7 Phương pháp hệ tuyến tính

Chương 2. Nghiệm hiển

(u,v)

(u,v)∈Ω Gij puv ,



+ Công thức nghiệm: xij =



G(i,j) Dxuv +

uv



0=

(u,v)∈Ω



Gij



(do − puv = Dxuv )



G(i,j) puv

uv



Dxuv +

(u,v)∈Ω



(u,v)∈Ω

(u,v)



=



G(i,j) puv

uv

(u,v)∈Ω



(u,v)



=



(i, j) ∈ Ω. Thật vậy,



xuv DGij



G(i,j) puv

uv



+



(u,v)∈Ω



(do Định lý 1.5.1)



(u,v)∈Ω

(u,v)



=−



xuv δij



G(i,j) puv ,

uv



+

(u,v)∈Ω



(u,v)∈Ω



(i,j)

Guv puv .



= −xij +

(u,v)∈Ω



Vậy

G(i,j) puv .

uv



xij =



(2.38)



(u,v)∈Ω



Ta có định lý sau.

Định lý 2.7.1. [2, Định lý 76] Cho miền Ω là tập hữu hạn, khác rỗng trong Z2 .

Nếu {xij }(i,j)∈Ω+∂Ω là một nghiệm của (2.35)-(2.36) thì {xij }(i,j)∈Ω là một nghiệm

của (2.38). Ngược lại, nếu {yij }(i,j)∈Ω là một nghiệm của (2.38) thì dãy bổ sung

{xij }(i,j)∈Ω+∂Ω xác định: xij = yij nếu (i, j) ∈ Ω và xij = 0 nếu (i, j) ∈ ∂Ω sẽ là

một nghiệm của (2.35)-(2.36).

(u,v)



> 0, ∀(i, j) ∈ Ω. Thật vậy,









(u,v)

(u,v)

DG

D{−G(u,v) } = δ (u,v) ≥ 0, (i, j) ∈ Ω,





= −δij ≤ 0, (i, j) ∈ Ω,

ij

ij

ij

⇔

 (u,v)







Gij = 0, (i, j) ∈ ∂Ω

−G(u,v) = 0, (i, j) ∈ ∂Ω.

ij

+ Tính xác định dương: Gij



(u,v)



Hơn nữa, M := max{−Gij

(u,v)



|(i, j) ∈ Ω+∂Ω} suy ra M ≥ 0. Theo Hệ quả 1.6.2

(u,v)



(u,v)



thì −Gij < 0, ∀(i, j) ∈ Ω hoặc −Gij ≡ 0, ∀(i, j) ∈ Ω+∂Ω. Do D{−Guv } = 1

(u,v)

nên trường hợp thứ 2 không thể xảy ra. Vậy Gij > 0, ∀(i, j) ∈ Ω.

+ Định lý so sánh giữa hai hàm Green.

Định lý 2.7.2. [2, Định lý 78] Cho Ω hữu hạn, khác rỗng trong Z2 , với (a, b) ∈ ∂Ω,

˜

Ω := Ω + {(a, b)}. Cho G(u,v) là hàm Green gắn với bài toán biên (2.35)-(2.36).

˜

˜

G = {G(u,v) } là hàm Green gắn với bài toán biên





DG(u,v) = −δ (u,v) , (i, j) ∈ Ω,

˜

 ˜ ij

ij

 (u,v)

˜

˜

Gij = 0, (i, j) ∈ ∂ Ω,

35



Chương 2. Nghiệm hiển

(u,v)



khi đó Gij



˜ (u,v)

< Gij , ∀(i, j) ∈ Ω.



(u,v)

˜ (u,v)

Chứng minh. Đặt Hij = Gij − Gij , (i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Khi đó

(u,v)

˜ (u,v)

˜ (u,v)

DHij = DGij − DGij = 0, (i, j) ∈ Ω và Hij = −Gij , (i, j) ∈ ∂Ω.

˜

˜ (u,v) > 0, ∀(i, j) ∈ Ω và (a, b) ∈ ∂Ω nên Hab = −G(u,v) < 0 .

