3 Phân loại phương trình sai phân riêng

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

là phương trình Possion rời rạc.

Một lớp phương trình sai phân riêng quan trọng là phương trình tuyến tính.

Ta nói phương trình F (uij , ui+1,j , . . .) = gij gọi là tuyến tính nếu F (x1 , x2 , . . .)

tuyến tính. Nghĩa là

F (αx1 + βy1 , . . . , αxn + βyn ) = αF (x1 , . . . , xn ) + βF (y1 , . . . , yn ), α, β ∈ C.

Nếu gij ≡ 0 thì phương trình gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình

không thuần nhất.

Sau đây là một tính chất quan trọng của phương trình tuyến tính: cho g (1) =

(1)

(t)

{gij }, . . . , g (t) = {gij } là những hàm bất kì và α1 , . . . , αt là những hằng số. Nếu

F tuyến tính và nếu u(1) , . . . , u(t) là nghiệm của những phương trình

(1)



(t)



F (uij , ui+1,j , . . .) = gij , . . . , F (uij , ui+1,j , . . .) = gij ,

thì α1 u(1) + · · · + αt u(t) là nghiệm của phương trình

(1)



(t)



F (uij , ui+1,j , . . .) = α1 gij + · · · + αt gij .



1.4



Dãy một chiều



Cho Ω là một tập con của Z. Dãy một chiều là một hàm xác định trên tập Ω

có dạng {uk }∞ hoặc {uk }− ∞∞ .

k=a

Ω

l là tập tất cả các dãy phức xác định trên Ω dạng f = {fk }k∈Ω . Gọi fk là

thành phần thứ k của dãy. Với α ∈ C và các dãy f = {fk }, g = {gk } ∈ lΩ , xác

định −f = {−fk }; αf = {αfk }; f + g = {fk + gk }.

Trong lN ta định nghĩa một số dãy đặc biệt sau α := {α, 0, ...}, α ∈ C, ¯ :=

¯

0

¯

{0, 0, ...}, ¯ := {1, 0, 0, ...}, σ := {1, 1, ...}, δ = {1, −1, 0, ...}, với m là một số

1

¯

nguyên không âm, xác định dãy





1, k = m,



¯m =

hk





0, k = m,

¯

¯

¯ ¯ 1.

với m = 1 thì {h1 } := {hk } = {0, 1, 0, ...}. Ta thấy h + δ = ¯

k

Sai phân

Với {uk } là một dãy phức bất kì. Đặt ∆uk := uk+1 − uk . Khi đó dãy ∆u :=

{∆u0 , ∆u1 , ...} thu được bằng cách lấy liên tiếp sai phân từng thành phần của

dãy {uk }, gọi là sai phân bậc 1 của dãy u = {uk }. Sai phân bậc m, ∆m u :=

∆(∆m−1 u), m = 2, 3, ..., được định nghĩa bằng đệ quy. Ta cũng dễ dàng kiểm tra

∆(uk ∆vk − vk ∆uk ) = uk+1 ∆2 vk − vk+1 ∆2 uk .

4



(1.3)



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Dãy tịnh tiến

Xét ánh xạ tịnh tiến xác định bởi

E m : lN −→ lN

{fk }k∈N −→ {fm+k }k∈N , m ∈ N.

Dãy {fm+k } gọi là dãy tịnh tiến của dãy f = {fk }, k ∈ N.

Ta có một số tính chất của ánh xạ tịnh tiến

1.



E 0 f = f, E m {f + g} = E m f + E m g,



2.



E m (αE n f ) = αE m+n f, ∀α ∈ C, m, n ∈ N, f ∈ lN ,

n



3.



i



n



j n



m

Cn E i(n−m) E jm f



(E + E ) f =

m=0



m

Cn E in+jm−im f, f ∈ lN , i, j, n, m ∈ N.



