III. Tính độc lập của các phép thử

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



= { = ( (1) (2 ) ,...,

J

J

1



trong đó



(i)

ji



2



(i)

,..., ( n ) )}

ji

jn



là các phần tử của không gian biến cố sơ cấp i (i= 1, n ; j( i ) = 1, m i ).

i



2. Các phép thử độc lập



Các phép thử Gi nêu trên (i= 1, n ) đợc gọi là độc lập nếu xác suất của các biến cố sơ cấp

của không gian ứng với phép thử hợp G đợc xác định nh sau:

P { = ( (J1) (J2) ,...,

1



2



(i )

ji



,...,



(n)

jn



(1)



(2)



(n)



)} = p j .p j ....p j

1

2

n



Khi đó ta có thể nghiệm lại rằng:

a. Xác suất trên toàn bộ không gian các biến cố sơ cấp của phép thử hợp G bằng

đơn vị.

b. Nếu các Ai là các biến cố nào đó thuộc - đại số các biến cố ứng với phép thử Gi (i

= 1, n ) thì:



P(A1A2An) = P(A1).P(A2)P(An)



Để minh họa ta xét trờng hợp n = 2. Giả sử Gi là phép thử với không gian các biến cố sơ

cấp là



{



i

1= i1 , 2,....,



} ( i = 1, 2)



i

mi ,



và với các xác suất tơng ứng là

P ( (j i )) = p (j i ) với i = 1, 2 và j = 1, 2, .... , mi.



Ta gọi G là phép thử hợp của Gi ( i = 1, 2) khi đó không gian các biên cố sơ cấp của G sẽ

là



{



=



Nếu nh: P{ (k1),



( 2)

r



} = Pk(1) .Pr( 2



(1 )

(2)

k , r



k = 1, m 1



}



k = 1, m 1

r = 1, m 2



thì G1 và G2 độc lập.



r = 1, m 2



Từ đó ta thấy:

m1





k =1



m2



P (

r =1



(1)

k



,



( 2)

r



m1



)=

k =1



m2



m1



m2



r =1



k =1



r =1



Pk(1) .Pr( 2) = Pk(1) . Pr( 2) = 1.1 = 1 .



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



41



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Mặt khác nếu trong phép thử G1, biến cố A đợc phân thành



(1)

k1



,



(1)

(1)

k 2 ,...., k p



(1 k1 < k 2 < .... < k p m1 ) và trong phép thử G2 biến cố B đợc phân thành







(2)

r1



,



(2)

(2)

r2 ,...., rq



(với 1 r1 < r2 < ... < rq m 2 ),



thì ta có:

p



P ( A.B ) =

s =1



q





t =1



p



q



s =1



t =1



Pk(s1) Prt( 2 ) = Pk(s1) . Prt( 2 ) = P ( A).P ( B )



Thí dụ 1:



Giả sử G1 là phép thử tung hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất khi đó:

1 = { ,2,3,4,5,6} P (i) =

1



1

6



(i = 1,6)



Giả sử G2 là phép thử Tung một đồng xu đối xứng và đồng chất.

Khi đó = {S, N} P(S) = P(N) = 1/2

Gọi G là phép thử hợp tung hạt xúc sắc và đồng xu, cả hai đều đối xứng và đồng chất.

Khi đó = { S,1); (S,2);......(S,6); ( N,1); ( N,2).....(N,6)}.

(

Do tính chất đối xứng và đồng chất của hai vật thể đợc tung nên ta có.

P (S , i ) = P ( N , i ) =



1

12



(i = 1,6) .



Ta thấy:

P (S, i) = P (S ).P (i) ; P ( N, i) = P ( N ).P (i)



(i = 1,6)



Vậy G1 và G2 là hai phép thử độc lập.

Nếu trong phép thử G1 ta gọi A là biến đợc ít nhất 5 chấm

thì A = {5,6} và P(A) = P {5,6} = 2/6.

