Ví dụ về hệ thống hàng đợi đơn giản

Hình 2- 5. Các sự kiện đến trong thời gian Δt

Sự kiện A: Có 1 sự kiện đến trong Δt

Sự kiện B: không có sự kiện đến trong Δt

Sự kiện C: Có nhiều hơn 1 sự kiện đến trong Δt

Giả sử rằng Δt →0. Như vậy ta sẽ có:

- Pr{A}= λ Δt

- Pr{B}= 1- λ Δt

- Giả thiết P{C}= 0,

với 1/λ là khoảng thời gian đến trung bình (thực tế được phân bố theo

hàm mũ của tiến trình đến Poisson).

Xét khoảng thời gian Δt và xét những sự kiện đi trong khoảng thời gian

này



Hình 2- 6: Các sự kiện đi trong thời gian Δt

Sự kiện A: Có 1 sự kiện đi trong Δt

Sự kiện B: không có sự kiện đi nào trong Δt

Sự kiện C: Có nhiều hơn 1 sự kiện đi trong Δt

Giả sử rằng Δt →0. Như vậy ta sẽ có:

Pr{A}= µΔt

6



Pr{B}= 1- µΔt

Giả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ là thời gian phục vụ trung bình (thực tế

được phân bố theo hàm mũ.

D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc

nhiều sự đi trong khoảng Δt

Giả sử Pr{D}=0, (2-1)

Thực ra, nó chỉ ra rằng khi Δt nhỏ, sự kiện nhân (vừa đi vừa đến) là

không xảy ra.

Ngoài các giả thiết trên về đặc tính của tiến trình đến và tiến trình phục

vụ, còn có thêm các giả thiết sau:





Tiến trình đến là tiến trình Poisson với tham số λ







Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ







Thời gian phục vụ phân bố theo hàm mũ với tham số 1/µ







Tiến trình đến là độc lập với tiến trình phục vụ và ngược lại



Để phân tích hệ thống hàng đợi cần hiểu khái niệm “Trạng thái hệ

thống”. Có thể định nghĩa thông qua biến thích hợp mô tả “ Sự phát

triển theo thời gian” của hệ thống hàng đợi. Để thuận tiện cho hệ thống

hàng đợi biến được chọn sẽ là số khách hàng trong hệ thống tại thời

điểm t.

Trạng thái hệ thống tại t = N(t)= Số lượng khách hàng tại thời

điểm t (2-2)

Tức là :

pN(t)=Pr{N(t)=N}



(2- 3)



với

pN(t) là ký hiệu của trạng thái thứ N của hệ thống tại thời điểm t.

Pr{N(t)=N} là xác suất có N khách hàng trong hệ thống tại thời

điểm t.

Có nghĩa là có N khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.

Sử dụng trạng thái đầu tiên tại t=0, nếu ta có thể tìm pN(t) thì có thể

mô tả hệ thống có quan hệ về mặt thời gian như thế nào?

Tiếp theo, cho thời gian Δt →0.

Xét các trạng thái có thể của hệ thống {0,1,…}(bằng đúng số lượng

khách hàng trong hệ thống) tại thời điểm t ta có thể tìm trạng thái của

hệ thống tại thời điểm t+Δt như sau:

p0(t+Δt )= p0(t)(1-λΔt)+p1(t)µΔt, N=0.



7



pN(t+Δt )= pN(t)(1-λ Δt-µΔt)+pN-1(t)λΔt+ pN+1(t)µΔt,

(2-4)



N>0



ta luôn có điều kiện phân bố chuẩn:



∑ p (t ) = 1, t ≥ 0

∀i



(2- 5)



i



Tức là chuẩn hóa các pi(t), t≥0, thành các tính chất phân bố rời rạc

theo thời gian.

Ta có thể tính giới hạn khi Δt →0 và có hệ phương trình vi phân:

dp0 (t )

= −λp0 (t ) + µp1 (t ), N = 0

dt

dpN (t )

= −(λ + µ ) pN (t ) + λp N −1 (t ) + µpN +1 (t ), N > 0

dt

6)



(2-



Để giải ta phảo cho điều kiện ban đầu.

Giả sử rằng hệ thống hàng đợi bắt đầu tại thời điểm t=0 với N khách

hàng ở trong hệ thống, điều kiện ban đầu được viết như sau:

pi(0)=0, với i≠N

pN(0)=1, với i=N



(2- 7)



Sử dụng điều kiện ban đầu phù hợp hệ thống có thể được giải để

được giải pháp thời gian ngắn (transient solution), một giải pháp phức

tạp thậm chí cho các hệ đơn giản nhất.

Bây giờ ta xét giải pháp trạng thái ổn định (equilibrium solution), t→∞.

Khi đó ta có:

dp 0 (t )

= 0, N = 0

dt

dp N (t )

= 0, N > 0

dt



(2- 8)



Vì vậy,

p0(t)=p0, với N=0

pN(t)=pN, với N>0



(2- 9)



Định nghĩa ρ=λ /µ với ngụ ý rằng hệ thống hàng đợi ổn định với ρ <1,

ta có:

p1=ρp0

pN+1(t)=(1+ρ)pN- ρpN-1=ρpN=ρN+1p0, N>0



(2- 10)



Gỉa sử tuân theo điều kiện phân bố chuẩn, ta có:

pi = ρi (1-ρ ), i=0,1,…



(2- 11)



với giải pháp trạng thái ổn định cho phân bố trạng thái với ρ <1.

