Chương 3 Mô hình thống kê đối với phân phối ổn định

Các tính chất của ước lượng hợp lý cực đại đối với trường hợp đối xứng đã được

McCulloch (1998a) phân tích. Trong đó, tác giả chỉ ra rằng ước lượng hợp lý cực

đại của mô hình hồi quy với nhiễu ổn định có thể diễn giải như ước lượng bằng

phương pháp bình phương bé nhất có trọng số, với các trọng số giảm dần theo giá

trị của sai số ( các quan sát cực biên có trọng số bé hơn),

w (εi ) = −



3.2



∂ ln L (θ |εi ) 1

.

∂θ

εi



Mô hình hồi quy đối với các sai số α − ổn định



không chuẩn



Xem xét mô hình hồi quy

k



yi =



∑ xij β j + εi ,



i = 1, ..., N



(3.1)



j=1



với yi là các giá trị quan sát của một biến số phụ thuộc, xi j là giá trị quan sát của

các biến độc lập, β j là các hệ số chưa biết cần ước lượng và εi là các sai số độc lập

và cùng phân phối. Phương trình trên có thể viết dưới dạng ma trân như sau:

y = Xβ + ε,



(3.2)



với





y1











x11





 

 x21

 y2 



 

y =  . ,X =  .

 .

.

 .

.

yN

xN1



x12



...



x1k



x22

.

.

.



...

..

.



x2k

.

.

.



xN2



...



xNk







 

 

β1

ε1



 

 



β 2 

 ε2 



 

 

,β =  . ,ε =  . 



.

.



.

.

βk

εN



(3.3)



Ước lượng bình phương bé nhất cổ điển của β là



βOLS = X ′ X

43



−1



X ′ y,



(3.4)



do đó



βOLS − β = X ′ X



−1



X ′ε .



(3.5)



Như vậy trong trường hợp đơn giản, khi X đã được xác định từ trước, thì βOLS − β



là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của ε . Nếu các phần tử của ε là các biến ngẫu

nhiên α - ổn định độc lập có cùng phân phối không chuẩn thì βOLS có phân phối



α - ổn định. Phương sai của εi không tồn tại. Vì vậy suy luận bình phương bé nhất

cổ điển là không hợp lý. DuMouchel (1971, 1973, 1975) chỉ ra rằng, tùy thuộc vào

điều kiện cụ thể, ước lượng hợp lý cực đại của các tham số đối với phân phối α −



ổn định có tính chất tiệm cận thông thường của ước lượng hợp lý cực đại. Chúng

có phân phối tiệm cận với phân phối chuẩn, là ước lượng tiệm cận không chệch.

k



Giả sử εi = yi − ∑ xij β j là α − ổn định đối với các tham số {α , β , γ , 0}. Nếu

j=1



biểu thị hàm mật độ α − ổn định là f (x; α , β , γ , δ ) thì có thể viết hàm mật độ của



εi thành



yi − ∑k xij β j

j=1



1

f (εi ; α , β , γ , δ ) = f

γ



, β , 1, 0



(3.6)



yi − ∑k xij β j

j=1

, β , 1, 0

γ



(3.7)



γ



Khi đó hàm hợp lý có dạng



L (ε , α , β , γ , β1 , β2 , ...) =



1

γ



n n



1

∏γ f

i=1



và log hàm hợp lý là

l (ε , α , β , γ , β1 , β2 , ...) =



n



∑



i=1

n



=



−n log(γ ) + log



∑ φ (εi ) .



i=1



44



f



yi − ∑k xij β j

j=1



γ



, β , 1, 0



(3.8)



Do đó, ước lượng hợp lý cực đại là nghiệm của phương trình

n

∂l

= ∑ −φ ′ (εi ) xim = 0, m = 1, 2, ...k

∂ βm i=1

n



∑−



i=1



φ ′ (εi )

εi xim = 0, m = 1, 2, ...k

εi



φ ′ (εi )

∑ − εi

i=1



y1 −



φ ′ (εi )

εi



yi −



n



n



∑−



i=1

n



∑−



i=1



k



∑ xij β j



xim = 0, m = 1, 2, ...k



(3.9)



j=1

k



∑ xij β j



xim = 0, m = 1, 2, ...k



j=1



n

φ ′ (εi )

φ ′ (εi )

yi xim = ∑ −

εi

εi

i=1



Nếu W là ma trận đường chéo

 ′

(

− φ εε1 )

1



 0



W = .

