II. Định lý nhân xác suất

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

n 1



n2



2



i =1



i =1



i=1



P( Ai ) P( Ai ) ... P( A i ) P(A1).

n 1



Vì giả thiết P( Ai )>0 nên tất cả các xác suất ở sau đều > 0.

i =1



Tiếp theo từ định nghĩa của xác suất có điều kiện ta có:

P(A2/A1) =



P ( A1A 2 )

nên P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1)

P ( A1 )



Giả sử công thức đúng cho trờng hợp n-1.

Khi đó:

n



n 1



n 1



n 1



i =1



i =1



i =1



i =1



P( A i ) = P(An Ai ) = P( Ai )P(An/ Ai )

n 1



Thay P( Ai ) bằng giả thiết quy nạp ta sẽ đợc công thức phải chứng minh.

i =1



Thí dụ 1: Một ngời viết n bức th với nội dung khác nhau, cho vào n phong bì dán lại sau



đó mới đề tên ngời nhận. Tính xác suất để ít nhất có một phong bì mà tên ngời nhận

phù hợp với nội dung của th.

Bài giải

Gọi A là biến cố ít nhất có một phong bì có nội dung phù hợp

Ai là biến cố phong bì thứ i có nội dung phù hợp (i= 1, n ).

n



Khi đó A= A i

i=1



Do các biến cố A i không xung khắc nên áp dụng công thức đã biết:

n



P(A) = P( A i ) =

i=1



n



P( A )

i



i =1



n



-





i =1



n



P( Ai Aj ) + P ( Ai A j ) i< j



n







i< j


P ( Ai A j Ak ) -



...+(-1)n-1



P(A1A2...An).

Ta lần lợt có:

1

P(Ai) = . Suy ra

n



n



P( A ) =1

i =1



i



P(AiAj) = P(Ai)P(Aj/ Ai)

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



27



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



1 1

(n 2)!

=

.

= .

n!

n n 1

n







Suy ra



i =1



2



P( Ai Aj ) = C n .



(n 2)! 1

=

n!

2!



P(AiAjAk) = P(Ai)P(Aj/ Ai)P(Ak/ AiA j )

=

n



suy ra







i< j


1 1

1

(n 3)!

.

.

=

n!

n n 1 n 2

3



P ( Ai A j Ak ) = C n .



(n 3)! 1

= .

n!

3!



..................

P(A1A2...An) = P(A1)P(A2/A1)...P(An/ A1A2...An-1)

=

Vậy: P(A) = 1 -



1 1

1 1

.

.... = .

n n 1 1 n!



1

1

1

+

- ... + (-1)n-1 .

2! 3!

n!



Nhận xét: Ta biết rằng khai triển Taylor của hàm e x là

1

1

1

e x = 1+ x+ x 2 + x 3 +...

1! 2!

3!



Vì thế

e 1 = 1 -



1

1 1

+

+ ...

1! 2! 3!



Vậy

1 - e 1 = 1 suy ra



1

1

+

- ...

2! 3!



lim P(A) = 1- e



1



.



n





III-định lý xác suất ton phần



Giả sử D ={ A 1 ,A 2 ,... A n } là một phân hoạch của , tức là



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



28



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

n

A i =

i =1

A A = (với mọi j)

j

i

n



Nh vậy với nhóm đầy đủ n biến cố này ta sẽ có



P( A ) =1

i =1



i



Ta giả thiết P(A i )>0 (i= 1, n ). Khi đó với mọi biến cố B ta đều có thể biểu diễn (hình 1.9)

B = BA1 + BA2 + ... + BAi + ... + BAk + BAn

A1



B







A2



An



Ai .



Ak



.







Hình 1.9

Do AiAj = nên BA i BAj = (với mọi i j), vì thế:

n



n



i =1



i =1



P(B) = P( BAi ) = P( Ai ) P( B / Ai ) .

Công thức này gọi là công thức xác suất toàn phần (hay đầy đủ). Các biến cố Ai có

thể coi là các giả thiết để tạo cho B xảy ra và do đó khi tính P(B) ta phải đề cập tới toàn bộ

các giả thiết này.

