Chương 2: Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

28



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



Ngược lại, nếu có đẳng thức (2.3) với một giá trò

nghiệm của F = 0. Khi đó

y = kx + C,



C



nào đó thì



k :=



y−C

x



phải là



y =k



do đó F (y ) = 0.

Nói cách khác, công thức (2.3) cho ta nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình y 2 − y + 2 = 0.

Phương trình này có nghiệm là



y−C

x



2



−



y−C

+ 2 = 0.

x



2.1.2 Dạng có thể giải ra đối với y hay x:

Giả sử (với vài điều kiện nào đó) phương trình (2.1) có thể giải ra được

Chẳng hạn,

y = f (x, y )



Khi đó, đặt p = y



=



dy

dx



y



hay x.

(2.4)



và xem p như tham số, ta được

y = f (x, p)



Vi phân hai vế của đẳng thức này ta được

dy =



∂f (x, p)

∂f (x, p)

dx +

dp

∂x

∂p



Thay dy = pdx ta được phương trình vi phân dạng

M(x, p)dx + N(x, p)dp = 0



Xem x như là hàm của p và giả sử phương trình này có nghiệm tổng quát là x = g(p, C).

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) được cho dưới dạng tham số

x = g(p, C)

y = f (x, p)



Tương tự như thế, các phương trình dạng giải ra được đối với x

x = h(y, y )



cũng giải được bằng cách đưa vào tham số p như trên.



2.2. Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange



2.1.3



F



29



không phụ thuộc vào y



Xét phương trình

F (x, y ) = 0



(∗)



Nếu có thể giải ra được y dạng

y = f (x)



Khi đó nghiệm tổng quát của (∗) là y =



f (x)dx + C .



Trường hợp ta không giải ra được y nhưng có thể tìm một phép tham số hoá phương

trình (∗) gồm

x = ϕ(t)

y = ψ(t)



sao cho

F (ϕ(t), ψ(t)) = 0



Khi đó



dy

=⇒ dy = ψ(t).ϕ (t)dt

dx

trình (∗) cho bởi dạng tham



ψ(t) = y =



Vậy nghiệm tổng quát của phương



số



x = ϕ(t)

y = ψ(t)ϕ (t)dt + C



Ví dụ: Giải phương trình ln y

Tham số hoá y



+ cos y − x = 0



= t, x = ln t + cos t

dy = tdx



ta có



và



Suy ra

y=



1

dx = ( − sin t)dt

t



(1 − t sin t)dt = t − sin t + t cos t + C



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = ln t + cos t

y = t − sin t + t cos t + C



2.2 Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut và

phương trình Lagrange

2.2.1 Tham số hoá tổng quát:

Trong phần này ta xét một số phương trình vi phân chưa giải ra đối với đạo hàm

F (x, y, y ) = 0

(2.5)



30



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



nhưng có thể tham số hoá được dưới dạng

x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v)



và y



= χ(u, v)



sao cho

F [ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0



Vi phân x và y theo u, v rồi thay vào đẳng thức dy = y dx ta có

∂ϕ

∂ψ

∂ψ

∂ϕ

du +

dv = χ(u, v)

du +

dv

∂u

∂v

∂u

∂v



Xem u như là hàm của v ta có phương trình

∂ϕ ∂ψ

−

du

∂v

∂v

=

∂ϕ

∂ψ

dv

−χ

∂u

∂u

χ



Đây là dạng phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử có nghiệm là

u = ξ(v, C)



Ta thay vào biểu thức của

phương trình (2.5) là



x



và y ta được nghiệm tổng quát dưới dạng tham số của

x = ϕ[ξ(v, C), v]

y = ψ[ξ(v, C), v]

2



Ví dụ: Giải phương trình y = y 2 − y x + x

2



Ta có thể tham số hoá phương trình bằng cách đặt x = x, y = p và y = p2 − px +

(xem x và p là hai tham số). Khi đó, vi phân đẳng thức cuối ta được



x2

2



dy = (x − p)dx + (2p − x)dp



Để ý rằng dy = pdx, từ đẳng thức trên, nếu 2p − x = 0 ta có

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y=

x



dp

= 1,

dx



suy ra p = x + C .



x2

+ Cx + C 2

2



Nếu 2p − x = 0 ta có p = , thay vào biểu thức tham số hoá ta có nghiệm

2

nghiệm này là nghiệm kỳ dò.



y=



x4

,

2



31



2.2. Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange



2.2.2 Phương trình Clairaut

Phương trình Clairaut là lớp các phương trình vi phân dạng

(2.6)



y = xy + f (y )



trong đó, nói chung, f là một hàm phi tuyến.

