IV. một số định nghĩa sơ khai về xác suất

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



P(A) =



Số cá c kết cục thuận lợi cho A x ả y ra

m

=

n

Số kết cục đ ồng kh ả n ă ng của phép thử



Rõ ràng định nghĩa này có nhợc điểm là không chặt chẽ về mặt lô-gích khi dựa vào

tính đồng khả năng để định nghĩa xác suất (là con số xác định khả năng xảy ra của biến

cố). Tuy nhiên đối với những hiện tợng có tính chất đối xứng và số kết cục của phép thử

là hữu hạn thì định nghĩa này vẫn phát huy đợc tác dụng.

Thí dụ 1: Tính xác suất để trong k ngời không quen biết nhau (2 k 365) sẽ có ít nhất 2



ngời có ngày sinh nhật trùng nhau biết rằng họ đều không sinh vào những năm nhuận.

Bài giải

Với giả thiết là bất kỳ một ngày nào đó trong 365 ngày của năm đều có thể là ngày

sinh của mỗi ngời thì số kết cục đồng khả năng của phép thử (số ngày sinh nhật có thể

của k ngời) sẽ là

n = 365 x 365 x...x365=365 k

Gọi A là biến cố tất cả các ngày sinh của k ngời là khác nhau thì số kết cục thuận lợi

cho A là

m = 365(365-1) ... [365 - (k-1)]

k

= A 365 =



Vậy P(A) =



k

A 365



(365) k



=



(365)!

(365 - k )!



(365)!

(365 - k )!(365) k



Từ đó xác suất phải tìm là : P( A ) = 1- P(A) = 1-



(365)!

(365 k )!(365) k



2. Định nghĩa thống kê về xác suất



Định nghĩa này dựa vào tần suất của biến cố. Cụ thể nếu phép thử G đợc lặp lại K

lần mà biến cố A xuất hiện k lần thì tần suất của A là

f(A) =



k

K



Béc-nu-ly đã chứng minh rằng với mọi số > 0 nhỏ tùy ý ta đều có:



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



19



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



lim



P ( f (A ) P (A ) < ) = 1



K



Điều này có nghĩa là khi K tăng vô hạn thì hầu nh chắc chắn f(A) sẽ nhận giá trị rất gần

với P(A). Vì thế nếu K khá lớn thì ta có thể coi

f(A) P(A)

Nh vậy cách xác định xác suất theo quan điểm thống kê này mang tính chất thực

nghiệm. Mặt khác muốn xác định P(A) một cách tơng đối chính xác ta phải lặp lại một

số lớn lần phép thử. Điều này đòi hỏi nhiều công sức và đôi khi không thực hiện đợc,

chẳng hạn nh khi phép thử đòi phải phá huỷ các đơn vị đợc điều tra (thí dụ nh khi ta

muốn xác định tỷ lệ p các hộp hỏng của một kho đồ hộp).

Sau đây là một thí dụ về cách xác định xác suất thông qua tần suất.

Để xác định xác suất sinh con gái, ta có thể căn cứ vào số liệu thống kê của Thụy Điển

vào năm 1935 mà nhà toán học H. Cramer đã cung cấp nh sau:

Tháng

Tổng số

sinh

Số con trai



Số con gái

Tần suất

sinh con gái



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



Cả năm



7280



6957



7883



7884



7892



7609



7585



7393



7203



6903



6552



7132



88.273



3743



3550



4017



4173



4117



3944



3964



3797



3712



3512



3392



3761



45.682



3537



3407



3866



3711



3775



3665



3621



3596



3491



3391



3160



3371



42.591



0,486



0,489



0,490



0,471



0,478



0,482



0,462



0,484



0,485



0,491



0,482



0,473



0,4825



Ta thấy tần suất sinh con gái dao động quanh giá trị 0,482. Vậy nếu gọi A là biến cố

sinh con gái thì ta có thể coi P(A) 0,482.

Tất nhiên, đối với hiện tợng này, chúng ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển

đợc vì việc sinh con trai và con gái không phải là hai trờng hợp đồng khả năng. Nói

cách khác, xác suất để một bà mẹ sinh con gái không thể là



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



1

.

