4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I

1.4. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I



15



Cách giải: Các hàm M(x), N(y) được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó.

Khi đó chỉ cần tích phân hai vế của (1.9) ta thu được tích phân tổng quát của nó là

M(x)dx +



Ví dụ: Giải phương trình y 2y



N(y)dy = C



= x(1 + x2 ).



Phương trình này có dạng tách biến



y 2 dy − x(1 + x2 )dx = 0



Tích phân hai vế ta thu được nghiệm tổng quát là:

y 3 x2 x4

−

−

=C

3

2

4



Nhận xét: Phương trình dạng

M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy



(1.10)



cũng đưa được về dạng (1.9) với biến số phân ly, bằng cách chia hai vế cho M2 (x)N1 (y)

(với giả thiết biểu thức này khác 0)

N2 (y)

M1 (x)

dx +

dy = 0

M2 (x)

N1 (y)



Do đó tích phân tổng quát là

M1 (x)

dx +

M2 (x)



N2 (y)

dy = C

N1 (y)



Ví dụ: Giải phương trình x(1 + y 2)dx + y(1 + x2 )dy = 0

Chia hai vế cho (1 + x2 )(1 + y 2) ta được



ydy

xdx

+

=0

2

1+x

1 + y2



Tích phân hai vế ta được

xdx

+

1 + x2



tức là



ydy

=C

1 + y2



1

1

1

ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 ) = C := ln C1

2

2

2



Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là (1 + x2 )(1 + y 2) = C1 trong đó C1

là hằng số tuỳ ý.



16



Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I



1.4.2 Phương trình vi phân thuần nhất:

Hàm số f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc m nếu với mọi t > 0 ta có

f (tx, ty) = tm f (x, y)



Phương trình vi phân y = f (x, y) được gọi là thuần nhất (hay còn gọi đẳng cấp)

nếu hàm số ở vế phải là hàm thuần nhất bậc 0, tức là f (tx, ty) = f (x, y) với mọi

t > 0.

Nhận xét: Nếu đặt u := y ta có f (x, y) = f (± |x| , |x| y ) = f (±1, ±u) =: g(u).

|x|



x



Cách giải:

Đặt y = xu, ta có



dy

du

= x + u.

dx

dx



Từ đó

x



hoặc dưới dạng tách biến



du

+ u = g(u)

dx



du

dx

=

g(u) − u

x



Tích phân hai vế ta được



x

du

= ln

g(u) − u

C



hay

x = C exp



du

g(u) − u



với C = 0



y



Thay u = vào biểu thức trên ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình thuần

x

nhất.

Ví dụ: Giải phương trình (x2 + y 2)dx + xydy = 0

Ta có thể viết phương trình đã cho dưới dạng

dy

y x

=− −

dx

x y



Vế phải của phương trình này là hàm thuần nhất.

Đặt y = xu ta có x



1

du

+ u + u + = 0,

dx

u



hay tương đương với



dx

udu

=−

x

1 + 2u2



Tích phân phương trình này ta được

ln



1

x

= − ln(1 + 2u2 )

C

4



17



1.4. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I



Thay u =



y

x



vào đẳng thức này ta được nghiệm

x4 =



C 4 x2

x2 + 2y 2



với C = 0.



Phương trình đưa về thuần nhất:

Các phương trình dạng



ax + by + c

dy

= f(

)

dx

a1 x + b1 y + c1



có thể đưa về dạng thuần nhất bằng phép biến đổi

x = ξ + x0

y = η + y0



trong đó x0 và y0 được chọn sao cho:

ax0 + by0 + c = 0

a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0



Khi đó



dη

=f

dξ

=f



aξ + bη

a1 ξ + b1 η

a + bη

ξ

a1 +



b1 η

ξ



=g



η

ξ



và đây chính là phương trình dạng thuần nhất.

Ví dụ: Giải phương trình (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0.

Trước hết ta xét hệ phương trình sau

2x0 − 4y0 + 6 = 0

x0 + y0 − 3 = 0



Hệ này có nghiệm là x0 = 1, y0 = 2. Tiếp đến ta thực hiện phép đổi biến

x=ξ+1

y =η+2



Khi đó phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình thuần nhất:

(2ξ − 4η)dξ + (ξ + η)dη = 0



Để giải phương trình này ta đặt η = uξ thì thu được

(2 − 3u + u2 )dξ + ξ(1 + u)du = 0



18



Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I



Phương trình này chấp nhận nghiệm u = 1 và u = 2. Để tìm nghiệm tổng quát ta chia

2 vế cho 2 − 3u + u2:

dξ

(1 + u)du

=0

+

ξ

2 − 3u + u2

3

2

dξ

+

−

du = 0

ξ

u−2 u−1



⇔



Tích phân 2 vế ta được

ln |ξ| + ln



hay



ξ



|u − 2|3

= ln C1

(u − 1)2



(u − 2)3

=C

(u − 1)2



Trở lại biến x, y ban đầu ta có nghiệm tổng quát

(y − 2x)3 = C(y − x − 1)2



cùng với hai nghiệm y = x + 1 và y = 2x tương ứng với u = 1 và u = 2.