 .

 .



0



k



∑ xij β j



j=1



...



0



.

.

.



...

..

.



0

.

.

.



0



...



0

φ ′ (ε )

− ε2

2



−



φ ′ (εn )

εn













,









(3.10)



sử dụng ký hiệu trong phương trình (1.47) ta có thể viết phương trình (1.53) dưới dạng ma

trận

X ′ Wy = X ′ WX β



(3.11)



hoặc, nếu X ′W X không kỳ dị thì



β = X ′ WX



−1 ′



X Wy



(3.12)



Như vậy ước lượng hợp lý cực đại của mô hình hồi quy có dạng ước lượng bình phương bé

nhất suy rộng trong trường hợp xuất hiện sự không thuần nhất của độ biến động, các phương

sai của số hạng sai số εi tỷ lệ với



φ ′ (εi )

εi .



Phân phối chuẩn, ứng với phương pháp bình phương



bé nhất cổ điển, cho trọng số bằng nhau đối với tất cả các quan sát. Phương pháp ước lượng

bình phương bé nhất suy rộng đã điều chỉnh để quan sát lớn hơn có trọng số nhỏ hơn. Ước

lượng cho quá trình α − ổn định gán trọng số cao hơn đối với phần trung tâm của phân phối



và gán trọng số rất nhỏ đối với các giá trị cực biên. Ảnh hưởng này tăng khi α giảm.



45



3.3



Mô hình ARMA



Một trong những lĩnh vực ứng dụng hứa hẹn nhất của phân phối ổn định là mô hình

chuỗi thời gian. Người ta có thể thấy nhiều hiện tượng trong thực tế quan sát được theo thời

gian thể hiện tính chất có phân phối không đối xứng với đuôi nặng hơn phân phối chuẩn

(chẳng hạn cường độ và thời lượng của các trận mưa, thời gian hoạt động của CPU và mạng

máy tính, tiếng ồn trong các hoạt động chế tạo cơ khí, lợi nhuận của tài sản trong tài chính).

Phần này giới thiệu mô hình phân tích chuỗi thời gian của Box và Jenkins (1976), mở

rộng cho trường hợp tổng quát hơn với các nhiễu ổn định thay cho nhiễu chuẩn.

Một quá trình được gọi là tự hồi quy trung bình trượt cấp (p, q), (ký hiệu ARMA(p, q))

với phần tử đổi mới ổn định nếu nó có dạng

p



Yt =



q



∑ ϕiYt−i + ∑ ψ j εt− j + εt ,



i=1



εt ∼ Sk (α , β , γ , 0) ∀t



j=1



(3.13)



Ta định nghĩa toán tử trễ L như sau Lk yt = yt−k . Khi đó (1.47) được viết lại thành

Φ (L)Yt = Ψ (L) εt,



(3.14)



với điều kiện Φ (z) và Ψ (z) không có nghiệm chung và nghiệm của Φ nằm ngoài đường tròn

đơn vị, quá trình trên có thể khai triển thành dạng trung bình trượt vô hạn.

∞



Yt =



∑ c j εt− j .



(3.15)



Ψ(z)

.

Φ(z)



Chứng minh kết quả trên là khá đơn



j=0



Ở đó c j là các hệ số trong khai triển chuỗi của



giản và theo các bước tương tự như trong trường hợp Gauss. Khi Ψ (L) không có nghiệm

trong hình tròn đơn vị, quá trình này có thể đảo ngược để biểu diễn thành tự hồi quy vô hạn.