=

m=0



Tích chập

Cho dãy f = {fk }, g = {gk } ∈ lZ , Ω là một tập con của Z. Khi đó tích chập

của f và g là hàm f ∗ g : Ω → C định nghĩa bởi

∞



(f ∗ g)k =



fi gk−i ,



k ∈ Ω,



i=−∞



mỗi khi tổng này hữu hạn. Tương tự trong lN ta có

k



(f ∗ g)k =



fi gk−i ,



k ∈ N.



i=0



Để thuận tiện, ta kí hiệu f g, f 2 , f 3 , ... thay cho kí hiệu f ∗ g, f ∗ f, f ∗ f ∗ f, ...

Ví dụ ¯ ∗ f = f, ¯ ∗ f = ¯ α ∗ β = αβ.

1

0

0, ¯ ¯

Nhận xét

1. Với f = {fk }, g = {gk } ∈ lZ thì có f ∗ g = g ∗ f .

Z

2. Kí hiệu lc là tập các dãy trong lZ có hữu hạn phần tử khác không. Với

Z

f, g, h ∈ lc , α, β ∈ C thì tồn tại và xác định f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h,

(αf ) ∗ (βg) = (αβ)(f ∗ g).



3. Với f, g ∈ lN nếu f ∗ g = ¯ thì f = ¯ hoặc g = ¯ Thật vậy, giả sử f0 =

0

0

0.

· · · = fm−1 = 0, fm = 0, g0 = · · · = gn−1 = 0, gn = 0. Ta có thể giả sử m ≤ n.

Khi đó (f g)m+n = f0 gm+n + · · · + fm gn + · · · + fm+n g0 = fm gn = 0 suy ra

f ∗g =¯

0.

5



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Toán tử

Ta có thể kiểm tra (lN , +, ∗) là một miền nguyên với phép cộng thông thường

và phép nhân tích chập, đơn vị cộng và nhân tương ứng là ¯ ¯

0, 1.

N

N N

Ta đi xây dựng từ l một trường l /l trên tập

{(f, g)|f, g ∈ lN , g = 0},

xác định quan hệ ∼: (f, g) ∼ (p, q) ⇔ f q = pg.

Dễ dàng thấy ∼ là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương là một cặp

có thứ tự (f, g) viết dưới dạng f /g. Tập tất cả các thương này kí hiệu bởi lN /lN .

f /g = p/q ⇐⇒ f q = pg.

Ta xây dựng phép nhân và cộng trên thương bởi

f p f q + pg

f p fp

=

và + =

.

gq

gq

g q

gq

Với phép cộng và phép nhân định nghĩa ở trên, lN /lN là một trường với đơn vị

cộng ¯ ¯ đơn vị nhân ¯ ¯ Để thuận tiện ta gọi mỗi thương f /g là một toán tử.

0/1,

1/1.

Nghịch đảo cộng của toán tử f /g là toán tử −f /g = −(f /g). Nếu φ = p/q và

ψ = f /g là hai toán tử, với p, q, f, g ∈ lN thì thương φ/ψ = pg/qf . Đặc biệt, khi

ψ = 0 thì ¯ := ψ −1 gọi là nghịch đảo nhân của toán tử ψ và mọi dãy f = {fk }

1/ψ

có thể coi như một toán tử vì f = f /¯

1.

Sau đây ta xét định lí mà sẽ sử dụng về sau.

Định lý 1.4.1. [2, Định lý 27] Cho f ∈ lN , f0 := {f0 , 0, 0, ...}, khi đó

¯

¯

¯

δf = ∆f + f0 − δ(∆f ) = f0 + h(∆f ).

¯

¯

Chứng minh. Trước hết δ ∗ {fk } = {f0 , f1 − f0 , f2 − f1 , ...} = f0 + h(∆f ).

¯ 1 ¯

¯

¯

Do δ = ¯ − h nên f0 + h(∆f ) = f0 + (¯ − δ)(∆f ) = ∆f + f0 − δ(∆f ).

