Đặc tính của tiến trình Poisson :
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1016.25 KB, 144 trang )
∞
E ( k ) = ∑ ( k ) = λT
kp
(2- 26)
k =0
2
Phương sai : σ k = E (k 2 ) − E 2 (k )
hay:
2
σ k = E (k ) = λT
(2- 27)
Tham số λ là hằng số tỷ lệ, được xem là tham số tốc độ: λ =
E (k )
T
Phương trình (2-25) mô tả tốc độ đến trung bình của tiến trình Poisson.
Bình thường giá trị trung bình E(k) tiến tới không tương đương với λ T
lớn: σ k / E (k ) = 1 / λ.T với nghĩa là λ T lớn, phân bố có quan hệ chặt
chẽ với giá trị trung bình λ T. Do đó nếu một thông số (ngẫu nhiên) số
các tiến trình đến n trong khoảng thời gian T lớn (‘lớn’ theo nghĩa λ T
>>1, hoặc T >> 1/ λ ), n/T có thể đánh giá λ . Cũng chú ý là
p(0) = e −λT . Khi λ T tăng với phân bố đỉnh E (k) = λ T, xác suất không
có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian T tiến đến không với e mũ
T.
2.3. Định luật Little
Xem xét một hệ thống hàng đợi, khách hàng đến là một tiến trình ngẫu
nhiên. Các khách hàng đến hệ thống ở các thời điểm ngẫu nhiên và
chờ được phục vụ thì khách hàng sẽ rời khỏi hệ thống.
2.3.1. Công thức Little
Chúng ta có ký hiệu như sau:
N (t ) = Số cuộc gọi đến hệ thống tại thời điểm t.
α t = Số cuộc gọi đi đến hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
β t = Số cuộc gọi rời khỏi hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
Ti = Thời gian của cuộc gọi thứ i trong hệ thống (thời gian phục vụ).
Như vậy:
N t - Số lượng cuộc gọi trung bình đến hệ thống trong (0,t) là :
Nt =
1t
N t dt
t∫
0
αt
t
λt
-
Mật độ cuộc gọi trong khoảng (0,t) là :
Tt
-
Thời gian trung bình của cuội gọi trong hệ thống là :
Tt =
1
αt
∑
αt
i =1
Ti
Giả sử các giới hạn sau đây tồn tại :
14
λt =
N = lim N t ; λ = lim λt ;
t →∞
t →∞
T = lim Tt
t →∞
Có công thức sau:
N = λT
(2- 28)
Công thức trên có tên gọi là Định lý Little
Số cuộc gọi trung bình trong hệ thống bằng tích mật độ cuộc gọi
với thời gian chiếm kênh trung bình.
2.3.2. Chứng minh công thức Little
Chứng minh công thức Little bằng phương pháp hình học theo như
minh họa dưới đây.
Hình 2-8
Xét trong khoảng (0,t) :
t
Diện tích phần gạch chéo: S t = ∫ N t dt = ∫ [α (t ) − β (t )]
0
αt
Mặt khác diện tích này cũng bằng : S= 1. ∑ Ti
i =1
t
Như vậy
∫ N (t )dt = ∑ Ti
0
tức là :
αt
αt
i =1
N t = λt Tt (*)
Nếu giới hạn sau đây tồn tại :
15
T
αt ∑ i
1 t
i =1
N t dt =
t ∫o
t αt
N = lim N t ; λ = lim λt ;
t →∞
t →∞
Từ (*) và (**)
N = λT
T = lim Tt (**)
t →∞
Công thức được chứng minh
2.4. Các mô hình hàng đợi
2.4.1. Ký hiệu Kendall
Bất kỳ hệ thống xếp hàng nào cũng được mô tả bởi :
Tiến trình đến
Nếu các khách hàng đến vào các thời điểm t1, t2 … tj thì các biến số
ngẫu nhiên Pj=tj-tj-1 được gọi là các thời điểm giữa các lần đến. Các
thời điểm này thường được giả thiết là các biến số ngẫu nhiên độc lập
và được phân bố đồng nhất IID (Independent and Identycally
distributed). Các tiến trình đến thông dụng nhất là :
M: Tiến trình mũ (là tiến trình Markov hay tiến trình không nhớ)
Er: Tiến trình Erlang bậc r
Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r
D: Tiến trình tất định (deterministic)
G: Tiến trình chung
Tiến trình phục vụ
Thời gian mà mỗi công việc tiêu tốn cần thiết tại server gọi là thời gian
phục vụ. Các thời gian phục vụ thường giả thiết là các biến số ngẫu
nhiên IID. Các tiến trình phục vụ thông dụng nhất cũng giống như thời
gian đến.
Số lượng các bộ server: Số lượng các server phục vụ cho hàng đợi
Dung lượng hệ thống
Kích thước bộ nhớ đệm cực đại
Qui mô mật độ
Số lượng các công việc đến tại hàng đợi. Qui mô mật độ luôn là hữu
hạn trong các hệ thống thực. Tuy nhiên phân tích hệ thống với qui mô
mật độ lớn sẽ dễ dàng hơn nếu giả thiết rằng qui mô mật độ là vô hạn.
Qui tắc phục vụ
Thứ tự mà theo đó các công việc trong hàng xếp được phục vụ. Các
qui tắc phổ biến nhất là đến trước phục vụ trước FCFS (First Come
First Served), đến sau phục vụ trước LCFS (Last Come First Served),
theo vòng tròn RR (Round Robin), thời gian xử lý ngắn nhất phục vụ
trước SPT (Shortest Procesing Time First) và thời gian xử lý ngắn nhất
được đề cử SRPT (Shortest Remaining Processing Time First)
Ký hiệu Kendall
A/S/m/B/K/SD được sử dụng rộng rãi để mô tả hệ thống xếp hàng
16
A: Phân bố thời gian giữa các lần đến
S: Phân bố thời gian phục vụ
m: Số lượng server
B:Kích thước bộ đệm
K: Quy mô mật độ
SD: Quy tắc phục vụ
Ví dụ hàng đợi M/D/1: M có nghĩa tiến trình đến là tiến trình Markov
không nhớ (với thời gian giữa các lần đến theo hàm mũ); D thời gian
phục vụ luôn như nhau (tất định); 1 có một server duy nhất phục vụ.
Phần B/K/SD của ký hiệu bị loại trừ để cho thấy rằng dung lượng của
hệ thống và qui mô mật độ là vô hạn và qui tắc phục vụ là FCFS.
2.4.2. Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death)
Trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng số các khách hàng n
trong một hệ thống. Khi có một khách hàng mới đến thì trạng thái của
hệ thống sẽ thay đổi sang n+1, khi có một khách hàng ra đi thì trạng
thái hệ thống sẽ thay đổi sang n-1, ta có lược đồ chuyển tiếp trạng thái
là quá trình sinh tử.
Hình 2-9. Chuỗi Markov của một quá trình sinh-tử
λn : Tốc độ của lần đến n
µ n : Tốc độ của lần đi
Pn: Xác suất ổn định trạng thái n của quá trình sinh – tử tại trạng thái n
λ0 λ1 ...λ n −1
Pn =
.P0
(2- 29)
µ1 µ 2 ...µ n
P0 - xác suất ở trạng thái 0, Pn - xác suất ở trạng thái n
2.4.3. Hàng đợi M/M/1
Lược đồ trạng thái
17