Mà G

ij



ab



˜ (u,v)

Gij



˜

˜

Lại có,

= 0, ∀(i, j) ∈ ∂Ω ∩ ∂ Ω hay Hij = 0, ∀(i, j) ∈ ∂Ω ∩ ∂ Ω ⊂ ∂Ω. Nghĩa

là Hij = const, (i, j) ∈ Ω + ∂Ω. Theo nguyên lí cực đại

(u,v)



max Hij < max Hij = max {−Gij



(i,j)∈Ω

(u,v)



Do vậy Gij



(i,j)∈∂Ω



} ≤ 0.



(i,j)∈∂Ω



˜ (u,v)

< Gij , ∀(i, j) ∈ Ω.



Sau đây ta xét một ví dụ đưa ra công thức hiển của hàm Green khi Ω là một

xích cụ thể. Cho Ω là một xích dạng {(i1 , j1 ), . . . , (in , jn )} sao cho (is , js ), (it , jt )

là lân cận khi và chỉ khi |s − t| = 1. Hàm Green

(i ,j )



G(is ,js ) = {G(is,jts) }n .

t=1

t

Kí hiệu

(i ,j )



G(t|s) = {G(is,jts) }n , s, t = 1, . . . , n.

t=1

t

Ví dụ 2.20. Cho xích Ω = {(1, 0), (2, 0), (3, 0)}. Khi đó

∂Ω = {(0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 0), (3, −1), (2, −1), (1, −1)}.

Kí hiệu (1, 0) là 1, (2, 0) là 2, (3, 0) là 3. Để tìm

1, 2, 3 vào (2.35)-(2.36)











−4G(1|1) + G(2|1) = −1







−4 1





⇔  1 −4



G(1|1) − 4G(2|1) + G(3|1) = 0













0

1



G(2|1) − 4G(3|1) = 0



G(t|1) ta thay lần lượt t =





  

0  G(1|1) −1



  

 G(2|1) =  0 

1 

  



  

−4 G(3|1)

0





 

−1   



0

G(1|1) −4 1

−1 −0.2679



 



  



⇔ G(2|1) =  1 −4 1  ×  0  = −0.0714 .



 



  





 



  



G(3|1)

0

1 −4

0

−0.0179

Tương tự để tính G(t|2) ta phải giải hệ









−4G(1|2) + G(2|2) = 0









G(1|2) − 4G(2|2) + G(3|2) = −1













G(2|2) − 4G(3|2) = 0







  

0  G(1|2)  0 

−4 1





  

⇔  1 −4 1  G(2|2) = −1





  





  

0

1 −4 G(3|2)

0



36



Chương 2. Nghiệm hiển



−1   

 



0

 0  0.0714

G(1|2) −4 1



  



 



⇔ G(2|2) =  1 −4 1  × −1 = 0.2857 .



  



 





  



 



0.0714

0

0

1 −4

G(3|2)

Với G(t|3) kết quả thu được là









−4G(1|3) + G(2|3) = 0









G(1|3) − 4G(2|3) + G(3|3) = 0













G(2|3) − 4G(3|3) = −1





 



G(1|3) 0.0719



 



⇔ G(2|3) = 0.0714 .



 





 



0.2679

G(3|3)



Như vậy, bản chất việc tìm G(t|s) là đi tìm nghịch đảo của ma trận dạng 3

đường chéo trên.

KẾT LUẬN

Trong chương này luận văn đã đưa ra một số phương pháp cơ bản: phương

pháp tuyến tính, nghiệm tách, tích chập, toán tử và tịnh tiến để tìm nghiệm

hiển của một vài lớp phương trình sai phân riêng như phương trình Laplace,

phương trình Poisson,.... Trong trường hợp tổng quát không phải lúc nào chúng

ta cũng tìm được công thức nghiệm hiển của phương trình sai phân riêng. Vì vậy,

ở chương tiếp theo luận văn đưa ra một số phương pháp để thu được được những

tiêu chuẩn tồn tại nghiệm với những đặc trưng như: dạng truyền sóng, bị chặn,

xác định dương của phương trình sai phân riêng.



37



Chương 3

Sự tồn tại nghiệm

Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài tiêu chuẩn dẫn đến sự tồn tại

nghiệm dương, nghiệm bị chặn hoặc nghiệm dạng truyền sóng của một số phương

trình sai phân riêng.



