2 Mô hình ARMA đối với mã cổ phiếu PAN

Bảng 2

Estimate



Std. Error



t value



Pr(>|t|)



(Intercept)



0.004870



0.003242



1.502



0.1333



Xt−1



1.154514



0.030831



37.447



<2e-16 ***



Xt−2



-0.099527



0.047201



-2.109



0.0352 *



Xt−3



0.014199



0.046868



0.303



0.7620



Xt−4



0.001535



0.047229



0.032



0.9741



Xt−5



-0.074232



0.030486



-2.435



0.0151 *



Residual standard error: 0.01699 on 1044 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949,

Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 4.074e+04 on 5 and 1044 DF, p-value: < 2.2e-16”.

Một số thống kê cơ bản của phần dư trong mô hình tự hồi quy AR (4.1) được trình bày

trong Bảng 3.

Bảng 3

Min

0.047580



Phân vị 25%



Median



Phân vị 75%



Max



-0.011016



-0.000666



0.010284



0.080295



Quan sát vào bảng 2 chúng ta thấy Xt−3 và Xt−4 có giá trị- p lớn hơn 0.05. Do đó, các

biến trễ Xt−3 và Xt−4 không có ý nghĩa thống kê. Vì vậy ta sử dụng mô hình tự hồi quy AR

Xt theo các biến Xt−1 , Xt−2 , Xt−5 , phương trình tự hồi quy

Xt = β1 Xt−1 + β2 Xt−2 + β3 Xt−5 + ζt



(4.2)



Sử dụng phần mềm thống kê R ta thu được kết quả ước lượng của mô hình tự hồi quy AR

(4.2), được trình bày trong bảng 4

Bảng 4

Estimate



Std. Error



t value



Pr(>|t|)



(Intercept)



0.004858



0.003239



1.500



0.1339



Xt−1



1.154079



0.030716



37.573



< 2e-16 ***



Xt−2



-0.093315



0.036932



-2.527



0.0117 *



Xt−5



-0.064267



0.015376



-4.180



3.16e-05 ***



Residual standard error: 0.01697 on 1046 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949,

Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 6.802e+04 on 3 and 1046 DF, p-value: < 2.2e-16.



51



Một số thống kê cơ bản của phần dư ζ trong mô hình tự hồi quy AR (4.2) được trình

bày trong Bảng 5

Bảng 5

Min



Phân vị 25%



Median



Phân vị 75%



Max



-0.010859



-0.000577



0.010254



0.080296



-0.047561



Bước thứ hai xây dựng mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA

Một quá trình được gọi là tự hồi quy trung bình trượt cấp (p, q), (ký hiệu ARMA(p, q))

với phần tử đổi mới ổn định nếu nó có dạng

p



q



i=1



Yt =



j=1



∑ ϕiYt−i + ∑ ψ j εt− j + εt ,



εt ∼ Sk (α , β , γ , 0) ∀t



(4.3)



Xét mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(3,5)

Xt = ϕ1 Xt−1 + ϕ2 Xt−2 + ϕ3 Xt−5 + ψ1 ζt−1 + ψ2 ζt−2 + ψ3 ζt−3 + ψ4 ζt−4 + ψ5 ζt−5 + εt

(4.4)

Trong đó, ϕi , ψi là các tham số cần ước lượng lần lượt ứng với các biến trễ Xt−i , ζt−i (là

phần dư của mô hình AR(4.2) được ước lượng từ bước 1), còn εt là phần dư của mô hình tại

thời điểm t.

Sử dụng phần mềm thống kê R ta thu được kết quả ước lượng của mô hình tự hồi quy

trung bình trượt ARMA(3,5)-(4.4), được trình bày trong bảng 6

Bảng 6

Estimate



Std. Error



t value



Pr(>|t|)



(Intercept)



0.0006028



0.0246610



0.024



0.981



Xt−1



1.9201865



5.2005603



0.369



0.712



Xt−2



-0.9225221



5.8258619



-0.158



0.874



Xt−5



0.0018681



0.6470716



0.003



0.998



ζt−1



-0.7656789



5.2000206



-0.147



0.883



ζt−2



-0.0602145



0.1961771



-0.307



0.759



ζt−3



0.0020383



0.2968632



0.007



0.995



ζt−4



0.0269643



0.3566722



0.076



0.940



ζt−5



-0.0775022



0.2781388



-0.279



0.781



52



Residual standard error: 0.01699 on 1036 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949,

Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 2.545e+04 on 8 and 1036 DF, p-value: < 2.2e-16.