1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần:

Phương trình vi phân dạng

(1.11)



P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0



được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phân toàn phần

của hàm nào đó, tức là tồn tại hàm U(x, y) sao cho

dU(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy



Khi đó tích phân tổng quát của (1.11) cho bởi

U(x, y) = C



Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.11) là phương trình vi phân toàn

phân là



∂P

∂Q

=

∂y

∂x



Và khi đó hàm U(x, y) có thể tìm dưới dạng:

x



hay



y



P (x, y)dx +



U(x, y) =

x0

x



Q(x0 , y)dy

y0

y



P (x, y0)dx +



U(x, y) =

x0



Q(x, y)dy

y0



(1.12)



19



1.4. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I



trong đó (x0 , y0) là một điểm nào đó sao cho các tích phân trên tồn tại.

Ví dụ: Giải phương trình (x3 + xy 2)dx + (x2 y + y 3)dy = 0.

Ta có P (x, y) = x3 + xy 2 và Q(x, y) = x2 y + y 3 nên

∂Q

∂P

= 2xy =

∂y

∂x



Hệ thức này chứng tỏ rằng phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần với

hàm U(x, y) có thể chọn là

x



U(x, y) =

0



hay



y



(x3 + xy 2 )dx +



x4 x2 y 2 y 4

+

+

U(x, y) =

4

2

4



(0.y + y 3 )dy



0



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

(x2 + y 2)2 = 4C1 := C 2



hay



với C ≥ 0



x2 + y 2 = C



Thừa số tích phân:

Có những trường hợp phương trình (1.11) chưa phải là phương trình vi phân toàn phần,

nhưng có thể tìm được hàm số µ(x, y) sao cho phương trình sau trở thành phương trình

vi phân toàn phần:

µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} = 0



Hàm µ(x, y) như thế được gọi là thừa số tích phân của phương trình (1.11). Điều

kiện để µ là thừa số tích phân là µ phải thoả mãn phương trình:

∂

∂

(µP ) =

(µQ)

∂y

∂x



Hay tương đương

Q



∂µ

∂µ

−P

=µ

∂x

∂y



∂P

∂Q

−

∂y

∂x



(∗)



Không có phương pháp tổng quát để giải phương trình đạo hàm riêng này. Tuy nhiên

trong một vài trường hợp đặc biệt ta có thể tìm được µ.

Trường hợp I: µ chỉ phụ thuộc vào x.

Giả sử µ > 0, khi đó chia hai vế của (∗) cho µ, ta được

d ln µ

=

dx



∂P

∂y



−

Q



∂Q

∂x



=: ϕ



20



Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I



Vậy trường hợp này chỉ thoả mãn khi vế phải của đẳng thức trên không phụ thuộc vào

y . Với điều kiện này, thừa số tích phân cho bởi:

µ(x) = exp



ϕ(x)dx



Trường hợp II: µ chỉ phụ thuộc vào y .



Làm tương tự như trên, thừa số tích phân cho bởi:

µ(y) = exp

∂Q

∂x



−



ψ(y)dy



∂P

∂y



được giả thiết không phụ thuộc vào x.

trong đó ψ(y) :=

P

Ví dụ: Tìm thừa số tích phân rồi giải phương trình (2xy +x2 y +y 3/3)dx+(x2 +y 2)dy =

0.

Ta có P (x, y) = 2xy + x2y + y 3/3 và Q(x, y) = x2 + y 2 nên

∂P

∂y



−

Q



Do đó có thể chọn µ(x) = exp(



∂Q

∂x



=



2x + x2 + y 2 − 2x

=1

x2 + y 2



dx) = ex



để cho phương trình



ex [(2xy + x2 y + y 3/3)dx + (x2 + y 2)dy] = 0



là phương trình vi phân toàn phần. Tích phân phương trình này theo công thức (1.12)

ta được tích phân tổng quát

yex (x2 + y 2 /3) = C



1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I:

Trong mục này ta xét lớp các phương trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối với

ẩn và đạo hàm của nó. Các phương trình như thế được gọi là phương trình vi phân

tuyến tính. Dạng tổng quát của PTVP tuyến tính là

y + p(x)y = q(x)



(1.13)



trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó.

