Chương 2 Ước lượng các tham số của phân phối ổn định

Vì ước lượng này là tổ hợp tuyến tính của các thống kê thứ tự, nó có phân phối

tiệm cận với phân phối chuẩn. Một nghiên cứu dùng phương pháp mô phỏng Monte

Carlo chỉ ra rằng sai lệch tiệm cận của ước lượng đó là bé hơn 0.4%.

Có thể áp dụng phương pháp tương tự để ước lượng α . Ta xác định tham số

dáng điệu đuôi của phân phối thông qua ước lượng

zf =



q f − q1− f

2γ



(2.2)



Sau đó sử dụng một bảng thích hợp cho giá trị của α có phân vị lý thuyết phù hợp

với z f . Lựa chọn mức f là một vấn đề khó khăn. Vì ta cần ước lượng tham số dáng

điệu đuôi nên phải chọn giá trị của f đủ lớn. Tuy nhiên, nếu giá trị của f quá lớn

thì sẽ dẫn tới sự gia tăng độ biến động mẫu. Một nghiên cứu bằng phương pháp

Monte Carlo chỉ ra rằng các giá trị phân vị từ 0.95 đến 0.97 sẽ khống chế được sự

biến động giá trị thực của α

Một ước lượng tinh tế và mở rộng hơn phương pháp ước lượng phân vị cơ sở do

McCulloch đề xuất (1986) sau đó. Xét phân phối S1 (α , β , γ , δ ). Các phân vị

q.95 − q.05

q.75 − q.25

q.95 + q.05 − 2q.5

νβ =

q.95 − q.05



να =



(2.3)



không phụ thuộc vào γ và δ . Dựa vào nhận xét đó, tác giả lập bảng là một hàm của



α và β . Từ đó ước lượng hai tham số trên bằng cách đối chiếu sự tương thích giá

trị của hàm số đó tính từ mẫu số liệu và tính theo phân phối lý thuyết.

Khi có được ước lượng của α và β , chúng ta chuyển sang ước lượng tham số tỷ

lệ γ . Các giá trị của đại lượng



νγ =



q.75 − q.25

γ



được lập thành bảng như là hàm của α và β , như vậy



γ=



q.75 − q.25



νγ α , β

35



.



(2.4)



Cuối cùng tham số vị trí δ được ước lượng như sau. Trước hết xét phép biến đổi





δ + β γ tan πα α = 1

2

ζ=



δ α = 1

Đại lượng



νγ =



ζ − q.5

γ



được lập thành bảng như là một hàm của α và β , từ đó ζ = q.5 + γνζ α , β và



δ = ζ − β γ tan



2.2



πα

.

2



(2.5)



Phương pháp dựa trên hàm đặc trưng



Ý tưởng ước lượng tham số cho phân phối ổn định bằng hàm đặc trưng thực

nghiệm do Press (1972) và Paulson, Holcomb và Leitch (1975) phát triển. Ý tưởng

của cách tiếp cận này là tính toán số để tìm được giá trị của các tham số làm cực

tiểu khoảng cách giữa hàm đặc trưng thực nghiệm và hàm đặc trưng lý thuyết. Cho

một mẫu y có n đơn vị, hàm phân phối thực nghiệm là



φ (t) =



1

n



n



∑ eity j =



j=1



1

n



n



∑ [cos (ty j ) − i sin (ty j )].



(2.6)



j=1



Cách tiếp cận trên nhằm làm cực tiểu giá trị của tích phân

+∞



−∞



2



φ (t) − φ (t) ω (t) dt



(2.7)



theo các tham số ổn định, với ω (t) là hàm trọng số được lựa chọn thích hợp để tiện

2



tính toán. Các tác giả đề xuất sử dụng ω (t) = e−t và tích phân trên được tính bằng

phương pháp cầu phương số. Bằng phương pháp mô phỏng các tác giả đã chỉ ra

rằng thủ tục ước lượng như trên chỉ hiệu quả đối với giá trị của γ gần 1 và giá trị δ

gần 0. Do đó họ đề xuất sử dụng phương pháp ước lượng hai bước, bước thứ nhất

36



tìm ra ước lượng thô cho các tham số vị trí và tỷ lệ. Sau đó dùng các ước lượng thô

đó để chuẩn hóa số liệu đưa về trường hợp δ = 0 và γ = 1 và áp dụng thủ tục ước

lượng nói trên.