Nếu trong phép thử G2 ta gọi B là biến cố đợc mặt ngửa

thì B = {N } và P(B) = P {N } = 1/2.

Nếu trong phép thử G ta goi C là biến cố đợc mặt ngửa và ít ra là 5 điểm thì C =



{( N ,5), ( N ,6)} và P(C) = 2/12.

Ta thấy C = A.B và P(C) = P(A).P(B) do tính độc lập của G1 và G2 .

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



42



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



3. Dãy phép thử Berboulli (lợc đồ nhị thức)



Một dãy n phép thử độc lập đợc gọi là lập thành một lợc đồ Bernoulli với hai tham

số n và p nếu chúng có các đặc điểm sau:

a. Mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả: T (thành công ) và T (thất bại)

b. P(T) = p = hằng số qua các phép thử. Suy ra P( T ) = 1-p = q cũng là hằng số qua

các phép thử.

nếu gọi G là các phép thử hợp của n phép thử này thì mỗi biến cố sơ cấp của G sẽ là một

dãy n ký tự, ở mỗi vị trí sẽ là ký tự T hoặc T .

Nếu xét một biến cố sơ cấp trong đó có x ký tự T và (n-x) ký tự T , chẳng hạn:



= T T T T T T T T



x ký tự T

Hình 1.10

thì do tính độc lập của các phép thử ta sẽ có :

P( ) = P(T)P(T)P( T )P(T)P(T)P( T )P(T)P(T) = pxqn-x .

Số lợng các biến cố sơ cấp có chứa x ký tự T nh vậy là C x . Vậy nếu ký hiệu Pn (x) là

n

xác suất thu đợc x lần thành công trong lợc đồ Bernoulli ta sẽ có:

Pn (x) = C x p x q n - x

n



(x = 0, n ) .



Công thức này gọi là công thức Bernoulli. Ta thấy các biểu thức tính xác suất này trùng

với các số hạng của khai triển nhị thức sau:

n



( p + q) n = C nx p x q n- x .

x =0



Thí dụ 2: A rủ B chơi cờ với đề nghị hoặc chơi 2 ván hoặc chơi 4 ván. Nếu khả năng



thắng của B ở mỗi ván cờ đều là p ( 0 < p < 1) thì với những giá trị nào của p, B nên nhận

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



43



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



chơi hai ván để dễ thắng A hơn là chơi 4 ván, biết rằng muốn thắng chung cuộc thì phải

thắng ít nhất là một nửa tổng số ván chơi.

Bài giải

a. Nếu B nhận chơi hai ván thì khi đó ta có một lợc đồ Bernoulli với n = 2 và p cha

biết. Trong trờng hợp này xác suất thắng chung cuộc của B sẽ là

P2 (1) + P2 (2) = C1 p1 (1 - p)1 + C 2 p 2 (1 - p) 0 .

2

2

b. Tơng tự nếu B nhận chơi 4 ván thì ta có một lợc đồ Bernoulli với n = 4 và p cha

biết. Xác suất thắng chung cuộc của B khi đó sẽ là

P4 ( 2 ) + P4 ( 3 ) + P4 ( 4 ) = C 2 p 2 (1 - p) 2 + C 3 p 3 (1 - p) 1 + C 4 p 4 (1 - p) 0 .

4

4

4



c. Vậy ta phải xác định p sao cho:

C1 p1 (1 - p)1 + C 2 p 2 (1 - p) 0 > C 2 p 2 (1 - p)2 + C 3 p 3 (1 - p)1 + C 4 p 4 (1 - p) 0 .

2

2

4

4

4



Điều này tơng đơng với:

0

C 2 p 0 (1 - p)2 < C 0 p 0 (1 - p) 4 + C 0 p 0 (1 - p) 4 + C1 p1 (1 - p)3

4

4

4



Khai triển ta đợc:

(1 - p)2 < (1 - p) 4 + 4 p(1 - p)3



Từ đó ta có bất phơng trình: - 3p2 + 2p > 0. Suy ra 0 < p < 2/3.

