3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I

34



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



Ví dụ: Phương trình Clairaut (2.6) với



có nghiệm kỳ dò là parabol

(xem hình 2.1). Tại mỗi điểm dọc theo parabol này có tồn tại một nghiệm

khác mà đồ thò là đường thẳng tiếp xúc với parabol nói trên tại điểm đó.

Đònh lý sau đây khẳng đònh sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng

quát.

(x − 1)

4



2



f (t) = −t2 − t



Đònh lý 2.3.1. Nếu hàm F (x, y, p) thoả các điều kiện sau:

i) F (x, y, p) liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trong lân cận của (x0 , y0 , p0 ) ∈

R3 (tức là F thuộc lớp C 1 trong lân cận điểm này)

ii) F (x0 , y0 , p0 ) = 0

iii)



∂F

(x0 , y0 , p0 ) = 0

∂p



thì phương trình (2.8) có duy nhất một nghiệm y = y(x) lớp C 1 trong lân cận của x0

thoả điều kiện ban đầu:

y(x0 ) = y0



sao cho



y (x0 ) = p0



Chứng minh: Các giả thiết trong đònh lý trên chính là các giả thiết của đònh lý hàm



ẩn, do đó phương trình (2.8) xác đònh duy nhất hàm p = f (x, y) lớp C 1 sao cho

p0 = f (x0 , y0 ). Khi đó ta có phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm

dy

= f (x, y)

dx



trong đó f khả vi liên tục. Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo đònh

lý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấy

có tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) thoả điều kiện ban đầu y(x0) = y0.



2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dò theo p−biệt tuyến

Đònh lý trên cho thấy nghiệm kỳ dò có thể xảy ra khi các điều kiện của đònh lý không

thoả mãn. Rõ ràng với hàm F = F (x, y, p) khả vi liên tục, nghiệm kỳ dò chỉ có thể

xảy ra nếu tại đó

∂F

=0

∂p



Ta gọi M ⊂ R3 là siêu mặt cho bởi phương trình F (x, y, p) = 0 và giả sử π : M −→ R2 ,

π(x, y, p) = (x, y) là phép chiếu tự nhiên theo toạ độ p. Khi đó các điểm kỳ dò của

ánh xạ π cho bởi hệ phương trình



 F (x, y, p) = 0

∂F

=0



∂p



(∗)



35



2.3. Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I



Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng

(2.9)



Φ(x, y) = 0



Phương trình này xác đònh một đường cong trong R2, được gọi là đường cong biệt

lập (discriminant) hay p−biệt tuyến của phương trình (2.8).

Vậy để tìm nghiệm kỳ dò theo p−biệt tuyến trước hết ta tìm p− biệt tuyến cho bởi

hệ (∗), sau đó thử xem biệt tuyến có phải là nghiệm của phương trình (2.8) hay không.

Cuối cùng trong số các nghiệm này chọn ra các nghiệm mà dọc theo nó tính duy nhất

bò vi phạm; đó chính là nghiệm kỳ dò.

Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dò của phương trình y = 2xy − y 2

Ta có biệt tuyến cho bởi

y = 2xp − p2 , 2x − 2p = 0



Từ đó biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y). Tuy nhiên, y = x2 lại

không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình không có nghiệm kỳ

dò.



Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dò của phương trình y = y 2 − xy



+



x2

2



Ta có p−biệt tuyến cho bởi

y = p2 − xp



Từ đó ta có biệt tuyến là parabol y =



x2

4



x2

, 2p − x = 0

2



và cũng là nghiệm của phương trình đã cho.



Ngoài ra nghiệm tổng quát của nó là (xem ví dụ trang 30)

y = Cx + C 2 +



x2

2

x2



Do đó với mọi điểm (x0 , y0) trên parabol này, i.e. y0 = 0 , ta xét phương trình theo

4

C:

x2

x2

y0 = Cx0 + C 2 + 0 hay C 2 + x0 C + 0 = 0

2



Phương trình này luôn có nghiệm

(x0 , y0 ).

Vậy y =



x2

4



C = −



4



x0

,

2



tức là luôn có nghiệm thứ hai đi qua



là nghiệm kỳ dò của phương trình đã cho.



36



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



Hình 2.2: Mặt cho bởi phương trình p2 − x = 0



2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dò theo C−biệt tuyến

Đối với những phương trình mà tích phân tổng quát của nó cho bởi

Φ(x, y, C) = 0



(2.10)



ta có thể tìm nghiệm kỳ dò của nó thông qua việc tìm các C− biệt tuyến, tức là đường

cong trong R2 xác đònh bằng cách khử C từ hệ

Φ(x, y, C) = 0

∂Φ

(x, y, C) = 0

∂C



(2.11)



Nhận xét: Có thể kiểm tra không khó (xem [1]) rằng nếu C− biệt tuyến là bao hình



của họ đường cong (2.10) thì nó là một nghiệm kỳ dò của phương trình (2.8). Do đó

để tìm nghiệm kỳ dò của (2.8) trước hết ta tìm C−biệt tuyến của nó. Biệt tuyến đó là

đường cong R(x, y) = 0 nhận được bằng cách khử C từ hệ (2.11). Sau đó , thử xem có

nhánh nào của C− biệt tuyến là bao hình của họ đường cong (2.10) hay không; nếu

có, đó chính là nghiệm kỳ dò của phương trình.

Chú ý: Nếu hàm Φ trong (2.10) có các đạo hàm riêng cấp I theo x và y bò chặn và

không đồng thời bằng không thì C−biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát

(2.10); nói cách khác C−biệt tuyến là nghiệm kỳ dò.