Một cách tiếp cận khác được Koutrouvelis (1980) đề xuất. Tác giả này nhận

thấy logarithm của hàm đặc trưng theo cách tham số hóa 1 (1.11) được biểu diễn

với α = 1 thành

ln φ1 (t) = −|γ t|α + i δ t + |γ t|α sgn (t) β tan



πα

.

2



(2.8)



Phần thực của biểu thức trên là

ℜ [ln φ1 (t)] = −γ α |t|α ,

Bởi vậy

ln {−ℜ [ln φ1 (t)]} = α ln |t| + α ln γ .



(2.9)



Tương tự phần ảo của (1.64) được viết

ℑ [ln φ1 (t)] = δ t + |γ t|α sgn (t) β tan



πα

.

2



(2.10)



Do đó phương pháp tiếp cận theo đề xuất trên theo phương pháp bao gồm các bước:

1. Ước lượng γ và δ bằng phương pháp phân vị và tiêu chuẩn hóa các dữ liệu

2. Tính toán hàm đặc trưng thực nghiệm (1.62) và các giá trị mẫu của (1.65), (1.66)

qua

ℜ ln φ1 (t) = ln φ1 (t)



ℑ ln φ1 (t) = arctan







 ℜ φ1 (t) 

 ℑ φ (t) 

1



.



Việc xác định các điểm dùng để tính giá trị của hàm đặc trưng được tiến hành dựa

vào một bảng tra cứu lập sẵn (Koutrouvelis 1980).

3. Hồi quy ln −ℜ ln φ1 (t)



theo biến X = ln |t| (của 1.65); α bằng hệ số dốc



thu được, còn α lnγ bằng hệ số chặn chia cho α .



4. Hồi quy phần ảo của hàm đặc trưng thực nghiệm theo t và |γ t|α sgn(t) (của 1.66)

để đạt được ước lượng cập nhật của β và cho δ .

37



Phương pháp tiếp cận này về sau được Koutrouvelis (1981) cải tiến bằng cách

sử dụng phương pháp hồi quy bình phương bé nhất suy rộng lặp với phương sai của

các sai số hồi quy được lấy làm trọng số.

Một kỹ thuật tinh tế khai thác các hàm đặc trưng gần đây được Kogon và

Williams (1998) đưa ra . Các tác giả sử dụng dạng tham số hóa 0 của hàm đặc

trưng (1.23). Trong trường hợp này, sử dụng phương trình hồi quy như phần trước,

ta có

ln {−ℜ [ln φ0 (ti )]} = α ln |ti | + α ln γ + ui ,

πα

|γ ti |α −1 − 1 + vi .

ℑ [ln φ0 (ti )] = δ ti + β γ ti tan

2



(2.11)



Ngoài việc sử dụng cách tham số hóa khác, sự khác biệt giữa cách tiếp cận này

với cách tiếp cận của Koutrouvelis (1980) nằm ở sự lựa chọn các điểm mà tại đó

hàm đặc trưng được ước lượng. Thay vì việc tra bảng, Kogon và Williams (1998)

sử dụng một khoảng cố định độc lập với các tham số tỷ lệ và vị trí. Quan sát thấy

hàm đặc trưng mẫu được xác định và bằng bản sao lý thuyết của nó tại t = 0. Vì

vậy khoảng giá trị tối ưu được đề xuất là t ∈ [0.1, 1.0]. Kiểm tra bằng mô phỏng



cho thấy số lượng tối ưu các điểm cách đều nhau trong khoảng nêu trên nên là 10.



Một nghiên cứu mô phỏng chi tiết đã chỉ ra phương pháp ước lượng này có hiệu

quả khá ấn tượng. Nói chung, nó có vẻ tốt hơn phương pháp phân vị ( McCulloch

1986). Tuy nhiên, hiệu quả của nó kém hơn phương pháp bình phương bé nhất suy

rộng của Koutrouvelis (1981), nhất là khi α nhỏ. Tuy vậy, tính kém chính xác này

được bù đắp lại bằng công thức tính toán đơn giản của nó, vì không yêu cầu tra

bảng và cũng không phải dùng phương pháp lặp.