3.1



Nghiệm dạng truyền sóng



Xét phương trình nhiệt

(t)



(t)



u(t+1) = aun−1 + bu(t) + cun+1 , n ∈ Z, t ∈ N,

n

n



(3.1)



với a, b, c ∈ R. Một nghiệm của (3.1) được gọi là nghiệm truyền sóng nếu nó có

dạng

u(t) = ψ(n − ρt), (n, t) ∈ Ω = Z × N, ρ ∈ Z,

(3.2)

n

ρ là một số chưa biết trước, gọi là vận tốc truyền sóng.

ρ > 0: nói sóng dịch chuyển theo hướng dương,

ρ < 0: nói sóng dịch chuyển theo hướng âm,

ρ = 0: nói sóng dừng hoặc nghiệm dừng.

Trong phần này mục đích của chúng ta là đi tìm những nghiệm truyền sóng

dương dạng (3.2) của (3.1). Từ đó đưa ra điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

dạng này. Thay (3.2) vào (3.1) ta có

ψ(n − ρt − ρ) = aψ(n − 1 − ρt) + bψ(n − ρt) + cψ(n − ρt + 1).

Đặt k := n − ρt, khi đó ta thu được phương trình

ψ(k − ρ) = aψ(k − 1) + bψ(k) + cψ(k + 1),

hay

cψ(k − ρ + ρ + 1) + bψ(k − ρ + ρ) + aψ(k − ρ + ρ − 1) − ψ(k − ρ) = 0.

38



Chương 3. Sự tồn tại nghiệm

Theo định lí Định lý 1.7.4 phương trình trên có nghiệm dương khi và chỉ khi

phương trình đặc trưng

cλρ+1 + bλρ + aλρ−1 − 1 = 0,

có nghiệm dương. Vì vậy, phương trình (3.1) có nghiệm dương dạng truyền sóng

khi và chỉ khi nghiệm này có dạng

u(t) = λn−ρt , ρ ∈ Z, λ > 0, (n, t) ∈ Ω.

n



(3.3)



Vì lí do này thay vì tìm nghiệm dương dạng truyền sóng của (3.1) ta sẽ đi tìm

nghiệm dương của phương trình đặc trưng trên. Ta đi xét các trường hợp có thể

xảy ra của ρ là ρ ≥ 2, ρ ≤ −2, ρ = ±1, 0.

Nếu ρ ≥ 2 phương trình đặc trưng tương ứng là

H(λ) ≡ cλρ+1 + bλρ + aλρ−1 − 1 = 0.



(3.4)



Ta có định lí sau.

Định lý 3.1.1. [2, Định lý 105] Giả sử ρ ≥ 2 khi đó phương trình đặc trưng (3.4)

có nghiệm dương khi và chỉ khi các hệ số a, b, c thỏa mãn một trong các điều kiện

sau

(i) c > 0;

(ii) c = 0, b > 0;

(iii) c = 0, b = 0, a > 0;

(iv) c = 0, b < 0,

1

(ρ−1)

ρ

ρρ

(−b) ρ ;

(3.5)

a≥

(ρ − 1)(ρ−1)

(v) c < 0, a > 0, ψ(a, b, c, ρ) ≥ 1;

(vi) c < 0, a ≤ 0, b2 ρ2 ≥ 4ac(ρ2 − 1), ψ(a, b, c, ρ) ≥ 1 ở đây,

ψ(a, b, c, ρ) =



ρ−1

1

1

−

bρ + (b2 ρ2 − 4acρ2 + 4ac)

ρ+1

2c(ρ + 1)

b

× −

bρ + (b2 ρ2 − 4acρ2 + 4ac) +2a .

2c(ρ + 1)



Chứng minh. Trước tiên, H(0) = −1. Ta xét các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1. Với c > 0, thì limλ→+∞ H(λ) = +∞ nên ∃M > 0 : H(M ) >

0. Khi đó H(0).H(M ) < 0 và có H(λ) liên tục nên ∃λ ∈ (0, M ) sao cho H(λ) = 0

hay H(λ) có nghiệm dương ⇒ (i).

+ Trường hợp 2. Với c = 0, thì H(λ) = bλρ + aλρ−1 − 1, ta có các khả năng

• b > 0 ta có limλ→+∞ H(λ) = +∞, tương tự H(λ) có nghiệm dương ⇒ (ii).

39