Nếu q(x) ≡ 0, ta có PTVP tuyến tính thuần nhất:

y + p(x)y = 0



(1.14)



Cách giải: Ta có thể tìm nghiệm y của (1.13) dưới dạng tích y = u(x)v(x) (phương

pháp Bernoully). Thay vào phương trình (1.13) ta được

u v + uv + p(x)uv = q(x)



(1.15)



21



1.4. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I



Ta chọn hàm v sao cho

(1.16)



v + p(x)v = 0



tức là giải phương trình thuần nhất tương ứng (1.14). Phương trình này có thể viết dưới

dạng tách biến

dv

= −p(x)dx

v



Tích phân hai vế ta được

p(x)dx + ln |C1 | ,



ln |v| = −



hay



|v| = |C1 | exp −



với C1 = 0



p(x)dx



Dó nhiên v = 0 cũng là nghiệm của (1.14), nên nghiệm tổng quát của phương trình

tuyến tính thuần nhất là

v(x) = Ce−



Bây giờ có thể lấy v(x) = e−



p(x)dx



(1.17)



p(x)dx



, khi đó phương trình (3.3.3) trở thành

u v = f (x)



Từ đó ta có



q(x)

dx + C

v(x)



u=



Thay biểu thức của u, v vào y ta thu được nghiệm tổng quát của (1.13) là

y = e−



p(x)dx



q(x)e



p(x)dx



(1.18)



dx + C



trong đó C là hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y + 3xy = x đi qua điểm (0, 4).

Ta có p(x) = 3x nên p(x)dx = 3x2/2. Do đó nghiệm tổng quát là

y = e−3x



2 /2



= e−3x



2 /2



xe3x



2 /2



dx + C



1 3x2 /2

e

+C

3



=



1

2

+ Ce−3x /2

3



Thay x = 0 và y = 4 vào đẳng thức trên, ta tìm được C =

là:

y=



1 11 −3x2 /2

+ e

3

3



11

3



và nghiệm riêng cần tìm



22



Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I



1.4.5 Phương trình Bernoully

Phương trình có dạng

(1.19)



y + p(x)y = y αg(x)



trong đó α là số thực nào đó, được gọi là phương trình Bernoully 1.

Để giải phương trình này ta đưa về giải phương trình tuyến tính (1.13) đã xét trong

mục trước. Rõ ràng với α = 0 hay α = 1 thì (1.19) đã có dạng phương trình tuyến tính.

Nếu α = 0 và α = 1 thì đặt

z = y 1−α



Khi đó



z = (1 − α)y −αy



Chia hai vế của (1.19) cho y −α, rồi thay biểu thức của z và

được phương trình vi phân tuyến tính theo z:



z



vào đẳng thức đó ta



z + (1 − α)p(x)z = (1 − α)g(x)



(1.20)



Nhận xét: Chú ý rằng ta phải xét riêng trường hợp y = 0 trước khi chia hai vế cho

để tránh làm mất nghiệm này.

Ví dụ: Giải phương trình xy − 4y = x2 √y

Rõ ràng đây là phương trình Bernoully với α = 1/2 và y = 0 là một nghiệm của

phương trình đã cho. Giả sử y = 0, chia hai vế cho xy 1/2 ta được

yα



4 1

y −1/2 y − y 2 = x

x



Đặt z = y ta được z

1

2



1

= y −1/2 y .

2



Thay vào phương trình đã cho, ta có

x

2

z − z=

x

2



Áp dụng công thức nghiệm tổng quát (1.18), ta tìm được nghiệm là

z = x2



1

ln |x| + C

2



Do đó phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là

4



y=x



1

ln |x| + C

2



và nghiệm y = 0.

1



I.Bernoully (1667 1746) là nhà toán học Thụy só.



2



23



1.4. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I



1.4.6 Phương trình Darboux

Phương trình Darboux 2 là phương trình vi phân dạng

A(x, y)dx + B(x, y)dy + H(x, y)(xdy − ydx) = 0



(1.21)



trong đó A, B là các hàm thuần nhất bậc m và H là hàm thuần nhất bậc nù.

Chú ý rằng nếu n = m − 1 thì phương trình Darboux chính là phương trình thuần

nhất. Trong trường hợp tổng quát, ta luôn luôn đưa phương trình Darboux về phương

trình Bernoully.

Thật vậy, đặt y = z.x, ta có

dy = xdz + zdx,



xdy − ydx = x2 d



y

= x2 dz

x



Do đó phương trình (1.21) có thể viết lại dạng

y

y

y

y

=0

xm A(1, )dx + xm B(1, )dy + xn H(1, )x2 d

x

x

x

x



Hay, sau khi chia 2 vế cho xm và thu gọn, ta có

[A(1, z) + zB(1, z)] dx + xB(1, z) + H(1, z)xn+2−m dz = 0



Với giả thiết xB(1, z) + H(1, z)xn+2−m = 0, ta có thể viết phương trình cuối cùng dưới

dạng

B(1, z)

H(1, z)

dx

+

x=−

xn+2−m

dz A(1, z) + zB(1, z)

A(1, z) + zB(1, z)



Đây là phương trình Bernoully của ẩn x = x(z) xem như hàm theo z.

