2 Phân phối ổn định

ing.) hàm đặc trưng của luật chia được vô hạn phải có dạng





+∞





1 + u2

itu

itu

dG (u) ,

e −1−

φ (t) = exp iδ t +





1 + u2

u2



(1.7)



−∞



với δ là một hằng số thực và G (u) là một hàm không giảm có biến phân bị chặn.

Khi u = 0, hàm dưới dấu tích phân được định nghĩa là



−t 2/ .

2



Sau đây là một định



nghĩa tương đương với tính chia được vô hạn, đôi khi được gọi là công thức Lévy.

Đặt

u



M (u) =

−∞

+∞



N (u) =

u



1 + v2

dG (v)

v2



∀u < 0;



1 + v2

dG (v)

v2



∀u > 0;



δ 2 = G 0+ − G 0− .

Khi đó (1.7) được viết lại thành



δ2 2

t +

φ (t) = exp iδ t −

2



0



−∞



+∞



+

0



iut

dM (u) +

1 + u2





iut

iut

e −1−

dN (u)



1 + u2



eiut − 1 −



(1.8)



Tiếp đây là định nghĩa trực quan hơn của phân phối ổn định.



Định nghĩa 1.5 (Tính ổn định, Samorodnitsky và Taqqu 1994). Một biến ngẫu

nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu và chỉ nếu cho các số dương bất kỳ

c1 , c2 , tồn tại một số dương c và một số thực d sao cho

cX + d = c1 X1 + c2 X2 ,



(1.9)



với X1 và X2 độc lập và có cùng phân phối với X. Nếu d = 0, X được gọi là ổn định

chặt.

16



Chú ý định nghĩa trên là tương đương với (1.3) đã sử dụng trong phần trước.

Một định nghĩa khác tương đương và trực quan hơn, được bắt nguồn từ (1.9).

Định nghĩa 1.6 (Ổn định). Một biến ngầu nhiên X được gọi là có phân phối ổn

định nếu và chỉ nếu cho một số tự nhiên bất kỳ n ≥ 2, tồn tại nột số dương Cn và



Dn sao cho



X=



X1 + X2 + ... + Xn

− Dn

Cn



(1.10)



Xi là bản sao độc lập của X. Nếu Dn = 0, X được gọi là ổn định chặt.

Như vậy, một biến ngẫu nhiên là ổn định nếu nó có thể được chia nhỏ ra thành

một loạt các biến ngầu nhiên giống hệt nhau thông qua các hằng số chuẩn hóa.

Từ định nghĩa (1.10), phân phối ổn định đại diện cho trường hợp đặc biệt chia

được vô hạn. Trái với (1.6), những số hạng Xi trong (1.10) có phân phối giống X

sau khi điều chỉnh tỉ lệ theo hằng số Cn .

Ví dụ 1.3. Phân phối chuẩn là ổn định. Thật vậy xét biến ngẫu nhiên X ∼ N µ , σ 2 .



Tổng của n bản sao độc lập của X có phân phối N nµ , nσ 2 . Vì vậy thiết lập

√

+...+Xn

− Dn .

Cn = n và Dn = (n − 1) µ , khi đó X = X1 +X2Cn

Định nghĩa 1.7 (Ổn định, miền hút). Một biến ngẫu nhiên X được gọi là ổn định

nếu nó có một miền hút khác rỗng, tức là nếu có một dãy các biến ngẫu nhiên Yi

độc lập, cùng phân phối sao cho

∑n Yi

d

i=1

− Dn − X

→

Cn

chọn Cn > 0 và Dn .



1.2.2



Hàm đặc trưng của phân phối ổn định



Cách đơn giản nhất để mô tả phân phối ổn định là đưa ra dạng hàm đặc trưng

của nó.



17



Định lý 1.4. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên ổn định S1 (α , β , γ , δ1 ) có dạng



φ1 (t) =



với 0 < α





πα

 exp iδ1t − γ α |t|α 1 − iβ sgn (t) tan



2

 exp iδ t − γ |t| 1 + iβ 2 sgn (t) ln |t|



1

π



β



2, −1



nếu α = 1

nếu α = 1



(1.11)



1, γ > 0 và δ ∈ R. Ngược lại nếu một biến ngẫu nhiên có



hàm đặc trưng dạng (1.11) thì biến ngẫu nhiên đó có phân phối ổn định.



