Đầu tiên ta xét các trường hợp bài toán va chạm cơ bản :

Nhân hai vế của phương trình này với m1 ta có :

m1 (v10 + v1 ) = m1 (v2 + v20 )

(3)

Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm :

2m v − (m1 − m2 )v20

v2 = 1 10

(4)

m1 + m2

Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m 1 và m2 hoàn toàn tương đương nhau nên trong

công thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận tốc của quả

cầu thứ nhất sau va chạm:

2m2 v20 − (m2 − m1 )v10

v1 =

(5)

m1 + m2

Ta xét một trường hợp riêng của biểu thức (4) và (5) :

Giả sử hai quả cầu hoàn toàn giống nhau , tức là m1 = m2. Từ (4) và (5) ta có :



v2 = v10

v1 = v20



Nghĩa là hai quả cầu sau va chạm trao đổi vận tốc cho nhau : quả cầu thứ nhất có vận

tốc của quả cầu thứ hai trước khi có va chạm và ngược lại.



Hình sau minh họa trường hợp một trong hai quả cầu trước va chạm đứng yên :

Hình bên cho thấy sau va chạm, quả cầu thứ hai có vận tốc v 2 = v10 = 0, nghiã là nó

đứng yên như quả cầu thứ nhất trước khi va chạm, còn quả cầu thứ nhất sau va chạm lại

có vận tốc v1 = v20 nghĩa là nó chuyển động như quả cầu thứ hai trước khi va chạm. Hai

quả cầu đã thay đổi vai trò cho nhau. Nếu ma sát ở điểm treo dây rất nhỏ thì các quả cầu

sẽ lần lượt lúc đứng yên lúc chuyển động xen kẽ nhau.

b) Va chạm mềm:

Người ta gọi va chạm giữa các vật là va chạm mềm nếu sau va chạm hai vật dính liền

với nhau thành một vật. Trong va chạm mềm một phần động năng của các quả cầu đã

chuyển thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Dĩ nhiên trong va chạm

mềm ta không có sự bảo toàn cơ năng của các vật.

Định luật bảo toàn động lượng dẫn đến phương trình :



r

r

r

m1v10 + m2v20 = (m1 + m2 )v



r

trong đó v là vận tốc của vật sau va chạm. Từ đó, ta tính được vận tốc của các vật sau

va chạm :

Bài toán va chạm - Trần Quang Hiệu - Vũ Thị Hảo



8



r

r

r m1v10 + m2v20

v=

m1 + m2



(6)



Ta hãy tính phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm :

Động năng của hai vật trước va chạm :

1

1

2

2

K 0 = m1v10 + m2v20

2

2

Động năng của chúng sau va chạm :

r

r

1

(m1v10 + m2v20 ) 2

2

K = (m 1 + m2 )v =

2

2(m 1 + m2 )

Phần

động năng tổn

hao trong

quá

trình

va

chạm

là

:

1 m1m2

∆K = K 0 − K =

(v10 − v20 ) 2 > 0

(7)

2 m1 + m2

Biểu thức trên chứng tỏ rằng động năng của các quả cầu luôn luôn bị tiêu hao thành

nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm.

Muốn đập vỡ một viên gạch, tức là muốn chuyển động năng của búa thành năng lượng

biến dạng làm vỡ viên gạch thì theo (7) ta cần tăng vận tốc v 10 của búa trước khi va chạm,

tức là phải đập búa nhanh. Ngược lại, khi đóng đinh ta phải làm giảm phần động năng

tiêu hao vì ta muốn chuyển động năng của búa thành động năng của đinh ấn sâu vào gỗ.

Muốn vậy, phải tăng khối lượng m1 của búa để đạt được động năng của búa vẫn lớn khi

mà vận tốc v10 của búa không lớn , nhờ vậy mà giảm được phần động năng tiêu hao thành

nhiệt.



(*) Áp dụng :



..



v

Bài toán va chạm - Trần Quang Hiệu - Vũ Thị Hảo



Sau đây chúng ta sẽ trình bày một áp

dụng của va chạm mềm để xác định vận

tốc ban đầu của đầu đạn khi bay ra khỏi

nòng súng

......Để xác định vận tốc v10 của viên

đạn có khối lượng m1 khi bay ra khỏi

nòng súng, người ta bắn viên đạn vào

một bao cát có khối lượng m2 đứng yên

(v20 = 0). Sau va chạm, viên đạn và bao

cát dính vào nhau và có cùng vận tốc là

. Bao cát được treo bằng một thanh kim

loại cứng có chiều dài l . Đầu thanh có

9



gắn một lưỡi dao O làm trục quay. Nhờ động năng sau va chạm mà hệ quay đi một góc θ ,

và được nâng lên một độ cao h so với vị trí cân bằng. Tất cả động năng của hệ đã chuyển

thành thế năng. Đo góc θ , biết m1, m2 và l ta có thể xác định được vận tốc ban đầu v10 của

viên đạn khi bay ra khỏi nòng súng. Thật vậy, áp dụng (IV.6) và để ý rằng v20 = 0 ta có :



v=



m1v10

m1 + m2



Từ đó có thể tính động năng sau va chạm của hệ là :