4

8

Ví dụ: (xem [1]) Tìm nghiệm kỳ dò của phương trình Lagrange x − y = 9 y 2 − 27 y 3

Phương trình Lagrange này có tích phân tổng quát là (y − C)2 = (x − C)3. Do đó

biệt tuyến cho bởi hệ

(y − C)2 = (x − C)3

2(y − C) = 3(x − C)2



37



2.3. Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I



Khử C ta được

y = x,



y =x−



4

27



4



Chỉ có y = x − là bao hình nên nó là nghiệm kỳ dò. Còn đường thẳng y = x chứa

27

các điểm kỳ dò của nghiệm tổng quát (xem Hình 2.3).



Y=x - 4/27



x

Y=



Hình 2.3: Nghiệm kỳ dò của phương trình x − y =



4 2

8

y − y3

9

27



38



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



BÀI TẬP

1. Giải các phương trình vi phân sau đây

(a)

(b)

(c)

(d)



y 2 − (x + y)y + xy = 0

y 3 − yy 2 − x2 y + x2 y = 0

xy 3 = 1 + y

y 3 + y 3 = 3yy



2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình Lagrange và Clairaut sau đây

(a)

(b)

(c)

(d)



y = xy + 12

xy − y = ln y

y = xy +



y2+1



yy = 2y 2 x + 1



3. Tìm nghiệm kỳ dò của các phương trình vi phân sau đây:

(a)

(b)

(c)

(d)



xy 2 − 2yy + 4x = 0

y 4 = 4y(xy − 2y)2

yy (yy − 2x) = x2 − 2y 2

2y − 3y 1/3 = 0



Chương 3

Phương trình vi phân cấp cao

Chương này trình bày một số kiến thức tổng quan về phương trình vi phân cấp cao và

lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao.



3.1 Phương trình vi phân cấp cao

3.1.1 Các khái niệm:

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng

(3.1)

trong đó F là một hàm xác đònh (liên tục) trên tập mở nào đó của Rn+2 và nhất thiết

phải có sự tham gia của đạo hàm cấp n của ẩn y(n).

Với một vài giả thiết thích hợp, đònh lý hàm ẩn cho phép viết phương trình (3.1)

dưới dạng sau đây, được gọi là dạng đã giải ra đối với đạo hàm:

(3.2)

y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )

Dưới dạng này ta có thể đưa việc nghiên cứu một phương trình cấp cao về nghiên cứu

(hệ) phương trình vi phân cấp I. Thật vậy, bằng cách đưa thêm vào các ẩn mới y1 := y ,

y2 := y ,...., yn := y (n−1) ta thu được

F (x, y, y , y , . . . , y (n)) = 0





 y1 = y2





 ...............





 yn−1 = yn







 y = f (x, y1, . . . , yn )

n



(3.3)



Xem y := (y1, . . . , yn)T , f (x, y) := y2, . . . , yn, f (x, y1, . . . , yn )T là các vector-hàm ta

có thể viết lại (3.3) dưới dạng đơn giản

y = f (x, y)

(3.4)



40



Chương 3. Phương trình vi phân cấp cao



3.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm:

Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp I, bài toán Cauchy đối với phương

trình vi phân cấp cao (3.1) đặt ra như sau:

Tìm nghiệm y(x) của phương trình (3.1) thoả điều kiện ban đầu:

(n−1)

(3.5)

y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) = y0

(n−1)

trong đó x0 ∈ I ⊂ R và Y0 := (y0, y0, . . . , y0 ) ∈ Rn cố đònh, cho trước.

Để phát biểu đònh lý khẳng đònh sự tồn tại lời giải của bài toán Cauchy ta cần khái

niệm sau:

Cho vector-hàm f (x, y) xác đònh trên miền G ⊂ R × Rn. Ta nói f thoả điều kiện

Lipschitz trên G theo y nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số Lipschitz) sao

cho:

||f (x, y1 ) − f (x, y2 )|| ≤ L||y1 − y2 ||, với mọi (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ G

Ta lưu ý rằng điều kiện Lipschitz không phải là hệ quả của tính liên tục. Chẳng hạn

hàm f (x, y) = √y liên tục nhưng không thoả điều kiện trên.

ù



Đònh lý 3.1.1 (Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho PTVP cấp cao). Giả sử vectorhàm f (x, y) trong (3.4) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo y trên miền

G = {(x, y) ∈ R × Rn / |x − x0 | ≤ a, ||y − y0 || ≤ b}



Khi đó bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu (3.5) có một nghiệm duy nhất trên đoạn

b

I := [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, M ) và M := max(x,y)∈G ||f (x, y)||.



Chứng minh: Tương tự như trong trường hợp PTVP cấp I, chỉ cần thay giá trò tuyệt



đối bởi chuẩn trong Rn .

Nhận xét: Ta cũng đònh nghóa các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp cao

tương tự như trong chương I. Chẳng hạn, nghiệm kỳ dò của (3.2) là nghiệm mà tại

mỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm bò vi phạm. Ta gọi nghiệm tổng quát

của (3.2) là họ các hàm ϕ(x, C1, . . . , Cn ) phụ thuộc (một cách liên tục) vào n hằng số

tuỳ ý C1, . . . , Cn. Với mỗi bộ giá trò của n tham số này ta nhận được một nghiệm

riêng của phương trình.

Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trình y = y là y(x) = C1 ex + C2e−x . Nó phụ

thuộc vào hai hằng số tuỳ ý C1 và C2.



3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu

phương:

a) Phương trình F (x, y (n)) = 0



Phương trình này chỉ phụ thuộc vào biến độc lập và đạo hàm cấp cao nhất. Trong

trường hợp có thể giải ra đối với đạo hàm:

y (n) = f (x)