II. Tính độc lập của nhiều biến cố

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

A= {w1 , w2 ,}



B = {w1, w3 }

C = {w1 , w4 }

Khi đó:

P(A) = P(B) = P(C) =



2 1

=

4 2



Mặt khác A B = B C = C A = {w1}

Vì thế

P(AB) = P(BC) = P(CA) = P( {w1}) =



1

4



Nh vậy:

P(AB) = P(A)P(B); P(AC) = P(A)P(C); P(BC) = P(B)P(C)

Do đó A, B, C độc lập từng đôi nhng A B C = {w1} nên

P(A B C) = P( {w1}) =



1

1

P(A).P(B).P(C) =

4

8



Vậy A, B và C không độc lập toàn bộ.

Ghi chú 2:



Định nghĩa về tính độc lập toàn bộ của n biến cố nêu trên tơng đơng với định nghĩa

sau đây:

Các biến cố {A i } (i= 1, n ) của không gian xác suất ( , A, P) đợc gọi là độc lập toàn

bộ nếu:



P (A i A j1 A j2 ...A j m ) = P(A i ) ( i= 1, n )

(1 j 1 < j 2 < ...
Và vì thế từ định lý nhân xác suất trong trờng hợp tổng quát:

n



P( A i ) = P (A1 ) P (A 2 A1 ) P (A 3 A1A 2 ) ... P (A n A1A 2 ...A n 1 ) ,

i =1



ta suy ra:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



37



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



Nếu các biến cố A i (i= 1, n ) độc lập toàn bộ thì

n



n



i =1



i =1



P( Ai ) = P( Ai )

Ghi chú 3:



Nếu các biến cố Ai (i= 1, n ) độc lập toàn bộ thì các biến cố A 'jr cũng độc lập trong đó

A 'jr có thể là Ajr hoặc A jr với r = ( 1, n ).

Thí dụ 2:



Một khẩu pháo bắn ba phát vào một máy bay một cách độc lập với nhau với xác suất

trúng tơng ứng là 0,6; 0,7 và 0,8. Nếu chỉ có một viên trúng thì máy bay sẽ rơi với xác

suất là 0,2; còn nếu ít nhất có 2 viên trúng thì chắc chắn máy bay sẽ rơi. Hãy tính xác

suất để khẩu pháo này hạ đợc máy bay.

Bài giải

Gọi A là biến cố máy bay bị rơi

Bi là biến cố có i viên trúng (i = 0,3 ).

Khi đó theo định lý xác suất toàn phần ta có thể viết:

P ( A) = P( B0 ) P( A B0 ) + P ( B1 ) P ( A B1 ) + P( B2 ) P( A B2 ) + P( B3 ) P( A B3 ) .



Theo đầu bài ta có:

P( A B0 ) = 0 ; P ( A B 1 ) = 0,2 ; P ( A B2 ) = P( A B3 ) = 1 .



Nếu gọi C j là biến cố viên thứ j trúng (j = 1, 2, 3) thì



B 1 = C 1 C 2 C 3 + C 1C 2 C 3 + C 1 C 2 C 3 .

Vì ba biến cố tích bên vế phải là xung khắc với nhau nên:

P ( B1 ) = P (C1 C 2 C 3 ) + P (C1C2 C 3 ) + P (C 1 C 2C3 ) .



Do các viên bắn độc lập với nhau nên các biến cố C j độc lập, suy ra các biến cố ở mỗi

tích bên vế phải cũng độc lập. Vì thế khai triển tiếp ta đợc:

P ( B1 ) = P (C1 ) P (C 2 ) P (C 3 ) + P (C1 ) P (C2 ) P (C 3 ) + P (C1 ) P (C 2 ) P (C3 )



= 0,6.0,3.0,2 + 0,4.0,7.0,2 + 0,4.0,3.0,8

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



38



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



= 0,036 + 0,056 + 0,096

= 0,188.

Tơng tự ta có:

P(B2) = 0,452; P(B3) = 0,336.

Từ đó:

P(A) = 0,188.0,2 + 0,452.1 + 0,336.1

= 0,8256.

Ghi chú 4:



Theo ghi chú 3 ta thấy nếu các biến cố Ai độc lập thì các biến cố A i cũng độc lập,

n



(i = 1, n ). Do đó để tính P ( A i ) trong đó các biến cố Ai:

i=1



a. Không xung khắc.

b. Nhng độc lập với nhau.