Thí dụ 1: Một hộp đựng n phiếu trong đó có m phiếu trúng thởng (m n). n ngời theo



thứ tự lần lợt lấy mỗi ngời một phiếu không trả lại. Khi đó hãy chứng tỏ rằng xác suất

lấy đợc phiếu trúng thởng của mỗi ngời đều là



m

.

n



Bài giải

Gọi A i là biến cố ngời thứ i rút đợc phiếu trúng thởng (i= 1, n ) Ta thấy:

P(A1) =



m

n



P(A2) = P(A1A2+ A 1A2)

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



29



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



= P(A1)P(A2/A1) + P( A1 )P(A2/ A 1)

=



m m -1 n m m

.

+

.

n

n 1

n n -1



=



m

m 2 - m + mn m 2

m(n 1)

=

=

n(n 1)

n(n 1)

n

.........



Tổng quát, ta gọi H s là biến cố trong k ngời rút đầu có s ngời rút đợc phiếu

k

trúng. Khi đó:

A k +1 =



s = min( m ; k )

s

k k +1

s = max[ 0, k ( n m )]



H A



Vậy

s = min( m , k )



P(A k +1 ) =







P (H s )P(A k +1 Hs )

k

k



s = max[ 0; k ( n m )]





Cs C k s m s

m n m

.

.



Cn

n-k

s = max[ 0; k - ( n m )]

k



s = min( m ; k )



=

Nếu quy ớc ký hiệu



* Khi max [0; k - (n-m)] = k - (n - m) thì

C s = 0 với s = 0, 1, 2, ..., [k - (n - m) - 1].

m

* Khi min(m; k) = m thì

C s = 0 với s = m + 1, m + 2, ..., k

m

Thì ta có thể viết:

s k s

Cm Cn m m s

.

P(Ak+1) =

k

Cn

nk

s =0

k



k



= .

i =0



m!

k!( n k )! k s m s

.C n m .

s!(m s)!

n!

n-k

m!



k



=



s!(m - s - 1)!.

i =0



=



m

n



k



k!(n k 1)!

n!



(m 1)!



s!(m s 1)!

i =0



k!( n k 1)! k s

Cnm

( n 1)!



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



30



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



=



m

n



s

kCm 1Cn sm

Ck

i =0

n -1

k



Ta chứng minh tiếp

s

k

Cm 1Cn -ms

C k = 1, tức là

i =0

n -1

k



k



C

s =0



k

Cn -ms = Ckn-1



s

m -1



Thật vậy xét đồng nhất thức:

(u+v) A+B (u+v) A (u+v) B .

Khai triển ta đợc:

A+ B



A



B



r =0



s =0



i =0



r

s

t

C A+ Bu r vA+B -r [ C Au sv A- s ][ CBu t v B t ]



Suy ra



C



r

C A+B =



s

A



C tB



s

(s + t = r)



Đặt r = k; A = m - 1; B = n - m; s = s; t = k s (suy ra t = 0 thì s = k và t = k thì s = 0) và

thay vào đẳng thức vừa nêu ta đợc:

k



s

C k 1 = Cm -1Cnk-ms .

n

is = 0



Đó là hệ thức phải chứng minh và từ đó ta có P(A k +1 ) =



n

(với 0 k n-1).

m



IV định lý Bayes

Từ định nghĩa về xác suất có điều kiện và từ công thức xác suất toàn phần ta suy ra:

P( A j B ) =



P(A j B )

P(B )



=



P(A j )P (B A j )

n



P(A )P (B A )

i =1



i



i



Nh đã nêu, các biến cố A i có thể coi là các giả thiết để làm xảy ra biến cố B (i= 1, n ).

Với mỗi giả thiết A j , ta có hai loại xác suất:

a. P(A j ) gọi là xác suất tiên nghiệm của A j .

b. P( A j B ) gọi là xác suất hậu nghiệm của A j .



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



31



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Khi có thông tin là B xảy ra thì ta cần tính xác suất hậu nghiệm để chỉnh lý lại xác

suất tiên nghiệm.

Thí dụ 1: Một chiếc máy bay có thể bị rơi ở 3 vùng với xác suất nh nhau. Giả sử (1- i )



là xác suất để tìm thấy nó ở vùng i nếu nh quả thật nó rơi ở vùng này (khi đó i gọi là

xác suất mất tăm, xác suất này phụ thuộc vào vị trí và địa hình của vùng) (i = 1, 2, 3). Nếu

mà tìm kiếm ở vùng 1 không có kết quả, hãy tính xác suất để quả thật máy bay bị rơi ở

vùng i (i = 1, 2, 3).

Bài giải

Gọi A i là biến cố máy bay bị rơi ở vùng i (i = 1, 2, 3).