4. Lợc đồ đa thức



Thực hiện n phép thử độc lập. Với mỗi phép thử ta có một nhóm đầy đủ k biến cố {Ai }

k



( i = 1,k) với P(Ai) = pi và

xuất hiện ri lần (i = 1ữ k ;



p

i =1



k



r

i =1



i



i



= 1 khi đó xác suất để trong n phép thử này mỗi biến cố Ai

= n ) sẽ là



Pn (r1 , r2 ,..., ri ,..., rk ) =



n!

r r

p11 p 22 ...p rk .

k

r1! r2 !...rk !



Chứng minh:



Xác suất để A1 xuất hiện r1 lần trong n phép thử sẽ là

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



44



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

r

Pn (r1 ) = C r1 p11 (1 - p1 ) n - r1 =

n



n!

r

p11 (1 - p1 ) n - r1 .

r1!( n - r1 )!



Khi đó xác suất để A2 xuất hiện ở mỗi phép thử trong (n r1) phép thử còn lại sẽ là



)



(



P A 2 A1 =



)



(



P (A 2 A1 ) P (A 2 )P A1 A 2 P(A 2 ).1

p2

=

=

.

=

1 - p1

p 2 + p 3 + ... + p k

P ( A1 )

P ( A1 )



Do đó xác suất để A2 xuất hiện r2 lần trong (n r1) phép thử còn lại sẽ là

( r2 )

n - r1



P





(n - r1 )!

p2



=

p + p + ... + p



r2 !(n - r1 - r2 )! 2

3

k



r2







p2

1 p + p + ... + p



2

3

k





n - r1 - r2



r2



p 3 + p 4 + ... + p k

(r2 + r3 + ... + rk )!

p2





p + p + ... + p p + p + ... + p

r2 !(r3 + r4 + ... + rk )! 2

3

k

2

3

k



......... ........



(r2 + r3 +...+ rk )



.



.........



Tơng tự xác suất để Ai xuất hiện ri lần trong (r1 , r2 ,..., ri ,..., rk ) phép thử với điều kiện A1,

A2, ..., Ai-1 không xuất hiện trong các phép thử này sẽ là

(ri )

r1 ,r2 ,...,ri ,...,rk



P





(r , r ,...,ri ,...,rk )!

pi



= 1 2

p + p +...+ p



ri !(r1 , r2 ,...,ri ,...,rk )! i+1 i+2

k



ri



pi+1 + pi+2 +...+ pk



p + p +...+ p



k

i i+1



ri +1 +ri +2 +...+rk



......... ........



.........



Nhân các xác suất này với nhau ta đợc

Pr1(,rri 2),...,ri ,...,rk =



n!

(r + r +...+ r )

p1r1 (p 2 + p3 + ... + p k ) 2 3 k

r1!(r2 + r3 + ... + rk )!



p2

(r2 + r3 + ... + rk )!



.

r2!(r3 + r4 + ... + rk )! p 2 + p 3 + ... + p k





r



2 p 3 + p 4 + ... + p k



p + p + ... + p

2

k

3













(r3 + r4 + ... + rk )



................

=



n!

r r

p11 p22 ...p rk .

k

r1!r2!...rk !



Thí dụ 3: Xác suất để 1 loại chi tiết sản xuất ra có:



a. Chất lợng kém là 0,05.

b. Chất lợng trung bình là 0,10.

c. Chất lợng tốt là 0,85.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



45



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Một chiếc máy đợc lắp 100 chi tiết loại này. Tính xác suất để máy có 5 chi tiết loại a và

5 chi tiết loại b.

Bài giải

ở đây ta có một lợc đồ đa thức với n = 100 , r1 = 5, r2 = 5, r3 = 90. Vậy áp dụng công



thức đã nêu ta đợc:

P100 (5,5,90) =



100!

(0.05)5 (0.10)5 (0.85)90

5!5!90!



từ đó:

lg P = lg 100! - lg90! - 2lg5! + 5lg(0.005) + 90lg(0.85) = 3.7824

Suy ra p 0.006.