8



giải pháp trạng thái ổn định không phụ thuộc điều kiện phân bố ban

đầu. Tuy nhiên, nó cần điều kiện rằng tốc độ đến nhỏ hơn tốc độ phục

vụ.

Các tham số hiệu năng trung bình

Số lượng trung bình của khách hàng trong hệ thống



Nhắc lại rằng phân bố của trạng thái ổn định cho số lượng khách hàng

trong hệ thống khi t→∞. Ví vậy, có thể suy ra số khách hàng trung bình

trong hệ thống từ phân bố trạng thái ổn định của hệ thống như sau:

∞



∞



i =0



i =0



E[ N ] = ∑ ipi = ∑ iρ i (1 − ρ ) =



ρ

1− ρ



(2- 12)



Kết quả trên không áp dụng cho số trung bình khách hàng trong hệ

thống tại một khoảng thời gian ngắn t (arbitrary time t).

Số lượng trung bình của khách hàng trong hàng đợi



Chú ý rằng số lượng khách hàng trong hàng đợi thì bằng với số lượng

khách hàng trong hệ thống trừ đi 1. Sử dụng cùng các giả thiết ta có:



ρ

ρ

ρ2

− (1 − p0 ) =

−ρ =

1− ρ

1− ρ

1− ρ

i =1

i =1

i =1

(2- 13)

Chú ý rằng tổng bắt đầu từ i=1, do sự kiện khách hàng đợi chỉ đúng

khi có nhiều hơn 0 khách hàng trong hệ thống.

∞



∞



∞



E[ N Q ] = ∑ (i − 1) pi = ∑ ipi − ∑ pi =



Chú ý rằng (i-1)!, do đang tìm số lượng khách hàng trung bình trong

hàng đợi.

Thời gian trung bình trong hệ thống



Thời gian này có thể được phân chia thành hai thành phần :





Thời gian đợi







Thời gian phục vụ



Tính toán các tham số hiệu năng này đòi hỏi những giả thiết thêm dựa

trên đặc tính của hệ thống hàng đợi :





Quy tắc phục vụ khách hàng : Giả sử quy tắc “ first-come, first

served” là khách hàng được phục vụ theo thứ tự như khi đến hệ

thống







Phân bố trạng thái ổn định pk, k=0,1,…, cũng giống như phân bố

xác suất của số lượng khách hàng trong hệ thống.







Thời gian phục vụ dư trung bình của khách hàng sẽ dùng để phục

vụ khi tiến trình đến xảy ra với tốc độ 1/µ, cũng giống như vậy. Vì

vậy được gọi là đặc tính không nhớ.



Sử dụng các giả thiết cho thời gian trung bình trong hệ thống của

khách hàng :

∞

∞

k

1

k +1

1

pk + ∑ pk = ∑

pk =

µ (1 − ρ )

k =0 µ

k =0 µ

k =0 µ

∞



E [W ] = ∑



(2- 14)



Thời gian trung bình trong hàng đợi (thời gian đợi để được phục vụ)

9



Với các giả thiết trên ta có:

∞

k

ρ

E WQ = ∑ pk =

µ (1 − ρ )

k =0 µ



[ ]



(2- 15)



Chú ý rằng thời gian trung bình trong hàng đợi bằng với thời gian trung

bình hệ thống trừ đi thời gian phục vụ:



[ ]



E WQ = E [W ] −



1

1

1

ρ

=

− =

µ µ (1 − ρ ) µ µ (1 − ρ )



(2- 16)



Có thể có khả năng rằng khách hàng phải chờ để được phục vụ

Sử dụng phân bố trạng thái ổn định pk, k=0,1,…ta chú ý rằng lượng

khách hàng đến luôn phải đợi để được phục vụ nếu số lượng khách

hàng lớn hơn 0 trong hệ thống.

Vì vậy,

Pwait=1-p0=ρ



(2- 17)



Sử dụng server

Ý nghĩa vật lý của tham số hiệu năng là nó đưa ra khoảng thời gian khi

server bận. vì vậy,

Pbusy=1-p0=ρ



(2- 18)



Các cách tiếp cận đã trình bày được sử dụng để phân tích bất kỳ một

hệ thống hàng đợi đều phải có các giả thiết sau:



Tiến trình đến là tiến trình poisson, có nghĩa là khoảng thời gian

đến được phân bố theo hàm mũ.





Tiến trình đến với tốc độ đến thay đổi.







Hệ thống có một hoặc nhiều server







Thời gian phục vụ có dạng phân bố hàm mũ







Tiến trình đến là độc lập với các tiến trình phục vụ và ngược lại







Có vô hạn các vị trí đợi hữu hạn trong hệ thống



Tất cả các giả thiết tạo thành lớp đơn giản nhất của hệ thống hàng đợi.

2.2. Nhắc lại các khái niệm thống kê cơ bản

2.2.1. Tiến trình điểm

Các tiến trình đến là một tiến trình điểm ngẫu nhiên, với tiến trình này

chúng ta có khả năng phân biệt hai sự kiện với nhau. Các thông tin về

sự đến riêng lẻ (như thời gian phục vụ, số khách hàng đến) không cần

biết, do vậy thông tin chỉ có thể dùng để quyết định xem một sự đến có

thuộc quá trình hay không.



10