1 ¯

Ví dụ áp dụng cho fk = 2k , k ≥ 0, vì ∆fk = 2k và f0 = ¯ nên

1

¯

¯

1

1

¯

¯

δf = f + f0 − δf ⇔ f = {2k } = ¯

=

.

¯δ − ¯ ¯ − ¯h

2

1 1 2¯

Tổng quát

{αk } =



¯

¯

1

1

=

.

αδ − α + ¯ ¯ − αh

¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯



Sự hội tụ

Cho dãy {f (j) }j∈N trong lΩ , ta nói {f (j) } hội tụ (điểm) tới dãy f = {fk } trong

lΩ nếu

(j)

lim fk = fk , k ∈ Ω.

j→∞



6



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị



1.5



Dãy hai chiều



Cho Ω là một tập con của tập Z × Z. Dãy hai chiều là một hàm xác định trên

Ω, có dạng f = {fij }(i,j)∈Ω . Kí hiệu lΩ là tập tất cả các dãy phức hai chiều xác

định trên Ω.

Cho α ∈ C và f = {fij }, g = {gij } ∈ lZ×Z , ta xác định các dãy tương ứng

−f = {−fij }; αf = {αfij }; f + g = {fij + gij }.

Dãy f = {fij } gọi là không âm nếu mỗi phần tử của nó không âm. Dãy thực

{fij } gọi là nhỏ hơn hoặc bằng dãy thực g = {gij } nếu dãy {gij − fij } không âm,

kí hiệu bởi f ≤ g. Dãy f = {fij } ∈ lN×N gọi là dương tại vô cùng nếu fij > 0 với

mọi i, j đủ lớn.

Cho lN×N là tập hợp tất cả các dãy phức hai chiều dạng f = {fij }i,j∈N , nó có

thể coi như một ma trận vô hạn dạng





f00 f01 · · ·





f f · · · .

 10 11







··· ··· ···

X0 (lN×N ) là tập tất cả các dãy có mọi hàng bằng 0 ngoại trừ hàng thứ 0,

Y0 (lN×N ) là tập tất cả các dãy có mọi cột bằng 0 ngoại trừ cột thứ 0.

Tương tự ta định nghĩa các dãy hai chiều sau









0,

0,





m = i,

n = j,

(Xi f )mn =

và (Yj f )mn =

∀m, n ∈ N.









fin , m = i,

fmj , n = j,

Dãy α là dãy có thành phần thứ (0,0) bằng α còn các thành phần khác bằng

¯

0, gọi là dãy vô hướng. Dãy ¯ là dãy có tất cả các thành phần đều bằng 0. Các

0

dãy hm ( hoặc hm ) là dãy mà thành phần thứ (m,0) (tương ứng (0,m)) bằng

x

y

1 còn tất cả các thành phần khác bằng 0. Tương ứng hm hm có thành phần thứ

x y

(m,n) bằng 1 còn tất cả các thành phần khác bằng 0. Ví dụ,









0 0 0





1 0 0

1

hx := hx = 



0 0 0





··· ··· ···



· · ·

0 1 0









· · · 1

0 0 0

 , hy := hy = 





0 0 0

· · ·









··· ··· ···

···



7



· · ·





· · ·

,



· · ·





···



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Các dãy σx , σy , δx , δy được xác định như sau







1 0 0





1 0 0

σx = 



1 0 0





··· ··· ···



· · ·

1 1 1









· · ·

0 0 0

 , σy = 





0 0 0

· · ·









··· ··· ···

···



1 0 0





−1 0 0

δx = 



0 0 0





··· ··· ···



· · ·





· · ·

,



· · ·





···





















· · ·

 1 −1 0









· · ·

0 0 0

 , δy = 





0 0 0

· · ·









··· ··· ···

···



· · ·





· · ·

.



· · ·





···



Chú ý δx + hx = ¯ δy + hy = ¯

1,

1.