∞



Yt =



∑ c j εt− j ,



(3.16)



j=0



với c j là các hệ số trong khai triển chuỗi của



Φ(z)

.

Ψ(z)



Từ (1.49) lưu ý rằng Yt là tổ hợp tuyến



tính của các biến ngẫu nhiên α -ổn định, là một biến ngẫu nhiên α -ổn định với cùng chỉ số

đặc trưng. Quan sát thấy rằng chuỗi (1.49) là dừng ngặt. Với một phương sai vô hạn của phân

phối ổn định, các khái niệm về hiệp phương sai dừng là vô nghĩa.

Như đã nhận xét, điểm khác biệt nỗi bật nhất so với trường hợp Gauss của quá trình

ARMA là, do phương sai không tồn tại nên không sử dụng được hàm hiệp phương sai để mô



46



tả cấu trúc phụ thuộc của quá trình. Vấn đề này được giải quyết trong Kokoszka và Taqqu

(1994), giới thiệu một khái niệm mới có thể được sử dụng thay cho hàm hiệp phương sai là

hàm hiệp biến động. Định nghĩa hàm hiệp biến động là

Ik (θ1 , θ2 ) = − ln E ei(θ1 Xt +θ2 Xt−k ) + ln E eiθ1 Xt + ln E eiθ2 Xt−k .



(3.17)



Trong trường hợp Gauss, biểu thức trên viết thành

Ik (θ1 , θ2 ) = θ1 θ2Cov (Xt , Xt−k ) ,



(3.18)



Lúc đó hàm hiệp biến động tỷ lệ với hàm hiệp phương sai. Trong trường hợp phương sai vô

hạn, hàm đó vẫn có ý nghĩa thực tế. Xem xét hai quá trình ARMA ổn định Xt và Yt với cùng

tham số ổn định. Ta đưa ra rằng, nếu Xt có hiệp biến động lớn hơn Yt nghĩa là

(y)



(x)



Ik (1, −1) ,



Ik (1, −1)



(3.19)



với mọi k, thì quá trình Xt ít tự phụ thuộc hơn so với Yt . Thiết lập



µk = − ln E ei(Xt −Xt−k ) ,



(3.20)



νk = − ln E ei(Yt −Yt−k ) .

Thế (1.54) và (1.51) vào (1.53) ta thu được



µk



νk



và

−1

µk νk



Vì



Xt −Xt−k

µk



và



Yt −Yt−k

µk



1.



có cùng phân phối, với mọi c > 0 ta thấy

P (|Xt − Xt−k | > c) = P

=P



c

Xt − Xt−k

>

µk

µk

Yt −Yt−k

c

>

µk

νk



−1

= P |Yt −Yt−k | > c µk νk



P (|Yt −Yt−k | > c) .

Bất đẳng thức trên chỉ rõ Yt và Yt−k khác nhau ít hơn so với sự khác biệt giữa Xt và Xt−k và

do đó Yt phụ thuộc vào chính nó nhiều hơn.



47



Chương 4



Áp dụng mô hình ARMA với

sai số phân phối ổn định

Trong chương này chúng ta thử nghiệm áp dụng các công cụ liên quan đến mô hình

ARMA với sai số có phân phối ổn định được trình bày trong các chương trên để nghiên cứu

giá cổ phiếu của công ty cổ phần Xuyên Thái Bình.



4.1



Công ty cổ phần Xuyên Thái Bình và cổ phiếu

PAN



Công ty Cổ phần Xuyên Thái Bình được thành lập năm 1998, có trụ sở tại Pan Pacific

Building, Số 236/43/2 Điện Biên Phủ, Phường 17, Bình Thạnh,Thành phố Hồ Chí Minh.