2

1

1 m12 v10

K = (m1 + m2 )v 2 =

2

2 (m1 + m2 )

Thế năng của hệ ở vị trí được xác định bởi góc θ là :



U = (m1 + m2 ) gh = (m1 + m2 ) gl (1 − cosθ )

Theo định luật bảo toàn cơ năng :

2

1 m12 v10

(m1 + m2 ) gl (1 − cosθ ) =

2 (m1 + m2 )

Dựa vào hệ thức lượng giác :

θ 

1 − cosθ = 2sin 2  ÷

2

Ta có thể biến đổi phương trình trên thành :

2



 θ   m1  2

4 gl sin  ÷ = 

÷ v10

 2   m1 + m2 

Từ đó tính được:

 m + m2   θ 

v10 = 2 gl  1

÷sin  ÷

m1   2 



Hệ thống bố trí như trên cho phép ta xác định được vận tốc của viên đạn khi đo góc

lệch θ , do đó được gọi là con lắc thử đạn.

2



c/ Va chạm thật giữa các vật:

Thực tế, va chạm giữa các vật không hoàn toàn đàn hồi cũng như không phải là va

chạm mềm mà là trường hợp trung gian giữa hai trường hợp trên. Trong quá trình va

chạm, một phần động năng của các vật đã chuyển thành nhiệt và công biến dạng mặc dù

sau va chạm hai vật không dính liền nhau mà chuyển động với những vận tốc khác nhau.

Từ thời Niutơn, bằng thực nghiệm người ta đã xác định được rằng trong va chạm thật

giữa các vật thì tỉ số e của vận tốc tương đối ( tức là hiệu của hai vận tốc ) sau va chạm

(v1 − v2 ) và vận tốc tương đối trước va chạm (v10 − v20 ) chỉ phụ thuộc vào bản chất của các

vật va chạm :



−e =



v1 − v2

v10 − v20



Bài toán va chạm - Trần Quang Hiệu - Vũ Thị Hảo



10



Tỉ số e gọi là hệ số đàn hồi.

Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi , từ biểu thức (3) ta suy ra :



v1 − v2 = − (v10 − v20 )



Như vậy, đối với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì e = 1. Trong va chạm mềm thì vì sau

va chạm hai vật cùng chuyển động cùng với vận tốc v như nhau nên vận tốc tương đối

của chúng sau va chạm bằng không, do đó e = 0.Đối với va chạm của các vật thật thì e có

gia trị giữa 0 và 1

Niutơn đã xác định được với thủy tinh thì e = 15/16 còn đối với sắt thì e = 5/9.

Biết hệ số đàn hồi e , ta có thể xác định được vận tốc sau va chạm của các vật và phần

động năng tiêu hao trong va chạm . Thật vậy , từ định nghĩa của hệ số đàn hồi e ở trên và

định luật bảo toàn động lượng ta có hệ phương trình :



v1 − v2 = −e(v10 − v20 )

m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20



Muốn giải hệ phương trình này, chúng ta nhân hai vế của phương trình đầu với m 2 rồi

cộng phương trình thu được với phương trình thứ hai của hệ ta được :

(m1 + m2 )v1 = ( m1 + m2 )v10 − m2 (e + 1)(v10 − v20 )

Từ đó tính được :

m (e + 1)(v10 − v20 )

v1 = v10 − 2

m1 + m2

Tương tự , ta tìm được :



v2 = v20 −



m1 (e + 1)(v20 − v10 )

m1 + m2



Phần động năng tiêu hao trong va chạm là :

1

1

1

1

2

2

2

∆K = K 0 − K = m1v10 + m2v20 − m1v12 m2v2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

∆K = m1 (v10 − v12 ) + m2 (v20 − v2 )

2

2

1

1

∆K = m1 (v10 − v1 )(v10 + v1 ) + m2 (v20 − v2 )(v20 + v2 )

2

2

Từ các biểu thức của v1 và v2 mà ta tìm được ở trên ta có đẳng thức sau :

mm

m1 (v10 − v1 ) = − m2 (v20 − v2 ) = 1 2 (e + 1)(v10 − v20 )

m1 + m2

Vậy :

1 m1m2

∆K =

(e + 1)(v10 − v20 ) [ (v10 + v1 ) − (v20 + v2 ) ]

2 m1 + m2

Mặt khác : (v10 + v1 ) − (v20 + v2 ) = (v10 + v20 )(1 − e)

1 m1m2

(1 − e 2 )(v10 − v20 )2

Cuối cùng: ∆K =

2 m1 + m2

Bài toán va chạm - Trần Quang Hiệu - Vũ Thị Hảo



11



Từ biểu thức trên , ta thấy trong va chạm hoàn toàn đàn hồi (e = 1) thì ∆K = 0, tức là

không có sự tổn hao động năng của các quả cầu sau va chạm. Trong va chạm mềm (e =

0) thì biểu thức trên hoàn toàn trùng với biểu thức (7) mà ta đã tính được trước đây.

4. Các dạng bài toán hay và khó:

4.1 Kích thích dao động bằng va chạm (dành cho học sinh lớp 12)

Phương pháp

+ Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đang đứng yên.