Dãy tịnh tiến

Xét ánh xạ tịnh tiến xác định bởi

m n

Ex Ey : lZ×Z −→ lZ×Z



{fij } −→ {fi+m,j+n }, m, n ∈ N.

Khi đó, dãy {fi+m,j+n } gọi là dãy tịnh tiến của một dãy f = {fij }, i, j ∈ Z.

0 n

n

m 0

m

Với m = 0 ta viết Ex Ey f = Ey f và với n = 0 thì Ex Ey f = Ex f .

Sai phân

Sau đây là khái niệm về sai phân riêng của dãy hai chiều {uij }

∆x uij = ui+1,j − uij và ∆y uij = ui,j+1 − uij

lần lượt là sai phân riêng cấp 1 theo biến thứ nhất và biến thứ 2 của dãy {uij }.

Sai phân riêng cấp 2 được xác định như sau

∆2 uij = ∆x (∆x uij ), ∆y ∆x uij = ∆y (∆x uij ), ...

x

Các sai phân riêng cấp cao hơn định nghĩa tương tự. Ta có thể kiểm tra tính

chất sau.

Cho Ω là miền hữu hạn, {uij } là dãy sao cho ∆x ui−1,j , ∆y ui,j−1 xác định trên

Ω. Khi đó

∆x ui−1,j =

ui−1,j −

uij ,

(1.4)

(i,j)∈Ω



(i,j)∈∂R Ω



8



(i,j)∈∂L Ω



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

ui,j−1 −



∆y ui,j−1 =

(i,j)∈Ω



uij .



(i,j)∈∂T Ω



(1.5)



(i,j)∈∂D Ω



Thật vậy, cho H(j) là đường thẳng nằm ngang đi qua điểm (0, j). Với mỗi j

ta có

∆x ui−1,j =

ui−1,j −

uij ,

(i,j)∈H(j)∩Ω



(i,j)∈H(j)∩∂R Ω



(i,j)∈H(j)∩∂L Ω



nên

∆x ui−1,j =



∆x ui−1,j

j∈Z (i,j)∈H(j)∩Ω



(i,j)∈Ω



ui−1,j −



=

j∈Z (i,j)∈H(j)∩∂R Ω



j∈Z (i,j)∈H(j)∩∂L Ω



ui−1,j −



=

(i,j)∈∂R Ω



uij



uij .

(i,j)∈∂L Ω



Ta có định lý sau.

Định lý 1.5.1. [2, Định lý 2] Cho Ω là một miền hữu hạn trong Z2 và giả sử u, v

là những dãy hai chiều xác định trên Ω + ∂Ω. Khi đó

{vij [∆2 ui−1,j + ∆2 ui,j−1 ] − uij [∆2 vi−1,j + ∆2 vi,j−1 ]}

x

y

x

y

(i,j)∈Ω



[vi−1,j ∆x ui−1,j − ui−1,j ∆x vi−1,j ] −



=



(i,j)∈∂R Ω



+



[vij ∆x uij − uij ∆x vij ]

(i,j)∈∂L Ω



[vi,j−1 ∆y ui,j−1 − ui,j−1 ∆y vi,j−1 ] −

(i,j)∈∂T Ω



[vij ∆y uij − uij ∆y vij ].

(i,j)∈∂D Ω



Thật vậy, theo (1.3) ta có vế trái của phương trình trên

∆x [vi−1,j ∆x ui−1,j − ui−1,j ∆x vi−1,j ]



VT =

(i,j)∈Ω



∆y [vi,j−1 ∆y ui,j−1 − ui,j−1 ∆y vi,j−1 ],



+

(i,j)∈Ω



mặt khác, theo (1.4) và (1.5) suy ra VT=VP.

Tích chập

Cho f = {fij }, g = {gij } ∈ lN×N tích chập của f, g kí hiệu là f ∗ g xác định bởi

i



j



(f ∗ g)ij =



fuv gi−u,j−v , i, j ≥ 0.

u=0 v=0



9



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Để thuận tiện, ta kí hiệu f g thay vì f ∗ g và f ∗ g = f 2 , f ∗ (f ∗ f ) = f 3 , ....