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình này bằng cách đặt p = y . Khi đó

y = px + f (p)



Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy = pdx ta được

hay



pdx = pdx + {x + f (p)} dp

{x + f (p)} dp = 0



Từ đó ta suy ra dp = 0 hay x + f (p) = 0.

Nếu dp = 0 thì p = C , thay vào (2.6) ta được nghiệm tổng quát

y = Cx + f (C)



(∗)



và đây là một họ đường thẳng.

Nếu x + f (p) = 0, cùng với (2.6), ta thu được một nghiệm cho dưới dạng tham số

x = −f (p)

y = −pf (p) + f (p)



Người ta chứng minh rằng nếu f (p) liên tục và khác không thì nghiệm cho dưới dạng

tham số là bao hình của họ đường thẳng (∗).

Ví dụ: Xét phương trình y = (x − 1)y − y 2

Đây là phương trình Clairaut với f (t) = −t2 − t. Thay thế y bởi C ta được nghiệm

tổng quát là họ đường thẳng

y = C(x − 1) − C 2



Để tìm nghiệm kỳ dò, tức là bao hình của họ đường thẳng trên ta xét hệ

x = 2C + 1

y = C(x − 1) − C 2



Khử C từ hệ phương trình này ta được bao hình là parabol

2.1).



y=



(x − 1)2

4



(xem Hình



32



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



3



0



-3



3



-3



Hình 2.1: Nghiệm của phương trình Clairaut với f (t) = −t2 − t.



2.2.3 Phương trình Lagrange

Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x và y dạng

y = ϕ(y )x + ψ(y )



(2.7)



được gọi là phương trình Lagrange 1.

Giả sử ϕ(y ) = y , nếu không phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đã

xét trên đây. Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p = y . Khi

đó phương trình (2.7) trở thành

y = ϕ(p)x + ψ(p)



(∗)



Vi phân hai vế theo x ta được

p=



dp

dy

= ϕ(p) + {ϕ (p)x + ψ (p)}

dx

dx



Xem p là biến số độc lập ta có phương trình tuyến tính mà ẩn là x = x(p) như sau:

ϕ (p)

ϕ (p)

dx

+

x=

dp ϕ(p) − p

p − ϕ(p)



Tích phân phương trình tuyến tính này theo phương pháp đã biết ta được nghiệm tổng

quát x = h(p, C), với C là tham số tuỳ ý.

Kết hợp với (∗) ta có nghiệm tổng quát của (2.7) cho dưới dạng tham số tham số

hoá theo tham số p:

y = ϕ(p)h(p, C) + ψ(p)

x = h(p, C)



1



J.L.Lagrange (1736 − 1813) là nhà toán học nổi tiếng người Pháp.



33



2.3. Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I



Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trò của tham số p = pi (trong đó pi là nghiệm

của phương trình ϕ(p) − p = 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (2.7).

Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này có thể là nghiệm kỳ dò hoặc không.

Ví dụ: Giải phương trình y = xy 2 − y .

Đặt p = y , khi đó

y = xp2 − p



Vi phân hai vế của đẳng thức này theo x với chú ý dy = pdx, sau khi thu gọn ta được

(p2 − p)dx + (2px − 1)dp = 0



Giả sử p2 − p = 0 ta có



dx

2

1

+

x=

dp p − 1

p(p − 1)



Giải phương trình này ta được:

x=



C + p − ln p

(p − 1)2



Thay vào biểu thức của y ta được nghiệm tổng quát dạng tham số:

x=

y=



C+p−ln p

(p−1)2

(C+p−ln p)p2

(p−1)2



−p



Các nghiệm ứng với p = 0 và p = 1 là y = 0 và y = x − 1 tương ứng.