Ví dụ: Giải phương trình xdx + ydy + x2(xdy − ydx) = 0

Đây là phương trình Darboux, đặt y = xz ta được

xdx + xz(xdz + zdx) + x4 dz = 0



hay



(1 + z 2 )dx + (xz + x3 )dz = 0



Từ đó ta có



z

1

dx

+

x=−

x3

2

2

dz 1 + z

1+z



Đây là phương trình Bernoully, giải phương trình này (sau khi đưa về phương trình

tuyến tính bậc I) ta được nghiệm là

1

= C(1 + z 2 ) + (1 + z 2 ) arctan z + z

x2



Trở lại biến ban đầu, ta có nghiệm tổng quát cho bởi

C(x2 + y 2 ) + (x2 + y 2) arctan



với C là hằng số tuỳ ý.

2



J.G.Darboux (1842−1917) là nhà toán học Pháp



y

+ xy − 1 = 0

x



24



Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I



1.4.7 Phương trình Riccati:

Phương trình Riccati3 tổng quát là phương trình vi phân dạng

y = p(x)y 2 + q(x)y + r(x)



(1.22)



trong đó p(x), q(x) và r(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó.

Nhận xét: Phương trình Riccati không phải bao giờ cũng giải được bằng phép cầu

phương (tức là có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng hữu hạn các phép lấy tích phân

của các hàm tường minh nào đó!). Trong vài trường hợp đặc biệt như p(x) ≡ 0 hay

r(x) ≡ 0 ta đưa về phương trình tuyến tính hoặc phương trình Bernoully. Tuy nhiên ta

có kết quả sau cho phép tích phân phương trình Riccati nếu biết một nghiệm nào đó

của nó.

Mệnh đề 1.4.1. Nếu biết một nghiệm của phương trình Riccati (1.22) thì có thể đưa nó

về phương trình Bernoully.



Chứng minh: Gọi một nghiệm của (1.22) là y, tức là

˜

y

y

y = p(x)˜2 + q(x)˜ + r(x)

˜



Ta đặt y = y + z, trong đó z là ẩn mới. Thay vào phương trình (1.22) ta được

˜

y

y

y

y + z = p(x)˜2 + 2p(x)˜z + p(x)z 2 + q(x)˜ + q(x)z + r(x)

˜



Từ đó suy ra



y

z − [2p(x)˜ + q(x)]z = p(x)z 2



và đây là phương trình Bernoully.

Ví dụ: Giải phương trình y + 2y(y − x) = 1

Đây là phương trình Riccati. Dễ thấy y = x là một nghiệm của phương trình đã cho.

Bây giờ, đặt

y =x+z



ta đưa phương trình đã cho về dạng

z + 2z(z + x) = 0



Đây là phương trình Bernoully với α = 2. Đặt u = z −1 ta được

u − 2xu = 2



Nghiệm tổng quát của phương trình này theo (1.18) là

u = ex



2



2



2e−x dx + C



Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

2



y =x+

3



e−x

,

C + 2 e−x2 dx



J.F.Riccati (1676−1754) là nhà toán học Ý



và y = x



1.4. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I



25



BÀI TẬP

1. Giải các phương trình vi phân tách biến:

(a)

(b)

(c)

(d)



(xy 2 + 4x)dx + (y + x2 y)dy = 0

2x



1 − y 2 + yy = 0



y = ex+y

x2 y − y

y =

y+1



2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân thuần nhất sau

(a)

(b)

(c)

(d)



y

−1

x

2xy

y = 2

x − y2

(y 2 − 3x2 )dy + 2xydx = 0

y

xy = y ln

x

y =



3. Tích phân các phương trình vi phân sau đây:

(a)

(b)



(x − 2y + 9)dx = (3x − y + 2)dy

y =2



y+2

x+y−1



2



4. Kiểm tra các phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải chúng

(a)

(b)

(c)

(d)



y

dx + (y 3 + ln x)dy = 0

x

ey dx + (xey − 2y)dy = 0

2xydx + (x2 − y 2)dy = 0

[(x + 1)ex − ey ] dx = xey dy



5. Tìm thừa số tích phân rồi giải các phương trình vi phân sau

(a)

(b)

(c)

(d)



(x + y 2 )dx − 2xydy = 0

(y 2 − 6xy)dx + (3xy − 6x2 )dy = 0

y(1 + xy)dx − xdy = 0

xy ln ydx + (x2 + y 2



y 2 + 1)dy = 0



6. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính sau

(a)

(b)



y − 4y = x − 2x2

xy + y = ex