Với quan hệ thứ tự đã trình bày ở Phần 1.2 ta có thể tính được các thành

phần của f ∗ g theo quan hệ này như sau

f00 g00 , f10 g00 + f00 g10 , f01 g00 + f00 g01 , f20 g00 + f10 g10 + f00 g20 , ...

Ví dụ ¯ ∗ f = ¯ ¯ ∗ f = f , α ∗ β = αβ.

0

0, 1

¯ ¯

Nhận xét: Với f = {fij }, g = {gij }, h = {hij } ta có

1. f g = gf .

2. f (gh) = (f g)h.

3. f = ¯ g = ¯ thì f g = ¯

0,

0

0.

Toán tử

Ta có thể kiểm tra (lN×N , +, ∗) là một miền nguyên với phép cộng thông thường

và phép nhân tích chập, đơn vị cộng và nhân tương ứng là ¯ ¯

0, 1.

N×N

N×N N×N

Ta đi xây dựng từ l

một trường l

/l

trên tập

{(f, g)|f, g ∈ lN×N , g = 0},

xác định quan hệ ∼: (f, g) ∼ (p, g) ⇔ f q = pg.

Dễ dàng thấy ∼ là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương là một

cặp có thứ tự (f, g) được viết dưới dạng f /g. Tập tất cả các thương này kí hiệu

bởi lN×N /lN×N .

f /g = p/q ⇐⇒ f q = pg.

Ta xây dựng phép nhân và cộng trên thương bởi

f p fp

f p f q + pg

=

và + =

,

gq

gq

g q

gq

với phép cộng và phép nhân định nghĩa ở trên, lN×N /lN×N là một trường có đơn

vị cộng ¯ ¯ đơn vị nhân ¯ ¯ Để thuận tiện ta gọi thương f /g là một toán tử.

0/1,

1/1.

Nghịch đảo cộng của toán tử f /g là toán tử −f /g = −(f /g). Nếu φ = p/q

và ψ = f /g là hai toán tử, với p, q, f, g ∈ lN×N thì thương φ/ψ = pg/qf . Đặc

biệt, khi ψ = 0 thì ¯

1/ψ := ψ −1 gọi là nghịch đảo nhân của toán tử ψ. Mọi dãy

f = {fij } có thể coi như một toán tử vì f = f /¯

1.

Với ψ, φ là hai toán tử bất kì, ta kí hiệu φ + φ = 2φ, φ + ψ + ψ = φ + 2ψ tương

ứng thay cho kí hiệu ¯ φ + ¯ ..., kí hiệu α nghĩa là α.

2φ,

2ψ,

¯

N×N

Chú ý, X0 (l

) là tập tất cả các dãy có mọi hàng đều bằng 0 ngoại trừ hàng

thứ 0. Nếu ta đồng nhất một dãy f trong X0 (lN×N ) với hàng đầu tiên của nó. Ta

sẽ được một đẳng cấu φ từ X0 (lN×N ) vào lN sao cho

φ(f + g) = φf + φg và φ(f ∗ g) = (φf ) ∗ (φg).

10



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Rõ ràng, mỗi dãy hoặc một toán tử trong lN sẽ cho tương ứng một dãy hoặc

một toán tử trong X0 (lN×N ). Vì vậy, theo nghĩa đẳng cấu ta đồng nhất α :=

¯

¯ = {1, −1, 0, ...}, h = {0, 1, 0, ...} trong lN với α,

¯

{α, 0, 0, ....}, σ := {1, 1, .....}, δ

¯

¯

N×N

N×N

σx , δx ,hx trong Y0 (l

) và α, σy , δy , hy trong X0 (l

¯

).