Một số thống kê cơ bản của phần dư ε trong mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA

(3,5)-(4.4) được trình bày trong Bảng 7

Bảng 7

Min

-0.04744



Phân vị 25%



Median



Phân vị 75%



Max



-0.01080



-0.00050



0.01044



0.08058



Quan sát vào bảng 6 ta nhận thấy các biến Xt−5 , ζt−3 , ζt−4 có giá trị- p lớn hơn các biến

còn lại. Do đó chúng tôi thay mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(3,5)-(4.4) bằng

mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,3) như sau.

Xt = ϕ1 Xt−1 + ϕ2 Xt−2 + +ψ1 ζt−1 + ψ2 ζt−2 + ψ3 ζt−5 + εt



(4.5)



Ta thu được kết quả ước lượng của mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,3)(4.5), được trình bày trong bảng 8

Bảng 8

Estimate



Std. Error



t value



Pr(>|t|)



-0.000194



0.003425



-0.057



0.954850



Xt−1



2.035876



0.229197



8.883



< 2e-16 ***



Xt−2



-1.035766



0.228406



-4.535



6.44e-06 ***



ζt−1



-0.881368



0.231005



-3.815



0.000144 ***



ζt−2



-0.080663



0.047655



-1.693



0.090821



ζt−5



-0.088954



0.037612



-2.365



0.018212 *



(Intercept)



Residual standard error: 0.01697 on 1039 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949,

Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 4.082e+04 on 5 and 1039 DF, p-value: < 2.2e-16.

Một số thống kê cơ bản của phần dư ε trong mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA

(2,3)-(4.5) được trình bày trong Bảng 9.



53



Bảng 9

Min



Phân vị 25%



-0.047566



Median



Phân vị 75%



Max



-0.010736



-0.000569



0.010409



0.080728



Quan sát vào bảng 8 ta nhận thấy các biến ζt−2 , có giá trị- p lớn hơn 0.05. Như vậy, biến



ζt−2 không có ý nghĩa thống kê. Do đó chúng tôi thay mô hình tự hồi quy trung bình trượt

ARMA(2,3) trên bằng mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,2) như sau

Xt = ϕ1 Xt−1 + ϕ2 Xt−2 + +ψ1 ζt−1 + ψ2 ζt−5 + εt



(4.6)



Ta thu được kết quả ước lượng của mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,2), được

trình bày trong bảng 10

Bảng 10

Estimate



Std. Error



t value



Pr(>|t|)



(Intercept)



0.001463



0.003285



0.445



0.656162



Xt−1



1.741313



0.149287



11.664



< 2e-16 ***



Xt−2



-0.742410



0.148903



-4.986



7.22e-07 ***



ζt−1



-0.587268



0.152366



-3.854



0.000123 ***



ζt−5



-0.061248



0.033894



-1.807



0.071046



Một số thống kê cơ bản của phần dư ε trong mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA

(2,2)-(4.6) được trình bày trong Bảng 11.

Bảng 11

Min

-0.046322



Phân vị 25%



Median



Phân vị 75%



Max



-0.010541



-0.000488



0.010463



0.080191



Quan sát vào bảng 10 ta nhận thấy biến ζt−5 , có giá trị- p lớn hơn 0.05. Như vậy, biến



ζt−5 không có ý nghĩa thống kê. Do đó chúng tôi thay mô hình tự hồi quy trung bình trượt

ARMA(2,2) trên bằng mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,1) như sau

Xt = ϕ1 Xt−1 + ϕ2 Xt−2 + +ψ1 ζt−1 + εt



54



(4.7)



Ta thu được kết quả ước lượng của mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,1), được

trình bày trong bảng 12

Bảng 12

Estimate



Std. Error



t value



Pr(>|t|)



(Intercept)



0.002337



0.003253



0.719



0.472595



Xt−1



1.634016



0.137120



11.917



< 2e-16 ***



Xt−2



-0.635741



0.136851



-4.645



3.83e-06 ***



ζt−1



-0.480629



0.140626



-3.418



0.000656 ***



Một số thống kê cơ bản của phần dư ε trong mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA

(2,1)-(4.7) được trình bày trong Bảng 13.