Chứng minh. Chú ý định nghĩa ổn định (1.2) có thể hiểu dưới dạng hàm đặc trưng

ln φ



t

= ln φ

c



t

c1



t

c2



+ ln φ



+ iβ t,



với β = (d − d1 − d2 ). Vì phân phối ổn định là chia được vô hạn, nên ta sử dụng



biều thức (1.8) để viết lại biểu thức trên như sau



σ2 2

t

ln φ

= idct − 2 t +

c

2c



−∞



+∞



eiut − 1 −



+

0



t

σ2

ln φ

= idc1 t − 2 t 2 +

c

2c1

+



e

0



iut



−∞

+∞



+

0



iut

dM (cu) +

1 + u2



iut

dN (cu) ,

1 + u2



eiut − 1 −



iut

dM (c1 u) +

1 + u2



σ2 2

iut

dN (c1 u) + idc2 t − 2 t +

−1−

1 + u2

2c2



0



+



eiut − 1 −



0



−∞



+∞



0



eiut − 1 −



iut

dM (c2 u) +

1 + u2



eiut − 1 −



iut

dN (c2 u) .

1 + u2



18



(1.12)



Vì biểu diễn trên có tính duy nhất, nên



σ2



1

1

1

+ 2 + 2 = 0,

2

c

c1 c2



(1.13)



M (cu) =M (c1 u) + M (c2 u)



∀u < 0



(1.14)



N (cu) =N (c1 u) + N (c2 u)



∀u > 0



(1.15)



Từ (1.14) và sử dụng tính chất ổn định, ta có

N (cu) = N (c1 u) + N (c2 u) + ... + N (cn u) ,

với số tự nhiên n bất kỳ. Đặc biệt, nếu c1 = c2 = ... = cn = 1, thì

N (cu) = nN (u) ,

c phụ thuộc vào n, và c = c(n). Theo lập luân (trang 166, Gnedenko, B. & Kolmogorov, A. (1954), Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables, Addison-Wesley, Reading.) N thỏa mãn



λ N (u) = N [γ (λ )u]



∀λ > 0,



(1.16)



γ (λ ) là hàm giảm và liên tục. Trừ trường hợp N(u) là hàm đồng nhất bằng 0, còn

lại N(u) khác 0 ở khắp mọi nơi. Vì vậy từ (1.15) suy ra N(u) có đạo hàm liên tục

với mọi u, ký hiệu N ′ (u) là đạo hàm cấp một của N(u),



λ N ′ (u) = cN ′ (cu) ,

N ′ (cu)

N ′ (u)

=c

N(u)

N(cu)



(1.17)



′



Trong (1.16), nếu u = 1 và xác định α = − N (1) thì ta nhận được

N(1)

N ′ (c)

−α = c

N(c)

Do đó,

N(c) = −k2 cα ,

19



(1.18)



với k2 là số dương. Từ các kết quả liên quan tới phân phối chia được vô hạn, N(u)

phải thỏa mãn hai yêu cầu:

lim N (u) = 0;



1.



u→∞

∞

2



u dN (u) < +∞



2.



0



Vì γ (λ ) giảm nên theo (1.17) điều kiện đầu tiên được thỏa mãn, khi α > 0. Áp

dụng (1.17) điều kiện thứ hai được viết

∞



u1−α du;



k2 d

0



tích phân đó hội tụ khi α < 2. Vì thế ta kết luận 0 < α < 2. Tương tự như vậy, từ

(1.13) thu được

M (c) = −

Lấy logarithm của hàm đặc trưng (1.8) ta có



σ2

ln φ (t) = iδ t − t 2 + k1

2



k1

|c|α



0



eiut − 1 −



−∞

+∞



+k2

0



(1.19)



iut

1

du

2

1 + u |u|1+α



eiut − 1 −



iut

1

du

1 + u2 u1+α



(1.20)



Từ các đẳng thức (1.16), (1.18) và (1.13) cùng với (1.14) ta có c−α = 2.