N×N

j

j

i

Áp dụng, trong l

xét các dãy {2 }ij = 2 ; {2 }ij = 2i . Do dãy một chiều

¯

¯

1

1

f = {2k } = ¯

=

,

¯δ − ¯ ¯ − ¯h

2

1 1 2¯

nên ta có



¯

¯

1

1

X0 {2j }i,j∈N = ¯

=¯ ¯ ,

2δy − ¯ 1 − 2hy

1



và



¯

¯

1

1

=¯ ¯ .

Y0 {2i }i,j∈N = ¯

2δx − ¯ 1 − 2hx

1

Sau đây là một tính chất quan trọng cho những dãy tách có dạng {fi gj }i,j∈N .

Định lý 1.5.2. [2, Định lý 40] Cho f = {gi hj }i,j∈N , khi đó

f = (Y0 {gi }i,j∈N ) ∗ (X0 {hj }i,j∈N ).

Chứng minh. Ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng













 g0 0 · · ·





  h0 h1 h2 · · ·

g0 h0 g0 h1 · · · 



  g1 0 · · · 



 ∗  0 0 0 · · · .

g h g h · · · = 



 

 

 1 0 1 1



  g2 0 · · · 











··· ··· ··· ···

··· ··· ···

··· ··· ···



Từ định lý trên ta nhận được

{2i+j } = Y0 {2i } ∗ X0 {2j } =



1

.

(2δx − 1)(2δy − 1)



Ngoài ra, ta có thể kiểm tra trực tiếp công thức sau

m−1

m n

hm hn (Ex Ey f )

x y



=f−



n−1



Xs f −

s=0



m−1 n−1



fuv hm hn .

x y



Yt f +

t=0



(1.6)



u=0 v=0



Sự hội tụ

(k)

Cho một dãy {fij } là một dãy hai chiều trong lΩ , ta nói nó hội tụ điểm tới

f = {fij } trong lΩ nếu

(k)



limk→∞ fij = fij , (i, j) ∈ Ω.

11



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị



1.6



Nguyên lý cực đại



Cho Ω ⊂ Z2 là miền hữu hạn, khác rỗng. Dãy thực {vij }(i,j)∈Ω+∂Ω và f (i, j, vij )

là hàm thực xác định với (i, j) ∈ Ω. Hàm Laplace của {vij } xác định

Dvij = ∆2 vij + ∆2 vij = vi−1,j + vi+1,j + vi,j−1 + vi,j+1 − 4vij .

x

y

Trong phần này chúng ta sẽ xét những dãy {vij } thỏa mãn những quan hệ

hàm đơn điệu, hoặc hàm lồi dưới dạng

∆x vi−1,j ≥ 0, Dvij ≥ 0, Dvij + f (i, j, vij) ≥ 0, Dvij + pij vij = 0, ...

Cho (i, j) ∈ Ω, giả sử giá trị của v tại (i, j) không nhỏ hơn giá trị tại bốn điểm

lân cận của nó, nghĩa là

∆x vi−1,j ≥ 0, ∆x vij ≤ 0, ∆y vi,j−1 ≥ 0, ∆y vij ≤ 0,

khi đó Dvij ≤ 0.

Ngược lại, nếu v thỏa mãn Dvij > 0, (i, j) ∈ Ω, khi đó với Dvij ≤ 0 thì v

không thể thỏa mãn tại bất kì điểm (i, j) nào trong Ω. Nói cách khác Dvij ≥ 0,

đúng với mọi (i, j) ∈ Ω và cực đại của v không thể đạt tại điểm nào trong Ω + ∂Ω

ngoại trừ tại điểm biên ngoài của Ω. Ta có nguyên lý cực đại sau.

Định lý 1.6.1. [10] Cho {vij }(i,j)∈Ω+∂Ω là dãy thực thỏa mãn

Dvij + f (i, j, vij ) ≥ 0,



(i, j) ∈ Ω.