Bi tập

1. Xác định không gian biến cố sơ cấp của các phép thử sau:

a) Gieo hai đồng xu cân đối đồng chất.

b) Gieo liên tiếp một đồng xu cân đối đồng chất cho đến khi nào xuất hiện mặt

xấp thì dừng.

c) Thời gian chờ xe của một hành khách tại bến xe biết rằng cứu 15 phút lại có

một chuyến xe.

2. Gieo ba lần một đồng xu.

a) Tìm không gian biến cố sơ cấp nếu chúng ta muốn quan sát dãy các mặt sấp

và mặt ngửa thu đợc.

b) Tìm không gian biến cố sơ cấp nếu chúng ta muốn quan sát số mặt sấp thu

đợc.

3. Gieo hai con xúc sắc. Xác định không gian biến cố sơ cấp và biểu diễn các biến cố

sau dới dạng tập hợp của các biến cố sơ cấp:

a) Tổng của các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc bằng 7.

b) Tổng của các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc lớn hơn 10.

c) Tổng của các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc lớn hơn 12.

4. Cho P( A) = 0,9 và P( B) = 0,8 . Chứng minh rằng P( A B) 0, 7 .

5. Chứng minh rằng P( A) = P( A B) + P( A B) .

6. Tìm xác suất của các biến cố trong bài tập 3.

7. Có n ngời trong một phòng.

a) Tính xác suất để có ít nhất hai ngời có cùng ngày sinh (giả sử năm có 365

ngày).

b) Số ngời là bao nhiêu để xác suất trên lớn hơn 0,5?

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



46



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



8. Chọn ngẫu nhiên 5 ngời từ một nhóm gồm 5 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ để

đi dự Hội nghị. Tính xác suất để:

a) Nhóm có 2 sinh viên nam và 3 sinh viên nữ.

b) Nhóm gồm toàn sinh viên nữ.

9. Lặp lại phép thử gieo hai đồng xu và đếm số lần gieo cho đến khi xuất hiện mặt

sấp.

a) Xác định không gian biến cố sơ cấp của phép thử.

b) Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện đầu tiên ở lần gieo thứ k.

c) Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện đầu tiên ở lần gieo chẵn.

d) Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện đầu tiên ở lần gieo lẻ.

10. Chứng minh rằng nếu P( A | B) > P( A) thì P( B | A) > P( B) .

11. Chọn một số ngẫu nhiên từ tập các số {1, 2,...,100} . Biết rằng số chọn đợc chia hết

cho 2, tìm xác suất để số đó cũng chia hết cho 3 hoặc 5.

12. Để phục vụ SeaGames công ty X quyết định nhập hai mặt hàng A và B. Theo

thống kê, khả năng công ty gặp rủi ro với mặt hàng A là 0,2; với mặt hàng B là 0,4;

còn khả năng công ty gặp rủi ro với cả hai mặt hàng là 0,1. Tìm xác suất của các

biến cố:

a. Công ty chỉ gặp rủi ro với một mặt hàng.

b. Công ty không gặp rủi ro với ít nhất một mặt hàng.

13. Tỷ lệ phế phẩm của sản phẩm Z là 30%. Để đảm bảo chất lợng, ngời ta cho

kiểm tra các sản phẩm Z trớc khi đa ra thị trờng. Thiết bị kiểm tra tự động có độ

chính xác 90% đối với chính phẩm, 95% đối với phế phẩm. Sản phẩm Z đợc đa

ra thị trờng nếu thiết bị kiểm tra tự động coi là chính phẩm.

a. Tính xác suất để sản phẩm Z đợc đa ra thị trờng.

b. Với các sản phẩm đợc đa ra thị trờng thì khả năng sản phẩm là phế phẩm

bằng bao nhiêu.