2



20



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Để thấy rõ điều này, chúng ta tham khảo thêm một số kết quả nghiên cứu của các nhà

toán học khác. Chẳng hạn, nghiên cứu tình hình sinh đẻ ở Pháp, Darmois đã thu đợc các

số liệu sau :

Năm



1806



1816



1836



1856



1913



1920



1928



Tần suất sinh gái



0,485



0,484



0,485



0,487



0,488



0,489



0,489



Rõ ràng không có tần suất nào đạt tới giá trị 0,5 cả.

Thống kê tình hình sinh đẻ ở các thành phố Luân-đôn, Pê-téc-bua và Béc-lin trong suốt 10

năm, Laplace cũng đã thấy tần suất các cháu gái ra đời là



21

.

43



Theo thống kê dân số của tỉnh Bu-e-nốt-ai-rét, một tỉnh gồm ngời Tây-ban-nha,

ngời ý và ngời ác-hen-tin-na thì trong khoảng từ 1896 tới 1905, tần suất của cháu gái

ra đời trong các năm đều nằm trong khoảng từ 0,497 tới 0,484.

Rõ ràng các kết quả thu đợc đều phù hợp với nhau.



3. Định nghĩa hình học về xác suất



Nếu nh tập hợp các biến cố sơ cấp là một tập hợp trong không gian Ơ-clit và có

độ đo hình học hữu hạn (chiều dài, diện tích, thể tích) thì với A

ta có:

P(A) =



Đ ộ đ o của miền A mes(A)

=

Đ ộ đ o của miền mes()



Cách xác định xác suất nh vừa nêu gọi là cách xác định xác suất theo quan điểm hình

học.

Thí dụ 2: Giả sử phép thử G là lấy ngẫu nhiên một điểm trong đoạn [0, 1[.



Nh vậy là tập hợp các điểm của [0,1[, còn - đại số các biến cố A là tập hợp các đoạn

[a, b[ [0, 1[. Khi đó A = [a, b[ là biến cố điểm đợc lấy rơi vào đoạn [a,b[.

Ta xác định độ đo xác suất P trên không gian đo ( , A) này nh sau:

P(A)=P([a,b[)=b-a

Khi đó tất cả các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đều đợc thoả mãn.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



21



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Thật vậy:

(P1): P(A) 0 Vì b - a chính là độ dài của [a,b[.

(P2): P( )=1 vì P( ) = P([0,1[) = 1.

(P3): Với các đoạn [a i ,b i [ không giao nhau sao cho

n



n



n



n



i =1



i =1



i =1



i =1



[a i , b i [ [0,1[ thì P( [a i , b i [ )= (bi ai) = P([ai , bi [)



Ghi chú Nếu b trùng với a thì biến cố A=[a,b[ sẽ là biến cố lấy đợc điểm cách 0 một

đoạn đúng bằng a. Khi đó P(A) = a a = 0, nhng A không hẳn là biến cố không thể có.

Tuy nhiên trong thực tế điều này rất hiếm xảy ra trong một phép thử (xem nguyên lý xác

suất nhỏ).

Thí dụ sau đây cho thấy phần nào tác dụng của cách xác định xác suất theo quan điểm

hình học.

Thí dụ 3: (Bài toán Buffon)



Kẻ trên mặt phẳng các đờng thẳng song song và cách đều nhau một khoảng có độ dài

là 2a. Tung ngẫu nhiên một chiếc kim có độ dài 2l (l < a) lên mặt phẳng. Tính xác suất để

chiếc kim cắt một đờng thẳng nào đó.

Bài giải

Trớc tiên ta hiểu tính chất: ngẫu nhiên của phép thử ở đây là

a. Tâm của chiếc kim sẽ rơi một cách ngẫu nhiên vào các điểm của các đoạn thẳng có

độ dài 2a và vuông góc với các đoạn thẳng đã vẽ.

b. Xác suất để góc tạo bởi chiếc kim và các đờng thẳng đã vẽ nằm trong khoảng

( 1, 1+ ) sẽ tỷ lệ với .

c. Nếu gọi x là khoảng cách từ tâm chiếc kim tới đờng song song gần nhất thì x và

độc lập với nhau.

Ta thấy x và xác định đợc hoàn toàn vị trí của kim. Vì vậy các vị trí này sẽ là các

điểm của hình chữ nhật có cạnh là a và , còn điều kiện cần và đủ để chiếc kim cắt một

đờng song song là



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



22



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

0 x lsin



Đây là tập hợp các điểm nằm trong miền có gạch trong hình 1.8

x

x







a

x=lsin



2l

2a







0

Hình 1.8



Nếu gọi A là biến cố kim sẽ cắt một đờng thẳng thì theo cách xác định bằng hình học

ta có :







diện tích miền gạ ch

P(A)=

=0

a

diện tích h ì nh ch ữ nhật

=-





l cos 0



a



=



l sin d



2l

a.