Với mỗi (i, j) ∈ Ω thì f (i, j, vij ) ≤ 0 khi vij ≥ 0. Hơn nữa, nếu M = max{vij | (i, j) ∈

Ω + ∂Ω} ≥ 0 thì vij < M, ∀(i, j) ∈ Ω, trừ khi vij ≡ M, ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω.

Chứng minh. Giả sử tồn tại (α, β) ∈ Ω nào đó sao cho vαβ = M. Ta đi chứng

minh ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω thì vij = vαβ . Thật vậy

Xét xích (α, β) = (i1 , j1 ), (i2 , j2 ), . . . , (in , jn ) = (i, j) là những điểm lưới trong

Ω + ∂Ω. Vì vαβ = M nên vα−1,β , vα+1,β , vα,β−1 , vα,β+1 ≤ M suy ra Dvαβ ≤ 0.

Ta có 0 ≥ Dvαβ ≥ −f (α, β, vαβ ) ≤ 0 suy ra Dvαβ = 0 nên

vα−1,β + vα+1,β + vα,β−1 + vα,β+1 − 4M = 0,

hay

vα−1,β = vα+1,β = vα,β−1 = vα,β+1 = M.

Do đang xét trên xích nên vi2 j2 = M. Nếu (i2 , j2 ) = (i, j) ta lặp lại quá trình

này cho tới khi vij = vαβ = M, ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Vậy vij < M, ∀(i, j) ∈ Ω, trừ khi

vij ≡ M, ∀(i, j) ∈ Ω + ∂Ω.

12



Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hệ quả 1.6.2. [10] Với điều kiện như trong Định lý 1.6.1. Khi đó nếu vij ≤

0, ∀(i, j) ∈ ∂Ω thì vij < 0, ∀(i, j) ∈ Ω trừ khi v ≡ 0.

Chứng minh. Giả sử M = 0, nếu M đạt tại một điểm trong Ω, khi đó theo Định

lý 1.6.1 thì u ≡ M = 0. Nếu M không đạt tại một điểm trong Ω thì theo định

nghĩa M là cực đại ta có uij < M, ∀(i, j) ∈ Ω.

Hệ quả 1.6.3. [10] Xét hệ tuyến tính thuần nhất

Dvij + pij vij = 0,

vij = 0,



(i, j) ∈ Ω,



(i, j) ∈ ∂Ω,



với Ω là miền hữu hạn, pij ≤ 0, ∀i, j ∈ Z. Khi đó, hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

Chứng minh. Giả sử ngược lại v = {vij }(i,j)∈Ω+∂Ω là một nghiệm không tầm

thường. Đặt vαβ = max(i,j)∈Ω+∂Ω vij > 0. Ta có f (i, j, vij ) = pij vij ≤ 0 nếu

vij ≥ 0. Theo Định lý 1.6.1 thì (α, β) ∈ ∂Ω suy ra vαβ = 0, mâu thuẫn.

Hệ quả 1.6.4. [10] Cho Ω là một miền hữu hạn trong Z2 , pij ≤ 0, ∀i, j ∈ Z. Khi

đó hệ tuyến tính không thuần nhất

Dvij + pij vij = ωij ,



(i, j) ∈ Ω,



(i, j) ∈ ∂Ω



vij = gij ,

có nghiệm duy nhất.



Chứng minh. Giả sử ngược lại hệ này có hai nghiệm {vij } và {uij } khác nhau với

mọi (i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Khi đó,

D(vij − uij ) + pij (vij − uij ) = 0,

uij − vij = 0,



(i, j) ∈ Ω,



(i, j) ∈ ∂Ω.



Theo Hệ quả 1.6.3, hệ này chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra vij ≡ uij .



1.7



Một số kết quả khác sử dụng ở các chương sau



Định lý 1.7.1. [2, Định lý 16] Giả



b



a







M = · · ·





0





0



sử ac > 0, khi đó giá trị riêng của ma trận



c 0 · · · 0



b

c · · · 0









··· ···





· · · a b c





··· 0 a b

n×n



13