1 Nghiệm dạng truyền sóng

Chương 3. Sự tồn tại nghiệm

Theo định lí Định lý 1.7.4 phương trình trên có nghiệm dương khi và chỉ khi

phương trình đặc trưng

cλρ+1 + bλρ + aλρ−1 − 1 = 0,

có nghiệm dương. Vì vậy, phương trình (3.1) có nghiệm dương dạng truyền sóng

khi và chỉ khi nghiệm này có dạng

u(t) = λn−ρt , ρ ∈ Z, λ > 0, (n, t) ∈ Ω.

n



(3.3)



Vì lí do này thay vì tìm nghiệm dương dạng truyền sóng của (3.1) ta sẽ đi tìm

nghiệm dương của phương trình đặc trưng trên. Ta đi xét các trường hợp có thể

xảy ra của ρ là ρ ≥ 2, ρ ≤ −2, ρ = ±1, 0.

Nếu ρ ≥ 2 phương trình đặc trưng tương ứng là

H(λ) ≡ cλρ+1 + bλρ + aλρ−1 − 1 = 0.



(3.4)



Ta có định lí sau.

Định lý 3.1.1. [2, Định lý 105] Giả sử ρ ≥ 2 khi đó phương trình đặc trưng (3.4)

có nghiệm dương khi và chỉ khi các hệ số a, b, c thỏa mãn một trong các điều kiện

sau

(i) c > 0;

(ii) c = 0, b > 0;

(iii) c = 0, b = 0, a > 0;

(iv) c = 0, b < 0,

1

(ρ−1)

ρ

ρρ

(−b) ρ ;

(3.5)

a≥

(ρ − 1)(ρ−1)

(v) c < 0, a > 0, ψ(a, b, c, ρ) ≥ 1;

(vi) c < 0, a ≤ 0, b2 ρ2 ≥ 4ac(ρ2 − 1), ψ(a, b, c, ρ) ≥ 1 ở đây,

ψ(a, b, c, ρ) =



ρ−1

1

1

−

bρ + (b2 ρ2 − 4acρ2 + 4ac)

ρ+1

2c(ρ + 1)

b

× −

bρ + (b2 ρ2 − 4acρ2 + 4ac) +2a .

2c(ρ + 1)



Chứng minh. Trước tiên, H(0) = −1. Ta xét các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1. Với c > 0, thì limλ→+∞ H(λ) = +∞ nên ∃M > 0 : H(M ) >

0. Khi đó H(0).H(M ) < 0 và có H(λ) liên tục nên ∃λ ∈ (0, M ) sao cho H(λ) = 0

hay H(λ) có nghiệm dương ⇒ (i).

+ Trường hợp 2. Với c = 0, thì H(λ) = bλρ + aλρ−1 − 1, ta có các khả năng

• b > 0 ta có limλ→+∞ H(λ) = +∞, tương tự H(λ) có nghiệm dương ⇒ (ii).

39



Chương 3. Sự tồn tại nghiệm

• b = 0 ta có H(λ) = aλρ−1 − 1.

Nếu a = 0 thì H(λ) = −1 < 0, ∀λ ⇒ loại.

Nếu a < 0 thì





lim

 λ→+∞ H(λ) = −∞ và H(0) = −1



⇒ H(λ) < 0, ∀λ > 0.







H (λ) = a(p − 1)λρ−2 ≤ 0, ∀λ > 0

Vậy H(λ) không có nghiệm dương.

Nếu a > 0 thì limλ→+∞ H(λ) = +∞, tương tự H(λ) có nghiệm dương

⇒ (iii).

• b < 0 ta có limλ→+∞ H(λ) = −∞ và H (λ) = bρλρ−1 + a(ρ − 1)λρ−2 , khi đó

H (λ) = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = −

Nếu a ≤ 0 thì λ2 ≤ λ1 = 0. Ta có





H (λ) > 0, ∀λ ∈ (λ , λ )



2

1









H (λ) < 0, ∀λ ∈ (λ1 , +∞)











H(λ1 ) = H(0) = −1



(ρ − 1)a

.

ρb



⇒ H(λ) < 0, ∀λ > 0 ⇒ loại.



Nếu a > 0 thì λ2 > 0, λ1 = 0 . Ta có





H (λ) > 0, ∀λ ∈ (λ , λ ) và H (λ) < 0, ∀λ ∈ (λ , ∞),



1

2

2



maxH(λ) = H(λ ) = aρ (− ρ−1 )ρ−1 1 − 1.



2

b

ρρ

λ>0



Để H(λ) có nghiệm dương thì H(λ2 ) ≥ 0 hay

ρρ

a≥

(ρ − 1)(ρ−1)



1

ρ



(−b)



(ρ−1)

ρ



⇒ (iv).



+ Trường hợp 3. Với c < 0 thì limλ→+∞ H(λ) = −∞.