Năm 2005 Công ty chuyển sang hoạt động theo mô hình cổ phần. Năm 2006 cổ phiếu của

Công ty, với mã chứng khoán PAN, được niêm yết và giao dịch tại HaSTC, sau đó chuyển

sang giao dịch tại sàn HOSE từ tháng 12/2010.

Công ty hoạt động trong lĩnh vực cung cấp dịch vụ vệ sinh, sửa chữa nhà cửa, thực hiện

các dịch vụ hỗ trợ khu căn hộ và các dịch vụ khác như chống mối mọt, diệt côn trùng. Khách

hàng chính của Công ty là các siêu thị, bệnh viện, nhà máy, cao ốc lớn tại Việt Nam. Hai



48



phân khúc thị trường đóng góp lớn nhất vào doanh thu thuần và lợi nhuận gộp của Công ty

là mảng "cao ốc, căn hộ và văn phòng" và "cơ sở cung cấp dịch vụ y tế". Trong đó, mảng

"cơ sở cung cấp dịch vụ y tế" có tỷ trọng doanh thu thuần cao nhất (trên 30%), nhưng lại có

tỷ trọng lợi nhuận gộp thấp hơn mảng "cao ốc, căn hộ và văn phòng".

Kế hoạch chiến lược của Công ty trong tương lai sẽ tập trung phát triển mảng "cao ốc,

căn hộ và văn phòng". Đến nay PAN đã cung cấp dịch vụ cho các cao ốc Văn phòng, Khách

sạn 5 sao, các siêu thị có vốn đầu tư nước ngoài như Metro, Big C và các khu thương mại

cao cấp Mê linh Plaza, các khu đô thị mới như Ciputra, Nhân Chính - Trung Hòa,. . . , các

nhà máy và khu công nghiệp Canon, Toto, Khu công nghiệp Thăng Long.

Với tổng số lao động hiện tại khoảng 3.000 cán bộ công nhân viên và quản lý được đào

tạo chuyên nghiệp bao gồm khoảng 1.250 lao động ở phía Bắc và 1.750 lao động ở phía

Nam, Công ty luôn đạt tốc độ tăng trưởng doanh thu bình quân 45% trong hơn bốn năm qua

(2002 – 2005). Công ty đã nhận được chứng chỉ ISO 9001 - 2000 của BVQI - Anh Quốc

trong lĩnh vực vệ sinh công nghiệp và bảo dưỡng bất động sản.

Ngày 22/12/2006 mã chứng khoán PAN có phiên giao dịch đầu tiên tại sàn HaSTC với

giá niêm yết 59.5 đồng cho mỗi cổ phiếu và khối lượng niêm yết lần đầu là 3,200,000. Hiện

tại mã chứng khoán này đang có khối lượng lưu hành là 11,550,000.

Trong nghiên cứu này, số liệu cổ phiếu của công ty cổ phần Xuyên Thái Bình được lấy

từ ngày 12/22/2006 đến ngày 04/15/2011. Một số thống kê cơ bản của số liệu này được trình

bày trong Bảng 1.

Bảng 1

Min



1rd Qu



Median



Mean



3rd Qu



Max



OPEN



11.04



18.15



23.54



33.06



39.70



145.98



HIGH



11.39



18.53



23.95



33.72



40.44



145.98



LOW



10.70



17.88



22.81



32.01



38.72



127.57



CLOSE



10.77



18.15



23.33



32.80



39.70



136.47



289



48201



114593



178737



243896



1376135



VOLUME



Trong đó 1rd Qu là phân vị 25%, 3rd Qu là phân vị 75%.

Bên cạnh mã chứng khoán PAN, chúng tôi còn nghiên cứu một số mã chứng khoán khác

như HAI, CAD, CCI, AAM, ABT, BAS, FBT... Tuy nhiên kết quả phân tích cho thấy số liệu

của các mã chứng khoán đó chỉ phù hợp với mô hình tự hồi quy AR, không phù hợp với mô



49