Ghi chú: Nếu ký hiệu P(A) là p thì từ kết quả này ta suy ra: =



2l

a.p



Với l và a xác định khi tung n lần (với điều kiện n khá lớn) mà có m lần kim cắt đờng

thẳng thì theo định nghĩa thống kê về xác suất ta có thể lấy p





m

và do đó:

n



2 ln

am



Từ đó ta có thể xác định giá trị xấp xỉ của bằng thực nghiệm. Chẳng hạn năm 1850

Wolf đã tung 5000 lần và tính đợc = 3.1596; còn vào năm 1855 Smith tung 3204 lần

và tính đợc = 3.1553.

Qua bài toán trên ta thấy trong những trờng hợp nhất định, định nghĩa hình học cũng

có thể phát huy đợc tác dụng của mình



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



23



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



B. X ác suất có điều kiện

I. Định nghĩa v các tính chất

1. Định nghĩa



Cho một không gian xác suất ( , A, P) và một biến cố A nào đó thuộc A với P(A) >

0. Khi đó xác suất có điều kiện của một biến cố B A tính trong điều kiện biến cố A

xảy ra đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau:

P(B/A) = P A (B) =



P(A B )

.

P (A)



Nh vậy ta đã xác định một độ đo xác suất mới mà ta có thể ký hiệu là P( /A). Độ đo

xác suất này đợc xác định trên không gian đo ( A ; A A) trong đó:



A A = {B A;



B



A}



Nói cách khác, từ không gian xác suất ( , A, P) ta đã chuyển sang không gian xác suất

( A ;



A A; P(







/A)) trong đó P( /A) đợc định nghĩa nh là tỷ số của hai xác suất



không điều kiện.

Thí dụ 1: Xét phép thử Tung hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất và gọi A là biến cố



Đợc mặt có số chấm lớn hơn 3. Khi đó ta có:

= { 1 , 2 , 3 4 , 5 , 6 }



A = { 4 , 5 , 6 }

Trong đó i là biến cố Đợc mặt i chấm (i= 1,6 )

Gọi B là biến cố Đợc mặt có số chẵn chấm. Khi đó:

B = { 2 , 4 , 6 }

Ta hãy xác định P(B/A). Nếu nh A xảy ra thì giờ đây thu hẹp thành

A = A = { 4 , 5 , 6 }



Ta thấy trong không gian này có hai trờng hợp thuận lợi cho B xảy ra là 4 và 6 , vì

vậy P(B/A) =



2

3



Mặt khác ta thấy:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



24



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



P(A) = P{ 4 , 5 , 6 }=



3

6



P(AB) = P{ 4 , 6 } =



2

6



Từ đó ta có thể nghiệm lại rằng:

P(B/A) =



P(A B )

P (A)



Nhận xét: Độ đo xác suất mới P( /A) cũng thoả mãn các tiên đề của Can-mô-gô-rốp, cụ

thể :

(P1) P(B/A) =



p( A B )

0 vì P(AB) 0 và P(A) >0.

p( A )

P ( A)

P(A)

=

= 1.

P(A)

P(A)



(P2) P(/A) =











i =1







P[( Bi ) A]

P( A)



(P3) P( Bi /A) =



P[ Bi A]



i =1



=



i =1



p( A)







P( B A)

=



i =1



i



p( A)







=

i =1



P ( Bi A)

=

P( A)







P( B

i =1



i



/ A)



Trong đó B i B j = với mọi i j.

2. Các tính chất



Vì P(*/A) cũng là một độ đo xác suất nên nó cũng có các tính chất tơng tự nh độ đo

xác suất P xác định trên (( , A). Chẳng hạn ta xét một vài tính chất sau:

Tính chất 1:



0 P(B/A) 1 với mọi B



Chứng minh:



Vế trái của bất đẳng thức đã đợc nêu ở phần nhận xét trên.

Sở dĩ có vế phải vì AB A nên P(AB) p(A), do đó

P(B/A) =



P(A B )

1.

P(A)



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



25