Thì ta có thể thực hiện nh sau:

n



n



i=1



i=1



P ( A i ) = 1- p( A i )

n



= 1 - P ( A i )

i=1

n



p

= 1- (A i ) .

i=1



Thực hiện theo cách này sẽ đơn giản hơn là việc áp dụng công thức tính xác suất cho

tổng của các biến cố không xung khắc.

Thí dụ 3: Một mạch điện gồm 3 bóng mắc nối tiếp với xác suất không hỏng tơng ứng là



0,1; 0,2; 0,3. Tính xác suất để mạch không có điện do việc hỏng bóng gây nên. Biết rằng

việc các bóng bị hỏng là những sự cố độc lập với nhau.

Bài giải

Gọi A là biến cố mạch không có điện

Ai là biến cố bóng thứ i bị hỏng (i = 1, 2, 3).

Khi đó:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



39



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



A = A1 + A2 + A3

P(A) = P(A1 +A2+A3 )

trong trờng hợp này để tính P(A) ta có hai cách.

a. Cách thứ nhất



Do các bóng có thể đều hỏng nên các biến cố Ai (i = 1, 2, 3) là không xung khắc. Vì thế:

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)

Vì việc hỏng của các bóng là độc lập nên các biến cố Ai (i = 1, 2, 3) là độc lập. Do đó

khai triển tiếp ta đợc:

P(A)=P(A1)+P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1)P(A2)P(A3)

= 0,1 + 0,2 + 0,3 - 0,1.0,2 - 01.0,3 - 0,2.0,3 + 0,1.0,2.0,3

= 0,496.

b. Cách thứ hai



ta có P(A) = 1- P (A 1 + A 2 + A 3 )

= 1- P( A1 . A2 . A3 )

Do tính độc lập của hai biến cố nên:

P(A) = 1- P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )

= 1-0,9.0,8.0,7=1-0,504

= 0,496.



III. Tính độc lập của các phép thử

1. Phép thử hợp



Giả sử Gi (i= 1, n ) là n phép thử ngẫu nhiên với:



i = {

P (



(i)

(i)

(i)

1 , 2 ,..., m i}



(i)

)=

ji



p (jii )



(i= 1, n )



i = 1, n

j i = 1, m i



Khi đó phép thử ngẫu nhiên G đợc gọi là phép thử hợp của các phép thử Gi (i= 1, n ) nếu

không gian các biến cố sơ cấp của nó có dạng:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



40



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



= { = ( (1) (2 ) ,...,

J

J

1



trong đó



(i)

ji



2



(i)

,..., ( n ) )}

ji

jn



là các phần tử của không gian biến cố sơ cấp i (i= 1, n ; j( i ) = 1, m i ).

i



2. Các phép thử độc lập



Các phép thử Gi nêu trên (i= 1, n ) đợc gọi là độc lập nếu xác suất của các biến cố sơ cấp

của không gian ứng với phép thử hợp G đợc xác định nh sau:

P { = ( (J1) (J2) ,...,

1



2



(i )

ji



,...,



(n)

jn



(1)



(2)



(n)



)} = p j .p j ....p j

1

2

n



Khi đó ta có thể nghiệm lại rằng:

a. Xác suất trên toàn bộ không gian các biến cố sơ cấp của phép thử hợp G bằng

đơn vị.

b. Nếu các Ai là các biến cố nào đó thuộc - đại số các biến cố ứng với phép thử Gi (i

= 1, n ) thì:



P(A1A2An) = P(A1).P(A2)P(An)



Để minh họa ta xét trờng hợp n = 2. Giả sử Gi là phép thử với không gian các biến cố sơ

cấp là



{



i

1= i1 , 2,....,



} ( i = 1, 2)



i

mi ,



và với các xác suất tơng ứng là

P ( (j i )) = p (j i ) với i = 1, 2 và j = 1, 2, .... , mi.



Ta gọi G là phép thử hợp của Gi ( i = 1, 2) khi đó không gian các biên cố sơ cấp của G sẽ

là



{



=



Nếu nh: P{ (k1),



( 2)

r



} = Pk(1) .Pr( 2



(1 )

(2)

k , r



k = 1, m 1



}



k = 1, m 1

r = 1, m 2



thì G1 và G2 độc lập.



r = 1, m 2



Từ đó ta thấy:

m1





k =1



m2



P (

r =1



(1)

k



,



( 2)

r



m1



)=

k =1



m2



m1



m2



r =1



k =1



r =1



Pk(1) .Pr( 2) = Pk(1) . Pr( 2) = 1.1 = 1 .



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



41