Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1016.09 KB, 66 trang )
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
Các định lý cơ bản của hàm khả vi
Định nghĩa 1.1.1. Cho khoảng (a, b) ⊂ R, hàm số f : (a, b) → R. Ta
nói rằng hàm f đạt cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương)
tại x0 ∈ (a, b), nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b)
và f (x) ≤ f (x0 ) (tương ứng f (x) ≥ f (x0 )) với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Điểm x0 mà tại đó hàm đạt cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương
được gọi chung là điểm cực trị của hàm f .
Định lý 1.1.2. (Fermat) Cho khoảng (a, b) ⊂ R và hàm f : (a, b) → R.
Nếu điểm c ∈ (a, b) là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f (c) thì
f (c) = 0.
Định lý 1.1.3. (Rolle) Giả sử hàm f : [a, b] → R thỏa mãn:
(a) f liên tục trên [a.b],
(b) khả vi trong khoảng (a, b),
(c) f (a) = f (b).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.
Định lý 1.1.4. (Lagrange) Giả sử hàm f : [a, b] → R có các tính chất:
(a) f liên tục trên [a, b],
(b) khả vi trong khoảng (a, b).
6
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho:
f (c)(b − a) = f (b) − f (a)
(1.1)
Nhận xét:
1. Định lý Rolle là trường hợp riêng của định lý Lagrange.
2. Công thức (1.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange.
Công thức này còn được viết dưới dạng: lấy a = x0 , b = x0 + ∆x,
thì b − a = ∆x, do x0 < c < x0 + ∆x nên ta viết c dưới dạng
c = x0 + θ∆x, θ ∈ (0, 1). Khi đó, (1.1) được viết dưới dạng
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 + θ∆x)∆x
Hệ quả 1.1.5. Giả sử f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trong
khoảng (a, b). Khi đó:
(a) Nếu f (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm hằng trên [a, b].
(b) Nếu f (x) > 0 (f (x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì f tăng (giảm) thực
sự trên [a, b].
Định lý 1.1.6. (Cauchy) Giả sử các hàm f, g : [a, b] → R có các tính
chất:
1. f và g liên tục trên [a, b],
2. f , g khả vi trên (a, b).
Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
[f (b) − f (a)]g (c) = [g(b) − g(a)]f (c)
(1.2)
Hơn nữa, nếu g (x) khác 0 với mọi x ∈ (a, b) thì công thức (1.2) có dạng
f (c) f (b) − f (a)
=
g (c)
g(b) − g(a)
(1.3)
Nhận xét: Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchy
với hàm g(x) = x.
7
1.2
Công thức Taylor
Ta dùng công thức Taylor
thức. Ta có:
1
để xấp xỉ một hàm số bằng một đa
Định lý 1.2.1. (Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange)
Giả sử hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp (n + 1) trong khoảng
(a, b), x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b), ta có:
n
f (x) =
k=0
f (n+1) (c)
f (k) (x0 )
· (x − x0 )k +
(x − x0 )n+1
k!
(n + 1)!
(1.4)
trong đó c là điểm nằm giữa x và x0 .
Nhận xét: Vì c nằm giữa x và x0 nên (1.4) có thể viết dưới dạng
sau:
n
f (x) =
k=0
f (k) (x0 )
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
k
· (x − x0 ) +
(x − x0 )n+1 (1.5)
k!
(n + 1)!
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
trong đó 0 < θ < 1. Đại lượng rn (x) =
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
được gọi là số dư thứ n của công thức Taylor dưới dạng Lagrange.