B là biến cố việc tìm kiếm ở vùng 1 không có kết quả.

Khi đó:

P ( A1 B) =



P(A 1 B )

=

p( B )



P( A1 ) P( B A1 )

3



P( A ) P(( B A )

i



i =1



i



1

. 1

1

3

=

=

1

1

1

1 + 2

( 1 ) + (1) + (1)

3

3

3

Còn đối với j = 2, 3 ta đều có:

P(Aj B ) =



P (A j B )

P(B )



=



P(A j )P(B A j )

P(B )



1

(1)

1

3

.

=

=

1

1

1

1+ 2

1 + (1) + (1)

3

3

3

Chẳng hạn với 1 = 0, 4 thì xác suất để máy bay bị rơi ở vùng 1 nếu nh việc tìm kiếm

ở vùng này mà không thấy sẽ là

P ( A1 B ) =



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



0,4

1

= .

0,4 + 2 6



32



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



C. Tính độc lập

I. Tính độc lập của hai biến cố

1. Định nghĩa



Giả sử A và B là hai biến cố của không gian xác suất ( , A, P). Khi đó A và B đợc

gọi là độc lập với nhau (về mặt xác suất) nếu:

P(AB) = P(A).P(B).

Ghi chú Nếu P(A).P(B) > 0 thì ta có các hệ thức tơng đơng sau:

P(AB) = P(A)P(B) P(A) = P (A B ) P(B) = P ( B A)

Do đó một trong ba đẳng thức này đều có thể dùng làm định nghĩa về tính độc lập của

A và B.

Sự tơng đơng này đợc suy từ định nghĩa vừa nêu trên và từ định nghĩa về xác suất

có điều kiện.

Riêng đẳng thức thứ hai (hoặc thứ 3) cho thấy ý nghĩa của tính độc lập (về mặt xác

suất) của hai biến cố là việc biến cố này có xảy ra hay không sẽ không ảnh hởng tới khả

năng xảy ra của biến cố kia. Vì thế trong thực tế ta có thể nhận định đợc sự độc lập của

chúng bằng trực giác hoặc theo kinh nghiệm.

Thí dụ 1: Tung một hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất.



Gọi A là biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3;

B là biến cố đợc mặt có số chẵn chấm.

Hãy chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố độc lập.

Bài giải

a. Cách thứ nhất

Ta có P(A) =



2

3

; P(B) =

6

6



P(AB) = P (đợc mặt 6 chấm) =



1

6



Vậy P(A.B)= P(A)P(B). Do đó A và B độc lập.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



33



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



b. Cách thứ hai

Vì P(A) =



2 1

1

= và P (A B ) = nên A và B độc lập do P(A) = P ( A B ) .

6 3

3



Hoặc ta cũng có P(B) =



3

1

và P (B A) = tức là P(B) = P ( B A) nên A và B độc lập.

6

2



2. Định lý



Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B , A và B, A và B cũng sẽ là những cặp

biến cố độc lập.

Chứng minh:



Chẳng hạn ta chứng minh rằng nếu A và B độc lập thì A và B cũng độc lập.

Thật vậy ta có:

P(A. B ) = P(A).P (B A ) = P(A)[1-P (B A) ]

= P(A)[1-P(B)] (do A và B độc lập )

= P(A)P( B ).

Vậy A và B độc lập.

Thí dụ 2: Bốn ngời N i (i = 1,4 ) có tật nói dối. Họ có thể nói đúng điều mình nghe đợc



cho ngời khác với xác suất là 1/3 và nói điều ngợc lại với xác suất 2/3. Ngời thứ nhất

N1 nhận đợc một tin dới dạng (có, không) và nói lại cho N2, N2 truyền lại cho N3,

N3 báo lại cho N4 và cuối cùng N 4 công bố ra ngoài. Biết rằng các thông báo của bốn

ngời độc lập với nhau, khi đó:

a. Tính xác suất để tin đợc công bố là đúng khi nhận đợc.

b. Biết rằng tin công bố là đúng, hãy tính xác suất để N1 truyền đúng tin.

Bài giải

a. Gọi Ai là biến cố tin do Ni truyền đi là đúng.

Bi là biến cố ngời thứ i nói đúng điều mình nghe đợc (i = 1,4 )

Khi đó:

A1 = B1 . Vậy P(A1) = P(B1) =



1

3



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



34