhng không phải là số 0, để chúng ta bị xe

cán). Nhng một sự kiện rất ít khả năng xảy ra không phải là không thể xảy ra và những

quyết định của chúng ta khi áp dụng quy tắc trên có thể mắc những sai lầm mà chúng ta

cần lu ý.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



17



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Sai lầm mà Guy Lefort nói tới tất nhiên tuỳ thuộc vào việc chúng ta quy định mức xác

suất nhỏ (lớn) là bao nhiêu thì một biến cố trong thực tế sẽ đợc coi là không thể có (chắc

chắn). Nh vừa nêu trên, điều này là tuỳ thuộc từng hoàn cảnh cụ thể.



IV. một số định nghĩa sơ khai về xác suất



Định nghĩa tiên đề là định nghĩa chặt chẽ nhất về mặt lô-gíc. Tuy nhiên trớc khi Canmô-gô-rốp đa ra định nghĩa này thì cũng đã có những định nghĩa sơ khai về xác suất mà

giờ đây ta có thể coi chúng là những trờng hợp riêng của định nghĩa tiên đề. Mặc dù các

định nghĩa sơ khai này có những nhợc điểm nhất định, nhng trong những trờng hợp

thích hợp chúng vẫn phát huy đợc tác dụng của mình.

1. Định nghĩa cổ điển về xác suất



Giả sử đối với phép thử G ta có:

={ 1 , 2 ,..., n }



Với i (i= 1, n ) có khả năng xảy ra nh nhau.

Ta lập -đại số các biến cố A là tập hợp tất cả các tập con của (kể cả và ). Đây là

- đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ .



Do các i (i= 1, n ) là đồng khả năng nên ta xác lập độ đo xác suất P sao cho

P( 1 ) = P( 2 ) = ... = P( n ) =

Khi đó với A = { i1 , i 2 ,... i m )



1

n



A



P(A) = P( i1 ) + P( i 2 ) + ... + P( i m )

=



1 1

1 m

+ + ... + =

n n

n

n



ở đây m chính là số kết cục của G thuận lợi cho A xảy ra. Từ đó ta có định nghĩa xác suất



theo quan điểm cổ điển nh sau:

Định nghĩa:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



18



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



P(A) =



Số cá c kết cục thuận lợi cho A x ả y ra

m

=

n

Số kết cục đ ồng kh ả n ă ng của phép thử



Rõ ràng định nghĩa này có nhợc điểm là không chặt chẽ về mặt lô-gích khi dựa vào

tính đồng khả năng để định nghĩa xác suất (là con số xác định khả năng xảy ra của biến

cố). Tuy nhiên đối với những hiện tợng có tính chất đối xứng và số kết cục của phép thử

là hữu hạn thì định nghĩa này vẫn phát huy đợc tác dụng.

Thí dụ 1: Tính xác suất để trong k ngời không quen biết nhau (2 k 365) sẽ có ít nhất 2



ngời có ngày sinh nhật trùng nhau biết rằng họ đều không sinh vào những năm nhuận.

Bài giải

Với giả thiết là bất kỳ một ngày nào đó trong 365 ngày của năm đều có thể là ngày

sinh của mỗi ngời thì số kết cục đồng khả năng của phép thử (số ngày sinh nhật có thể

của k ngời) sẽ là

n = 365 x 365 x...x365=365 k

Gọi A là biến cố tất cả các ngày sinh của k ngời là khác nhau thì số kết cục thuận lợi

cho A là

m = 365(365-1) ... [365 - (k-1)]

k

= A 365 =



Vậy P(A) =



k

A 365



(365) k



=



(365)!

(365 - k )!



(365)!

(365 - k )!(365) k



Từ đó xác suất phải tìm là : P( A ) = 1- P(A) = 1-



(365)!

(365 k )!(365) k



2. Định nghĩa thống kê về xác suất



Định nghĩa này dựa vào tần suất của biến cố. Cụ thể nếu phép thử G đợc lặp lại K

lần mà biến cố A xuất hiện k lần thì tần suất của A là

f(A) =



k

K



Béc-nu-ly đã chứng minh rằng với mọi số > 0 nhỏ tùy ý ta đều có:



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



19