Định lý 1.2.2. (Công thức khai triển Taylor của hàm f trong
lân cận của x0 ) Cho khoảng (a, b) ⊂ R. Giả sử rằng f : (a, b) → R khả
vi đến cấp n trong một lân cận nào đó của x0 ∈ (a, b) và f (n) (x) liên tục
tại x0 . Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0 , chúng ta có:
f (x) = f (x0 )+
f (x0 )
f (n) (x0 )
(x−x0 )+· · ·+
(x−x0 )n +o((x−x0 )n ) (1.6)
1!
n!
trong đó o((x − x0 )n ) là vô cùng bé bậc cao hơn (x − x0 )n , tức là
o((x − x0 )n )
=0
x→x0 (x − x0 )n
lim
Đại lượng rn (x) = o((x − x0 )n ) được gọi là số dư dạng Peano.
1
Taylor Brook (1685-1731)- nhà toán học Anh. Năm 1712 ông tìm ra công thức tổng quát (công
thức Taylor) đối với sự khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa.
8
Khai triển Taylor của hàm f (x) trong lân cận của điểm x0 = 0,
ta nhận được công thức khai triển Mac-Laurin:
f (0)
f (n) (0) n
f (x) = f (0) +
x + ··· +
x + rn (x)
1!
n!
(1.7)
Sau đây, ta sẽ xét khai triển Mac-Laurin của một số hàm sơ cấp.
1. Hàm y = ex : Ta có f (n) (x) = ex , tại x0 = 0 thì f (n) (0) = 1. Do
vậy, từ (1.7), ta có:
x x2
xn
+
+ ··· +
+ o(xn )
(1.8)
1 2!
n!
π
2. Hàm y = sin x: Ta có f (n) (x) = sin x + n . Tại x0 = 0, ta có
2
f (2n) (0) = 0, f (2n+1) (0) = (−1)n . Do vậy, theo (1.7), ta có:
ex = 1 +
x3 x5 x7
x2n−1
n−1
sin x = x −
+
−
+ · · · + (−1)
·
+ o(x2n )
3!
5!
7!
(2n − 1)!
(1.9)
π
. Tại x0 = 0,
2
f (2n) (0) = (−1)n , f (2n+1) (0) = 0. Do vậy, theo (1.7), ta có:
3. Hàm y = cos x: Ta có f (n) (x) = cos x + n
x2 x4 x6
x2n
n
cos x = 1 −
+
−
+ · · · + (−1) ·
+ o(x(2n+1) )
2!
4!
6!
(2n)!
(1.10)
4. Hàm y = ln(1+x) khả vi ∀x > −1, f (n) (x) = (−1)n−1 (n−1)!·(1+x)−n .
Tại x0 = 0, ta có f (n) (0) = (−1)n−1 (n − 1)!. Áp dụng (1.7), ta có:
n
x2 x3
n−1 x
ln(1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)
·
+ o(xn )
2
3
n
(1.11)
5. Hàm y = (1 + x)α , α ∈ R, x ∈ (−1, +∞). Ta có
f (k) (x) = α(α − 1) · · · (α − k + 1) · (1 + x)α−k
Tại x0 = 0, ta có f (k) (0) = α(α − 1) · · · (α − k + 1). Áp dụng (1.7), ta có:
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x +· · ·+
x + o(xn )
2!
n!
(1.12)
9
Lưu ý: Nếu f (x) là đa thức bậc n thì f (n+1) (x) = 0, ta luôn biểu diễn
f (x) dưới dạng:
f (x) = f (a) +
f (a)
f (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n (1.13)
1!
2!
n!
10
Chương 2
Áp dụng công thức
Taylor vào giải một số
bài toán về hàm đa thức
Mọi đa thức bậc n với hệ số thực đều viết dưới dạng:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + xn
(2.1)
Hàm y = f (x) là hàm khả vi trên R, với α ∈ R bất kỳ f (x) có công
thức Taylor dạng:
f (x) = f (α) + f (α)(x − α) +
f (α)
(x − α)2 + · · · +
2!
f (n−1) (α)
+
(x − α)n−1 + (x − α)n
(n − 1)!
(2.2)
Dưới đây, ta xét một số ứng dụng của khai triển (2.2) vào giải các
bài toán phổ thông.
11