2



v

V =

M 0

1+



m



mv0 = mv + MV



⇒

+ Va chạm đàn hồi:  2

M

2

2

1−

mv0 = mv + MV



m v

v =

0

 1+ M



m



1

mv0 = ( m + M )V ⇒ V =

v

M 0

+ Va chạm mềm:

1+

m



Bài 1: Cho một hệ dao động như hình vẽ

bên. Lò xo có khối lượng không đáng kể, độ

cứng k = 30 ( N / m ) . Vật M = 200 ( g ) có thể

trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm

ngang. Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng

một vật m = 100 ( g ) bắn vào M theo phương

nằm ngang với vận tốc v0 = 3 ( m / s ) . Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao

động điều hoà. Xác định vận tốc của hệ ngay sau va chạm. Viết phương trình dao động

của hệ. Chọn trục toạ độ Ox trùng với phương dao động, gốc toạ độ O là vị trí cân bằng,

r

chiều dương của trục cùng chiều với chiều của v0 . Gốc thời gian là lúc va chạm.

Giải

+ Va chạm mềm:

mv0 = ( m + M ) V ⇒ V =



1

v = 1 ( m / s ) = 100 ( cm / s )

M 0

1+

m



V là vận tốc của hệ ngay sau va chạm

k

30

=

= 10 (rad / s ) .

M +m

0,2 + 0,1

+ Phương trình dao động có dạng: x = A sin (10t + ϕ ) , vận tốc: v = 10 A cos(10t + ϕ ) .



+ Tần số góc của hệ dao động điều hoà: ω =



Bài toán va chạm - Trần Quang Hiệu - Vũ Thị Hảo



12



 x t =0 = 0



v t =0 = 100 ( cm / s )





+ Thay vào điều kiện đầu: t = 0 ⇒ 

 A sin ϕ = 0

 A = 10 ( cm )

⇒

⇒

10 A cos ϕ = 100

ϕ = 0



+ Vậy phương trình dao động là: x = 10 sin 10t ( cm ) .

ĐS: V = 100 ( cm / s ) , x = 10 sin 10t ( cm ) .

Bài 2: Một con lắc lò xo, gồm lò xo có khối lượng không đáng kể và có độ cứng

k = 50 ( N / m ) , vật M có khối lượng 200 ( g ) , dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm

ngang với biên độ A0 = 4 ( cm ) . Giả sử M đang dao động thì có một vật m có khối lượng

50 ( g ) bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v 0 = 2 2 ( m / s ) , giả thiết là va chạm

không đàn hồi và xẩy ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Sau va chạm hai vật gắn

chặt vào nhau và cùng dao động điều hoà.

1) Tính động năng và thế năng của hệ dao động tại thời điểm ngay sau va chạm.

2) Tính cơ năng dao động của hệ sau va chạm, từ đó suy ra biên độ dao động của hệ.

Giải

+ Vì va chạm xẩy ra tại thời điểm lò

xo có độ dài lớn nhất nên vận tốc của M

ngay trước lúc va chạm bằng không. Gọi

V

là vận tốc của hệ ( M + m ) ngay sau va chạm. Sử dụng định luật bảo toàn động lượng, ta

có:



mv0 = ( M + m )V ⇒ V =



1

1

v0 =

.2 2 = 0,4 2 ( m / s )

M

0,2

1+

1+

m

0,05



1) Động năng của hệ ngay sau va chạm:

Ed



( M + m )V 2

=

2



( 0,2 + 0,05) (0,4

=

2



2



)



2



= 0,04 ( J )



+ Tại thời điểm đó vật có li độ x = A0 = 4 ( cm ) = 0,04 ( m ) nên thế năng đàn hồi:

Et =



kx 2 50.0,04 2

=

= 0,04 ( J )

2

2



2) Cơ năng dao động của hệ sau va chạm: E = E d + Et = 0,08 ( J )

kA 2

⇒ A=

2



2E

2.0,08

=

= 0,04 2 ( m ) = 4 2 ( cm )

k

50

ĐS: 1) Et = E d = 0,04 ( J ) ; 2) E = 0,08 ( J ) ; A = 4 2 ( cm )

Bài 3: Một con lắc lò xo, gồm lò xo, có độ cứng k = 50 ( N / m ) và vật nặng

M = 500 ( g ) dao động điều hoà với biên độ A0 dọc theo trục Ox trên mặt phẳng nằm

500

( g ) bắn vào M theo phương nằm ngang với

ngang. Hệ đang dao động thì một vật m =

3

vận tốc v0 = 1 ( m / s ) . Giả thiết va chạm là hoàn toàn đàn hồi và xẩy ra vào thời điểm lò xo



+ Mặt khác: E =



có chiều dài nhỏ nhất. Sau khi va chạm vật M dao động điều hoà làm cho lò xo có chiều

dài cực đại và cực tiểu lần lượt là l max = 100 ( cm ) và l mim = 80 ( cm ) . Cho g = 10 ( m / s 2 ) .

Bài toán va chạm - Trần Quang Hiệu - Vũ Thị Hảo



13