Bảng 13

N

1044



Min



Max



Mean



Std



Skew



Kurtosis



-0.0465



0.0799



0.9e-06



0.1691e-01



0.2966



3.54



Mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA cổ điển giả định phần dư có phân phối chuẩn.

Bây giờ ta đi kiểm tra phần dư ε của mô hình ARMA(2,1)-(4.7) phân phối chuẩn hay không?

Sử dụng Shapiro-Wilk normality test của phần mềm thống kê R, chúng ta thu được kết quả

data: ε

W = 0.9932, p-value = 0.0001039

Nhận thấy p-value nhỏ hơn 0.05 do đó phần dư ε không có phân phối chuẩn, vậy phần dư ε

sẽ tuân theo luật phân phối nào?

Trước tiên chúng ta xem xét đồ thị hàm mật độ xác suất của ε .

Sử dụng phần mềm thống kê R chúng ta thu được đồ thị hàm mật độ xác suất của ε



55



Hình 4.1: Biểu diễn hàm mật độ xác suất của ε



4.3



Ước lượng các tham số phân phối ổn định của

phần dư



Sử dụng phần mềm stable.exe để ước lượng phần dư ε của mô hình tự hồi quy trung

bình trượt ARMA(2,1)-(4.6). Dùng cách tham số hóa S1 ta thu được kết quả ước lượng theo

ba phương pháp: Phương pháp hợp lý cực đại, phương pháp phân vị, phương pháp dựa trên

hàm đặc trưng được trình bày trong bảng 14.



56



Bảng 14

Phương pháp



α



β



γ



δ



Hợp lý cực đại



1.9282



0.99



0.116101e-01



0.29498E-03



Phân vị



1.8494



0.4101



0.110969e-01



0.106563e-03



Hàm đặc trưng



1.9703



1



0.116888e-01



-0.552291e-03



Kết quả ước lượng của ba phương pháp cho tham số α rất gần nhau. Đối với tham số β

phương pháp hợp lý cực đại và phương pháp hàm đặc trưng có kết quả rất gần nhau, và lệch

xa với phương pháp phân vị. Các nhà thống kê đã dùng phương pháp mô phỏng chứng minh

rằng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại cho kết quả ước lượng chính xác nhất, do đó

trong nghiên cứu này chúng ta lấy giá trị ước lượng của β = 0.99. Tham số γ có kết quả ước

lượng theo cả ba phương pháp rất gần nhau. Tham số vị trí δ được ước lượng theo ba phương

pháp rất gần 0 cho thấy thỏa mãn mô hình hồi quy tuyến tính.



4.4



Kiểm định tính phù hợp với phân phối ổn định

của sai số



4.4.1



Sử dụng kiểm định Kolmogorov-Smirnov



Sử dụng phương pháp kiểm định Kolmogorov-Smirnov, ta thực hiện theo các bước:

1. Chia miền giá trị của ε (-0.0465; 0.0799) thành 1000 khoảng và chiều dài mỗi khoảng là

0.1264e-03, khoảng đầu tiên bắt đầu bằng -0.0465.

Max − Min

i + Min

1000

2. Đếm số lượng điểm nằm trong mỗi khoảng, từ đó tính được hàm phân phối tích lũy thực

Xi =



nghiệm bằng công thức



số lượng mẫu Xi

N

CDFi được tính bằng cách sử dụng phần mềm thống kê R.

CDF i =



3. Tính CDFthi (hàm phân phối tích lũy lý thuyết) với sự hỗ trợ của phần mềm stable.exe



57