H (λ) = c(ρ + 1)λρ−2 λ2 +



bρ

a(ρ − 1)

λ+

,

c(ρ + 1)

c(ρ + 1)



1

[bρ −

2c(ρ + 1)

1

µ2 = −

[bρ +

2c(ρ + 1)



H (λ) = 0 ⇔µ1 = −



µ3 = 0, nếu ρ = 2.

40



b2 ρ2 − 4ac(ρ2 − 1)],

b2 ρ2 − 4ac(ρ2 − 1)],



Chương 3. Sự tồn tại nghiệm

• a > 0 thì µ1 ≤ 0 = µ3 < µ2 . Khi đó





H (λ) > 0, ∀λ ∈ (0, µ ) và H (λ) < 0, ∀λ ∈ (µ , ∞),



2

2



maxH(λ) = H(µ ) = µρ−1 1 (bµ + 2a) − 1.



2

2

2

ρ+1

λ>0



Để tồn tại nghiệm dương thì H(µ2 ) ≥ 0 hay ψ(a, b, c, ρ) ≥ 1 ⇒ (v).

• a≤0

Nếu b2 ρ2 < 4(ρ2 − 1)ac thì µ1 , µ2 là nghiệm ảo ⇒ loại.

Nếu b2 ρ2 < 4(ρ2 − 1)ac thì 0 < µ1 < µ2 . Khi đó H (λ) < 0, λ ∈ (0, µ1 ) ∪

(µ2 , +∞) và H (λ) > 0, λ ∈ (µ1 , µ2 ). Để H(λ) có nghiệm dương thì H(µ2 ) ≥

0 hay ψ(a, b, c, ρ) ≥ 1 ⇒ (vi). Với ψ(a, b, c, ρ) xác định như trong định lí.



Nếu ρ ≤ −2 phương trình đặc trưng tương ứng là

H(λ) = λ−ρ+1 − cλ2 − bλ − a = 0.



(3.6)



Ta có định lý tương ứng sau.

Định lý 3.1.2. [2, Định lý 106] Giả sử ρ ≤ −2, khi đó phương trình đặc trưng có

một nghiệm dương khi và chỉ khi các hệ số a, b, c thỏa mãn một trong các điều

kiện sau

(i) a > 0;

(ii) a = 0, b > 0;

(iii) a = 0, b = 0, c > 0;

b

(iv) a = 0, b < 0, c ≥ −ρ( ρ+1 )(ρ+1)/ρ ;

(v) a < 0, c ≥ 0, φ(a, b, c, ρ) ≥ 1;

(vi) a < 0, c < 0, b2 ρ2 ≥ 4ac(ρ2 − 1), φ(a, b, c, ρ) ≥ 1, trong đó

φ(a, b, c, ρ) =



ρ



2a(ρ − 1)

b2 ρ2 − 4ac(ρ2 − 1) − bρ



b2 ρ2 − 4ac(ρ2 − 1) − b

.

ρ2 − 1



Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn như trường hợp ρ ≥ 2.

Khi ρ = 1 phương trình đặc trưng tương ứng là

cλ2 + bλ + a − 1 = 0.



(3.7)



Khi ρ = 0 phương trình đặc trưng tương ứng là

cλ2 + (b − 1)λ + a = 0.

41



(3.8)



Chương 3. Sự tồn tại nghiệm

Khi ρ = −1 phương trình đặc trưng tương ứng là

(c − 1)λ2 + bλ + a = 0.



(3.9)



Việc kiểm tra điều kiện để các phương trình này có nghiệm dương là kiến thức

sơ cấp. Ta có các định lý sau.

Định lý 3.1.3. [2, Định lý 107] Giả sử ρ = 1, khi đó phương trình đặc trưng

(3.7) có nghiệm dương khi và chỉ khi các hệ số a, b, c thỏa mãn một trong các điều

kiện sau (1) c = 0 và b(a − 1) < 0; (2) c > 0, b > 0 và a < 1; (3) c > 0, b ≤ 0

và b2 ≥ 4c(a − 1); (4) c < 0, b < 0 và a > 1; (5) c < 0, b ≥ 0 và b2 ≥ 4c(a − 1).

Định lý 3.1.4. [2, Định lý 108] Giả sử ρ = 0, khi đó phương trình (3.8) có

nghiệm dương khi và chỉ khi các hệ số a, b, c thỏa mãn một trong các điều kiện

sau (1) c = 0 và a(b − 1) < 0; (2) c > 0, b ≥ 1 và a < 0; (3) c > 0, b < 1 và

a ≤ (b − 1)2 /(4c); (4) c < 0, b ≤ 1 và a > 0; (5) c < 0, b > 1 và a ≥ (b − 1)2 /(4c).