14. Giá chứng khoán hiện tại là S. Sau mỗi phiên giao dịch, giá chứng khoán sẽ là

1,012S với xác suất 0,52 và 0,99S với xác suất 0,48. Sự tăng hay giảm giá của các

phiên giao dịch độc lập với nhau. Tính xác suất giá chứng khoán sẽ lên ít nhất 30%

sau 1000 phiên giao dịch.

15. Có hai hộp sản phẩm mỗi hộp chứa 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu

nhiên một sản phẩm từ hộp 1 bỏ vào hộp 2; sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm

từ hộp 2 trả lại hộp 1. Lấy ngẫu nhiên từ các hộp ra hai sản phẩm. Tính xác suất để

cả hai sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt trong mỗi trờng hợp sau đây:

a) Lấy ở mỗi hộp một sản phẩm.

b) Lấy từ hộp 1 hai sản phẩm.

c) Lấy từ hộp nào đó hai sản phẩm.

16. Một đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 sự lựa chọn phơng án trả lời

trong đó chỉ có một phơng án đúng. Mỗi câu trả lời đúng đợc 2 điểm, sai không

đợc điểm. Một học sinh trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên các phơng án.

a) Tính xác suất để học sinh đó đợc 100 điểm.

b) Tính xác suất để học sinh đó đợc ít nhất 50 điểm.

c) Tính số điểm học sinh có khả năng đạt đợc nhất.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



47



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



17. Có hai kho hàng, kho 1 chứa 80% sản phẩm loại 1 và 20% sản phẩm loại 2; kho 2

chứa 70% sản phẩm loại 1 còn lại là sản phẩm loại 2. Đến ngẫu nhiên một kho và

lấy ngẫu nhiên từ đó ra một sản phẩm thì đợc sản phẩm loại 2.

a) Tính xác suất để kho vừa đến là kho 1.

b) Lấy tiếp từ kho còn lại một sản phẩm, tính xác suất để sản phẩm đó cũng là sản

phẩm loại 2.

18. Trong thời gia có dịch, ở một vùng dân c cứ 100 ngời bị bệnh thì có 10 ngời

phải đi cấp cứu. Xác suất gặp một ngời phải đi cấp cứu vì mắc bệnh dịch ở vùng

đó là 0,06.

a. Tìm tỷ lệ mắc bệnh dịch của dân c vùng đó.

b. Tính xác suất để khi gặp ngẫu nhiên 10 ngời dân vùng đó có không quá 1 ngời

mắc bệnh dịch.

19. Một ngời có 3 chỗ a thích nh nhau để câu cá. Xác suất để câu đợc cá trong

mỗi lần thả câu ở từng nơi tơng ứng là: 0,2; 0,3; 0,4. Biết rằng ở một chỗ anh ta

thả câu ba lần và chỉ câu đợc một con cá, tìm xác suất để đó là chỗ thứ nhất.

20. Một kho chứa hai loại rợu A và B với tỷ lệ bằng nhau. Ngời ta chọn ngẫu nhiên

một chai rợu trong kho và đa cho 5 ngời sành rợu nếm thử để xác định xem

đây là loại rợu nào. Khả năng đoán đúng của mỗi ngời là 80%. Sau khi thử có 4

ngời kết luận rợu loại A và 1 ngời kết luận rợu loại B. Tính xác suất để chai

rợu đợc chọn thuộc loại A.

21. Một cửa hàng bán một loại TV trong đó tỷ lệ có chất lợng tiếng bị kém là 5%, tỷ

lệ có chất lợng hình bị kém là 7%, tỷ lệ kém chất lợng của cả hai loại là 4%.

Mua một TV của của hàng. Tính xác suất mua đợc TV không bị mắc cả hai loại

điểm yếu trên.

22. Một sản phẩm xuất xởng phải qua 3 lần kiểm tra. Xác suất để một phế phẩm bị

loại ở lần kiểm tra đầu là 0,8; nếu ở lần kiểm tra đầu sản phẩm không bị loại thì xác

suất để nó bị loại ở lần kiểm tra thứ hai là 0,9; tơng tự nếu lần thứ hai nó cũng

không bị loại thì ở lần kiểm tra thứ ba xác suất nó bị loại là 0,95. Tính xác xuất để

một phế phẩm bị loại qua 3 lần kiểm tra.