2.3



Phương pháp hợp lý cực đại



Phương pháp hợp lý cực đại lần đầu tiên được Du-Mouchel (1973a) đưa ra và

chỉ ra rằng ước lượng này phù hợp với lý thuyết tiệm cận tiêu chuẩn. Tác giả chú ý



38



hàm hợp lý có hình dáng lạ vì

lim



α →0,x→δ



L (x; α , δ ) = +∞.



Do đó xuất hiện điểm kỳ dị khi giá trị của quan sát gần tới tham số vị trí δ . Khi

biết δ , điều này không thể xảy ra vì P (X = δ ) = 0. Vấn đề này có thể khắc phục

bằng cách hạn chế các giá trị chấp nhận được của α để ε < α ≤ 2, với ε nhỏ tùy ý.

Vì hàm hợp lý không liên tục tại α = 1, ta sẽ loại trừ giá trị tham số này. Ký hiệu



không gian mẫu hạn chế là Θ, và C là môt tập con mở tùy ý của Θ. Khi đó

1. Hàm mật độ f (x; θ ) liên tục θ ∈ Θ và có đạo hàm riêng cấp một, cấp hai liên

tục ∀x và ∀θ0 ∈ Cc , ở đây Cc là phần bù của C.



2. Hàm mật độ đồng thời của mẫu thỏa mãn

Eθ0 sup ln

θ ∈Cc



∏n f (xi ; θ )

i=1

< ∞,

n

∏i=1 f (xi ; θ0 )



∀θ0 ∈ Cc .



3. Cho g(θ ) và H(θ ) tương ứng là gradient và ma trận Hessian của hàm hợp lý.

Khi đó tồn tại một hàm m(x) sao cho

+∞



−∞



m(x) f (x; θ )dx ≤ M < +∞,



giá trị tuyệt đối của định thức H(θ ) bị chặn bởi m(x).

4. ∀θ ∈ Cc , E [g (θ )] = 0 và I(θ ) = −E [H (θ )]



5. ∀θ ∈ ⊖ và ∀θ0



∈ Cc ,



+∞



−∞



| f (x; θ ) − f (x; θ0 )| dx > 0.



6. Ma trận thông tin I không suy biến ∀θ ∈ Cc .



Định lý 2.1 (Ước lượng hợp lý cực đại). Với mọi θ ∈ Θ ước lượng hợp lý cực đại

là vững và tiệm cận chuẩn với ma trận phương sai- hiệp phương sai I −1 (θ )



Trong thực tế, xấp xỉ chuẩn chỉ đúng với các giá trị nhất định của α và β ; vì khi

hai tham số này xấp xỉ tới giới hạn của chúng, hàm hợp lý sẽ suy biến với một cỡ

mẫu cố định. Tuy vậy, kết quả này đẹp và khuyến khích người ta lựa chọn sử dụng

phương pháp hợp lý cực đại thay vì dùng các phương pháp khác đã nêu trên đây.

39



Thật đáng tiếc, phương pháp này bị cản trở rõ rệt vì hàm mật độ không có dạng

hiển. Vì vậy để đánh giá hàm hợp lý phải dùng biến đổi ngược hàm đặc trưng đối

với từng vector tham số khác nhau, do đó rất tốn thời gian tính toán.

Đề xuất đầu tiên để vượt qua khó khăn này được DuMouchel (1971) đưa ra.

Ông đề nghị phân chia dữ liệu thành thành các khoảng có độ rộng cố định. Sau

đó dùng phép biến đổi Fourier nhanh để đạt được hàm mật độ của nhóm quan sát

trung tâm và mở rộng tiệm cận (1.42) cho giá trị quan sát biên. Thông tin bị mất

mát liên quan đến kỹ thuật ghép nhóm được phân tích trong DuMouchel (1975).

Gần đây, hai phương pháp tính toán ước lượng hợp lý cực đại đã được đưa

ra. Phương pháp thứ nhất là của Nolan (2002), sử dụng biểu diễn chuỗi của Nolan

(1997) được báo cáo trong (1.40). Phương pháp thứ hai, do Mittnik, Rachev, Doganoglu và Chenyao (1999) đưa ra, sử dụng phép biến đổi phân cực tuyến tính Fourier

nhanh của hàm đặc trưng. Cả hai phương pháp cho thấy giảm đáng kể sai số bình

phương trung bình so với phương pháp phân vị của McCulloch (1986).