Định lý 3.1.5. [2, Định lý 109] Giả sử ρ = −1, khi đó phương trình (3.9) có

nghiệm dương khi và chỉ khi các hệ số a, b, c thỏa mãn một trong các điều kiện sau

(1) c = 1 và ab < 0; (2) c > 1, b ≥ 0 và a < 0; (3) c > 1, b < 0 và a ≤ b2 /(4c−4);

(4) c < 1, b ≤ 0 và a > 0; (5) c < 1, b > 0, a ≥ b2 /(4c − 4).



3.2



Nghiệm dương và bị chặn



Xét phương trình nhiệt

(n)



(n)



(n+1)

um

− u(n) = r(um−1 − u(n) ) + r(um+1 − u(n) ), m ∈ Z, n ∈ N, r > 0.

m

m

m



Ta thấy với phân bố nhiệt ban đầu phù hợp, phương trình này có một nghiệm

(n)

dương, bị chặn {um } ≡ {1}. Vì vậy, câu hỏi đặt ra là liệu trong trường hợp tổng

quát phương trình này có nghiệm bị chặn không. Trong phần này, ta xét phương

trình tổng quát hơn.

Ví dụ 3.1. Xét phương trình nhiệt dưới dạng

(n)



(n)



u(n+1) − u(n) = αum−1 + βu(n) + γum+1 + qu(n−σ) , n ∈ N, m ∈ Z, σ ∈ N, (3.10)

m

m

m

m

(n)



với một tập bất kì các giá trị ban đầu um , −σ ≤ n ≤ 0, m ∈ Z.

Ta có thể tính được một cách liên tiếp và duy nhất dãy

(1)



(1)



(2)



(1)



(1)



(2)



(3)



(2)



(1)



u0 , u−1 , u0 , u1 , u−2 , u−1 , u0 , u1 , u2 , . . . ,

(n)



Dãy u = {um |m ∈ Z, n = −σ, −σ + 1, . . .} như trên được gọi là nghiệm của

(3.10) và là nghiệm duy nhất.

42



Chương 3. Sự tồn tại nghiệm

(n)



Nghiệm u = {um } gọi là nghiệm dương tại vô cùng khi có tồn tại một số

(n)

nguyên không âm T sao cho um > 0, m ∈ Z và n ≥ T .

(n)

(n)

(n)

Kí hiệu dãy vô hạn u(n) = {. . . , u−1 , u0 , u1 , . . .} ∈ lZ , khi đó nghiệm của

(3.10) có thể coi như dãy các vecto {u(n) }∞ . Hơn nữa dãy này thỏa mãn

n=−σ

u(n+1) − u(n) = Au(n) + qu(n−σ) , n ∈ N,



(3.11)



ở đây, A = (aij ) là ma trận vô hạn với aii = β, ai,i−1 = α, ai,i+1 = γ với i ∈ Z và

aij = 0, ∀i, j ∈ Z nếu ngược lại.

Véctơ v ∈ lZ là véctơ dương nếu mọi thành phần của v dương, kí hiệu v > 0.

Rõ ràng, nghiệm u của (3.10) là dương tại vô cùng khi và chỉ khi véc tơ {u(n) }

là dương tại vô cùng. Vì vậy (3.10) có một nghiệm dương tại vô cùng khi và chỉ

khi (3.11) có một nghiệm dương tại vô cùng.

Tiếp theo, nếu cho một số λ và một véc tơ v tương ứng sao cho

Av = λv,



(3.12)



thì với dãy {xn }∞

n=−σ là nghiệm nào đó của phương trình sai phân

xn+1 − xn = λxn + qxn−σ , n ∈ N,



(3.13)



ta có

xn+1 v − xn v = λxn v + qxn−σ v = xn Av + qxn−σ v, n ∈ N,

nghĩa là, {xn v} là một nghiệm của (3.11).

Như vậy, để tìm một nghiệm dương tại vô cùng và bị chặn của (3.11), ta cần

tìm

(i) Một số λ và một véc tơ tương ứng v dương và bị chặn sao cho Av = λv;

(ii) Tìm một nghiệm {xn } dương ở vô cùng và bị chặn của (3.13);

(iii) Khi đó {xn v} là nghiệm của (3.11).

Xét trường hợp khi λ = α + β + γ, khi đó (3.12) có nghiệm dương bị chặn

v = {1}. Xét phương trình sai phân

xn+1 − xn = (α + β + γ)xn + qxn−σ , n ∈ Z.



(3.14)



Ta cần tìm một nghiệm dương và bị chặn của (3.14), có thể tìm nghiệm dưới

dạng {tn }, với 0 < t ≤ 1. Thay vào (3.14) thu được phương trình đặc trưng

tσ+1 − (1 + α + β + γ)tσ − q = 0.

Ta cần tìm một nghiệm t ∈ (0, 1] của phương trình này là đủ. Thực vậy, đặt

h(t) = tσ+1 + atσ + b, t ∈ R, σ ∈ N.

43