2.3 Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dò

Trong chương trước ta đã đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với PTVP cấp

I dạng giải ra được đối với đạo hàm

dy

= f (x, y)

dx



Trong mục này ta xét trường hợp PTVP cấp I dạng tổng quát

F (x, y, y ) = 0



(2.8)



Nói chung ta không luôn luôn viết phương trình này dưới dạng giải ra được đối với

đạo hàm. Điều đó cho thấy rằng tính chất duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

(2.8), với điều kiện ban đầu (x0 , y0), không phải lúc nào cũng được bảo đảm. Nói

cách khác, qua điểm (x0, y0) ∈ R2 có thể có nhiều nghiệm của (2.8) đi qua.



34



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



Ví dụ: Phương trình Clairaut (2.6) với



có nghiệm kỳ dò là parabol

(xem hình 2.1). Tại mỗi điểm dọc theo parabol này có tồn tại một nghiệm

khác mà đồ thò là đường thẳng tiếp xúc với parabol nói trên tại điểm đó.

Đònh lý sau đây khẳng đònh sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng

quát.

(x − 1)

4



2



f (t) = −t2 − t



Đònh lý 2.3.1. Nếu hàm F (x, y, p) thoả các điều kiện sau:

i) F (x, y, p) liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trong lân cận của (x0 , y0 , p0 ) ∈

R3 (tức là F thuộc lớp C 1 trong lân cận điểm này)

ii) F (x0 , y0 , p0 ) = 0

iii)



∂F

(x0 , y0 , p0 ) = 0

∂p



thì phương trình (2.8) có duy nhất một nghiệm y = y(x) lớp C 1 trong lân cận của x0

thoả điều kiện ban đầu:

y(x0 ) = y0



sao cho



y (x0 ) = p0



Chứng minh: Các giả thiết trong đònh lý trên chính là các giả thiết của đònh lý hàm



ẩn, do đó phương trình (2.8) xác đònh duy nhất hàm p = f (x, y) lớp C 1 sao cho

p0 = f (x0 , y0 ). Khi đó ta có phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm

dy

= f (x, y)

dx



trong đó f khả vi liên tục. Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo đònh

lý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấy

có tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) thoả điều kiện ban đầu y(x0) = y0.



2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dò theo p−biệt tuyến

Đònh lý trên cho thấy nghiệm kỳ dò có thể xảy ra khi các điều kiện của đònh lý không

thoả mãn. Rõ ràng với hàm F = F (x, y, p) khả vi liên tục, nghiệm kỳ dò chỉ có thể

xảy ra nếu tại đó

∂F

=0

∂p



Ta gọi M ⊂ R3 là siêu mặt cho bởi phương trình F (x, y, p) = 0 và giả sử π : M −→ R2 ,

π(x, y, p) = (x, y) là phép chiếu tự nhiên theo toạ độ p. Khi đó các điểm kỳ dò của

ánh xạ π cho bởi hệ phương trình



 F (x, y, p) = 0

∂F

=0



∂p



(∗)



35



2.3. Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I



Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng

(2.9)



Φ(x, y) = 0



Phương trình này xác đònh một đường cong trong R2, được gọi là đường cong biệt

lập (discriminant) hay p−biệt tuyến của phương trình (2.8).

Vậy để tìm nghiệm kỳ dò theo p−biệt tuyến trước hết ta tìm p− biệt tuyến cho bởi

hệ (∗), sau đó thử xem biệt tuyến có phải là nghiệm của phương trình (2.8) hay không.

Cuối cùng trong số các nghiệm này chọn ra các nghiệm mà dọc theo nó tính duy nhất

bò vi phạm; đó chính là nghiệm kỳ dò.

Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dò của phương trình y = 2xy − y 2

Ta có biệt tuyến cho bởi

y = 2xp − p2 , 2x − 2p = 0



Từ đó biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y). Tuy nhiên, y = x2 lại

không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình không có nghiệm kỳ

dò.



Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dò của phương trình y = y 2 − xy



+



x2

2



Ta có p−biệt tuyến cho bởi

y = p2 − xp



Từ đó ta có biệt tuyến là parabol y =



x2

4



x2

, 2p − x = 0

2



và cũng là nghiệm của phương trình đã cho.



Ngoài ra nghiệm tổng quát của nó là (xem ví dụ trang 30)

y = Cx + C 2 +



x2

2

x2



Do đó với mọi điểm (x0 , y0) trên parabol này, i.e. y0 = 0 , ta xét phương trình theo

4

C:

x2

x2

y0 = Cx0 + C 2 + 0 hay C 2 + x0 C + 0 = 0

2



Phương trình này luôn có nghiệm

(x0 , y0 ).

Vậy y =



x2

4



C = −



4



x0

,

2



tức là luôn có nghiệm thứ hai đi qua



là nghiệm kỳ dò của phương trình đã cho.



36



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



Hình 2.2: Mặt cho bởi phương trình p2 − x = 0



2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dò theo C−biệt tuyến

Đối với những phương trình mà tích phân tổng quát của nó cho bởi

Φ(x, y, C) = 0



(2.10)



ta có thể tìm nghiệm kỳ dò của nó thông qua việc tìm các C− biệt tuyến, tức là đường

cong trong R2 xác đònh bằng cách khử C từ hệ

Φ(x, y, C) = 0

∂Φ

(x, y, C) = 0

∂C



(2.11)



Nhận xét: Có thể kiểm tra không khó (xem [1]) rằng nếu C− biệt tuyến là bao hình



của họ đường cong (2.10) thì nó là một nghiệm kỳ dò của phương trình (2.8). Do đó

để tìm nghiệm kỳ dò của (2.8) trước hết ta tìm C−biệt tuyến của nó. Biệt tuyến đó là

đường cong R(x, y) = 0 nhận được bằng cách khử C từ hệ (2.11). Sau đó , thử xem có

nhánh nào của C− biệt tuyến là bao hình của họ đường cong (2.10) hay không; nếu

có, đó chính là nghiệm kỳ dò của phương trình.

Chú ý: Nếu hàm Φ trong (2.10) có các đạo hàm riêng cấp I theo x và y bò chặn và

không đồng thời bằng không thì C−biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát

(2.10); nói cách khác C−biệt tuyến là nghiệm kỳ dò.

4

8

Ví dụ: (xem [1]) Tìm nghiệm kỳ dò của phương trình Lagrange x − y = 9 y 2 − 27 y 3

Phương trình Lagrange này có tích phân tổng quát là (y − C)2 = (x − C)3. Do đó

biệt tuyến cho bởi hệ

(y − C)2 = (x − C)3

2(y − C) = 3(x − C)2



37



2.3. Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I



Khử C ta được

y = x,



y =x−



4

27



4



Chỉ có y = x − là bao hình nên nó là nghiệm kỳ dò. Còn đường thẳng y = x chứa

27

các điểm kỳ dò của nghiệm tổng quát (xem Hình 2.3).



Y=x - 4/27



x

Y=



Hình 2.3: Nghiệm kỳ dò của phương trình x − y =



4 2

8

y − y3

9

27



38



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



BÀI TẬP

1. Giải các phương trình vi phân sau đây

(a)

(b)

(c)

(d)



y 2 − (x + y)y + xy = 0

y 3 − yy 2 − x2 y + x2 y = 0

xy 3 = 1 + y

y 3 + y 3 = 3yy



2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình Lagrange và Clairaut sau đây

(a)

(b)

(c)

(d)



y = xy + 12

xy − y = ln y

y = xy +



y2+1



yy = 2y 2 x + 1



3. Tìm nghiệm kỳ dò của các phương trình vi phân sau đây:

(a)

(b)

(c)

(d)



xy 2 − 2yy + 4x = 0

y 4 = 4y(xy − 2y)2

yy (yy − 2x) = x2 − 2y 2

2y − 3y 1/3 = 0