2.4



Kiểm định đánh giá dáng điệu đuôi của phân

phối ổn định



Theo nguyên tắc, vì phân phối ổn định có bốn tham số chứ không phải hai tham

số như phân phối chuẩn, nên chắc chắn dùng phân phối ổn định sẽ có thể khớp với

dữ liệu tốt hơn phân phối chuẩn. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, dữ liệu thực

nghiệm lại khá gần với phân phối Gauss. Do vậy, về mặt phương pháp luận, việc

tiến hành kiểm định phân biệt giữa hai loại phân phối đó là rất quan trọng.

Vấn đề lựa chọn giữa phân phối chuẩn và phân phối ổn định được DuMouchel

(1983) đưa ra đầu tiên. Như ta đã thấy ở trên đây, đối với các giá trị nằm trong miền

giới hạn của không gian tham số, mọi ước lượng hợp lý cực đại sẽ có phân phối

tiệm cận chuẩn. Mặt khác, khi α gần đến 2, ước lượng đó sẽ có sai số chuẩn gần

tới 0. Điều này gây nên một vấn đề lớn cho việc tiến hành các phép kiểm định.



40



Vì khó khăn đó, người ta thường tiến hành việc kiểm định so sánh hai loại phân

phối nêu trên bằng các kỹ thuật trực quan. Bên cạnh kỹ thuật so sánh đồ thị của các

hàm mật độ, người ta còn dùng kỹ thuật so sánh các đồ thị p − p và q − q.



41



Chương 3



Mô hình thống kê đối với phân

phối ổn định

3.1



Mô hình tuyến tính với nhiễu ổn định



Sử dụng phân phối nặng đuôi là khá phổ biến trong việc mô hình hóa sai số

của các mô hình hồi quy tuyến tính. Phương pháp ước lượng bình phương bé nhất

cổ điển, khi phân phối sai số nặng đuôi mang lại ước lượng không hiệu quả, chịu

ảnh hưởng quá nhiều bởi tác động của các quan sát xa trung tâm.

Trình bày một cách hình thức, cho ma trận cỡ n × k của các biến giải thích X



và một vector k × 1 của tham số θ , ước lượng bình phương bé nhất cổ điển của mô

hình hồi quy tuyến tính khi sai số ε ∼ S1 (α , β , γ , 0) sẽ là



θ = θ + X ′X



−1



X′ .

ε



Do đó ước lượng này có phương sai vô hạn với bất kỳ α < 2. Khi α > 1, mặc dù

ước lượng là không chệch và vững, nhưng tốc độ hội tụ của ước lượng sẽ có bậc

n1/α −1 chứ không phải n−1/2 .

42



Các tính chất của ước lượng hợp lý cực đại đối với trường hợp đối xứng đã được

McCulloch (1998a) phân tích. Trong đó, tác giả chỉ ra rằng ước lượng hợp lý cực

đại của mô hình hồi quy với nhiễu ổn định có thể diễn giải như ước lượng bằng

phương pháp bình phương bé nhất có trọng số, với các trọng số giảm dần theo giá

trị của sai số ( các quan sát cực biên có trọng số bé hơn),

w (εi ) = −



3.2



∂ ln L (θ |εi ) 1

.

∂θ

εi



Mô hình hồi quy đối với các sai số α − ổn định



không chuẩn



Xem xét mô hình hồi quy

k



yi =



∑ xij β j + εi ,



i = 1, ..., N



(3.1)



j=1



với yi là các giá trị quan sát của một biến số phụ thuộc, xi j là giá trị quan sát của

các biến độc lập, β j là các hệ số chưa biết cần ước lượng và εi là các sai số độc lập

và cùng phân phối. Phương trình trên có thể viết dưới dạng ma trân như sau:

y = Xβ + ε,



(3.2)



với





y1











x11





 

 x21

 y2 



 

y =  . ,X =  .

 .

.

 .

.

yN

xN1



x12



...



x1k



x22

.

.

.



...

..

.



x2k

.

.

.



xN2



...



xNk







 

 

β1

ε1



 

 



β 2 

 ε2 



 

 

,β =  . ,ε =  . 



.

.



.

.

βk

εN



(3.3)



Ước lượng bình phương bé nhất cổ điển của β là



βOLS = X ′ X

43



−1



X ′ y,



(3.4)