23. Một khách hàng lần đầu mua sản phẩm X có khả năng chọn đợc sản phẩm tốt với

xác suất 0,9. Nếu lần thứ nhất ngời đó mua phải sản phẩm xấu thì khả năng chọn

đợc sản phẩm tốt khi mua lần thứ hai là 0,95; trong trờng hợp lần thứ nhất ngời

đó mua đợc sản phẩm tốt thì không có kinh nghiệm gì khi mua lần thứ hai. Khách

hàng đó đã mua hai lần, mỗi lần một sản phẩm.

a) Tính xác suất để cả hai lần khách hàng đó đều mua đợc sản phẩm tốt.

b) Tính xác suất để có đúng một lần khách hàng đó mua đợc sản phẩm tốt.

24. Một kho chứa cùng một loại sản phẩm do hai phân xởng sản suất. Số sản phẩm

của phân xởng 1 chiếm 60% sản phẩm trong kho, còn lại là sản phẩm của phân

xởng 2. Tỷ lệ chính phẩm của phân xởng 1 là 95%, phân xởng 2 là 90%.

a) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của kho, tính xác suất để lấy đợc chính phẩm.

b) Lấy ngẫu nhiên hai sản phẩm của kho thì thấy có một phế phẩm, tính xác suất

để phế phẩm này do phân xởng 1 sản suất.



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



48



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



25. Có ba hộp, hộp 1 chứa 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 chứa 7 bi đỏ và 3 bi xanh, hộp 3

không có bi. Lấy một bi từ hộp 1 và hai bi từ hộp 2 rồi bỏ vào hộp 3; sau đó lấy từ

hộp 3 ra hai viên bi.

a) Tính xác suất để trong ba bi bỏ vào hộp 3 có ít nhất một bi đỏ.

b) Tính xác suất để hai bi lấy từ hộp 3 đều là bi đỏ.

26. Một kho có 95% sản phẩm tốt; 15% số sản phẩm của kho do nhà máy X sản suất

và 5% sản phẩm tốt trong kho là của nhà máy X. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của

kho, tìm xác suất để

a. Lấy đợc sản phẩm tốt biết rằng sản phẩm đó do nhà máy X sản suất.

b. Sản phẩm đó là của nhà máy X biết rằng đó là phế phẩm.

27. Một dây chuyền gồm 2 bộ phận nối tiếp với xác suất làm việc tốt trong một

khoảng thời gian nào đó của mỗi bộ phận tơng ứng là p1 và p2 . ở một thời điểm

trong khoảng thời gian trên ngời ta thấy dây chuyền hỏng (giả sử việc hỏng xảy

ra chỉ do các bộ phận không làm việc). Hãy tìm xác suất để chỉ có bộ phận thứ nhất

không làm việc.

28. Một ngời chuẩn bị tham dự lấy phiếu tín nhiệm vào một chức vụ, bắt buộc phải

qua hai vùng; ở vùng một khả năng đủ tín nhiệm là 60%. Nếu đủ ở vùng một thì

khả năng đủ tín nhiệm ở vùng hai là 85%, nếu không đủ ở vùng một thì khả năng

đủ tín nhiệm ở vùng hai là 30%. Tìm khả năng của ngời đó:

a. Đủ tín nhiệm ở cả hai vùng?

b. Chỉ đủ tín nhiệm ở một vùng?

29. Cho không gian biến cố sơ cấp của một phép thử gồm 3 biến cố: = { A, B, C} , với

P ( A) = p, P( B ) = q, P(C ) = r . Lặp lại vô hạn lần phép thử này và giả sử rằng kết quả

của các phép thử độc lập nhau. Tính xác suất của biến cố để A xảy ra trớc B.



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



49