Mặt khác, nếu c1 = c2 = 1 thì



σ2



1

− 2 = 0.

c2



Trên đây đã chỉ ra α < 2, vì vậy phương trình trên được thỏa mãn khi σ = 0. Khi



20



đó, phương trình (1.19) trở thành

0



ln φ (t) = iδ t + k1

−∞

+∞



eiut − 1 −



+k2

0



1

iut

du

1 + u2 |u|1+α



eiut − 1 −



(1.21)



1

iut

du.

2 u1+α

1+u



Điều kiện (1.13) và (1.14) được thỏa mãn bởi vì N(u) = 0 và M(u) = 0, kéo theo

k1 = k2 = 0, và bởi vì σ > 0, c−2 = 2, nên α = 2. Trong trường hợp này phương

trình (1.19) trở thành



σ2 2

ln φ (t) = iδ t − t .

2



(1.22)



Đây là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn.

Đặt



β=



k1 − k2

,

k1 + k2



sao cho −1 < β < 1 và



 ∞



 − e−u − 1 1 du (k + k ) cos πα nếu 0 < α < 1





1

2



u1+α

2



 0





 ∞

πα

1

γ=

 − e−u − 1 + u 1+α du (k1 + k2 ) cos

nếu 1 < α < 2





u

2



 0









 (k + k ) π nếu α = 1

1

2

2



(1.23)



Đến đây, thực hiện một vài phép biến đổi đại số đơn giản ta thu được (1.11).

Ghi chú 1.2. Chú ý khi α = 1, hàm đặc trưng (1.11) chứa số hạng ln |t|. Đây là



nguyên nhân cần xử lý riêng cho trường hợp α = 1.



21



1.3



Các cách tham số hóa khác đối với phân phối ổn

định



Hàm đặc trưng (1.11) có biểu thức khá dễ sử dụng và có thể đưa ra thêm một

số kết quả phân tích trực tiếp thú vị. Nhưng tiếc rằng nó không thuận tiện cho việc

ước lượng và rút ra các suy luận thống kê, vì nó không liên tục đối với các tham số,

có một điểm kỳ dị tại α = 1.

Một cách viết khác của hàm đặc trưng do Zolotarev (1986) đưa ra là

φ0 (t) =





 exp{ iδ t − γ α |t|α 1 + iβ tan πα sgn (t) |γ t|1−α − 1



0

2







2

exp{ iδ0t − γ |t| 1 + iβ π sgn (t) ln (γ |t|)



nếu α = 1



(1.24)



nếu α = 1



Trong trương hợp này, hàm phân phối được ký hiệu là S0 (α , β , γ , δ0 ). Dạng công

thức của hàm đặc trưng tương ứng là khá cồng kềnh, và các tính chất giải tích có ít

ý nghĩa trực quan hơn. Tuy nhiên công thức này hữu ích hơn cho mục đích thống

kê.

Sự tương ứng giữa δ1 trong S1 với δ0 trong S0 là





δ1 + β γ tan πα nếu α = 1

2

δ0 =



δ1 + β 2 γ ln γ

nếu α = 1

π



(1.25)



Dựa vào mối quan hệ trên, một phân phối S1 (α , β , 1, 0) tương ứng với một phân

phối S0 α , β , 1, −β γ tan πα , với điều kiện là α = 1.

2



Một cách tham số hóa khác (do Zolotarev 1986 đưa ra), đôi khi được sử dụng,



được ký hiệu là S2 (α , β2 , γ2 , δ1 )

φ2 (t) =







exp {iδ1t − γ α |t|α exp −i πβ2 sgn(t) min(α , 2 − α )

2

2



exp {iδ1t − γ2 |t| 1 + iβ2 2 sgn(t) ln (γ2 |t|)

π



nếu α = 1

nếu α = 1



(1.26)



Tuy nhiên trong trường hợp này, hàm mật độ không liên tục với α và có điểm kỳ

dị tại α = 1. Một đặc tính không hay của cách biểu diễn hàm đặc trưng này là tham

số đối xứng β thay đổi theo giá trị của α ; Khi α ∈ (0, 1), β đối xứng lệch trái. Với

22