Chương 6: Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân

100



Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân



• (−R, R)



trong đó số thực không âm R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (6.1), được tính

bởi công thức sau

R = lim



n→∞



an

= lim

n→∞

an+1



n



1

|an |



Trường hợp R = 0, chuỗi luỹ thừa (6.1) chỉ hội tụ tại một điểm x = 0; trong khi nếu

R = +∞, nó hội tụ tại mọi điểm. Với R hữu hạn khác không, chuỗi luỹ thừa (6.1)

hội tụ tuyệt đối trên khoảng (−R, R) và phân kỳ tại những x sao cho |x| > R.

Ví dụ: Chuỗi n≥0 x có bán kính hội tụ R = +∞. chuỗi này hội tụ trên R và tổng

n!

của nó không là gì khác hơn hàm ex .

Ví dụ: Chuỗi n≥0 n!xn+1 có bán kính hội tụ bằng không, do đó chỉ hội tụ tại x = 0.

n



Các tính chất giải tích của chuỗi luỹ thừa.

Trước hết ta nhắc lại một tính chất cơ bản khẳng đònh sự hội tụ đều của chuỗi hàm

luỹ thừa bên trong miền hội tụ của nó:



Đònh lý 6.1.1. chuỗi luỹ thừa (6.1) hội tụ đều trên mọi đoạn con [α, β] nằm bên trong



khoảng hội tụ (−R, R) của nó.



Từ tính chất hội tụ đều này của chuỗi luỹ thừa, ta có thể giao hoán phép tổng các

số hạng của chuỗi với các phép toán giải tích như lấy giới hạn, vi phân, tích phân.

Chẳng hạn, kết quả sau đây thường được dùng trong phương trình vi phân:



Đònh lý 6.1.2. Giả sử chuỗi luỹ thừa (6.1) có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x)

của chuỗi khả vi vô hạn lần trên (−R, R) và

(an xn )(k) =



S (k) (x) =

n≥0



an n(n − 1) . . . (n − k + 1)xn−k

n≥0



Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa.

Ta nói rằng hàm f (x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trong lân cận của x0 ∈ (a, b)

nếu có tồn tại δ > 0 thích hợp và một chuỗi luỹ thừa n≥0 an (x − x0 )n sao cho chuỗi

này hội tụ trên (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) và tổng của nó bằng f (x). Chẳng hạn, hàm ex

khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trên R vì với mọi x ∈ R ta có

ex = 1 +



x2

xn

x

+

+···+

+···

1! 2!

n!



Cho trước hàm f (x) khả vi vô hạn trên (a, b)

luỹ thừa

f (x0 ) +



f (x0 )

(x − x0 ) + · · · =

1!



x0 ,



n≥0



ta luôn luôn thiết lập được chuỗi



f (n) (x0 )

(x − x0 )n

n!



101



6.2. Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa.



và được gọi là chuỗi Taylor tại x0 của hàm f (x).

Dễ chứng minh rằng nếu một hàm khai triển được thành chuỗi luỹ thừa thì khai triển

đó phải là chuỗi Taylor của hàm tại điểm x = 0.

Ta để ý rằng chuỗi Taylor của một hàm không nhất thiết hội tụ và ngay cả khi nó

hội tụ, tổng của chuỗi Taylor không nhất thiết trùng (trong lân cận của điểm đó) với

hàm tương ứng với nó. Chẳng hạn đối với hàm

1



f (x) =



chuỗi Taylor của nó tại

f (x).



x0 = 0



e− x2

0



nếu x = 0

nếu x = 0



là chuỗi không. Tổng của chuỗi này khác với hàm



Khai triển một số hàm sơ cấp:

Sau đây là khai triển của một số hàm sơ cấp đơn giản và thông dụng nhất

ex = 1 +

cos x = 1 −

sin x = x −



x

x2

xn

+

+···+

+··· ,

1! 2!

n!



∀x ∈ R



x2n

x2 x4

+

+ · · · + (−1)n

+··· ,

2!

4!

(2n)!



x3 x5

x2n+1

+

+ · · · + (−1)n

+··· ,

3!

5!

(2n + 1)!



∀x ∈ R

∀x ∈ R



x2

xn

+ · · · + (−1)n−1 + · · · , ∀x ∈ (−1, 1)

2

n

α(α − 1) 2

α(α − 1) . . . (α − n + 1) n

x + · · ·+

x + · · · , ∀x ∈ (−1, 1)

(1 + x)α = 1 + αx+

2!

n!

ln(1 + x) = x −



Dùng các khai triển cơ bản “sẵn có” này ta có thể thiết lập được khai triển của một

số hàm sơ cấp khác.



6.2 Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi

luỹ thừa.

Trong bài này ta giới thiệu cách tìm nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn1 của một lớp rộng

các phương trình vi phân tuyến tính, đặc biệt là lớp các phương trình vi phân tuyến

tính thuần nhất cấp II:

P (x)y + Q(x)y + R(x)y = 0



(6.2)



Chú ý rằng ta không có cách giải tổng quát cho phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (thậm

chí cho các phương trình “khá đơn giản” như y − xy = 0) trừ trường hợp đặc biệt các hệ số đều là

hằng.

1



102



Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân



mà có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý.

Ý tưởng khá đơn giản: Giả sử rằng các hàm P (x), Q(x) và R(x) là liên tục trong

một lân cận của điểm x0 và có thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại x0 . Do tính chất

tuyến tính thuần nhất, ta hy vọng phương trình (6.2) sẽ chấp nhận nghiệm cho dưới

dạng chuỗi luỹ thừa

∞



(6.3)



an (x − x0 )n



y=

n=0



Thay thế một cách hình thức chuỗi này vào phương trình vi phân đã cho để tìm các

hệ số của khai triển.

Ta sẽ sử dụng kết quả sau đây (tương tự như trường hợp đa thức).



Mệnh đề 6.2.1. Một chuỗi luỹ thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ

số của nó bằng không.



6.2.1 Các ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm dưới dạng chuổi luỹ thừa tại 0 của phương trình:

xy − (x + 2)y + 2y = 0



Giải: Ta tìm nghiệm dưới dạng y =

∞



nan xn−1



y =



và



∞

n=0



an xn .



Ta có



∞



n(n − 1)an xn−2



y =



n=1



n=2



hay, thay chỉ số

∞

n



y =



(n + 1)an+1 x



và



∞



(n + 2)(n + 1)an+2 xn



y =



n=0



n=0



Thay vào phương trình đã cho, ta được

∞



∞



(n + 2)(n + 1)an+2 x − (x + 2)

n



x

n=0



∞

n



an xn = 0



(n + 1)an+1 x + 2

n=0



n=0



Cho tất cả các hệ số của các luỹ thừa của x bằng không, ta được

2a0 − 2a1 = 0

2a1 − 2.2a2 − a1 + 2a2 = 0

2a2 − 2.3a3 − 2a2 + 3.2a3 = 0

2a3 − 2.4a4 − 3a3 + 4.3a4 = 0

············

2an − 2(n + 1)an+1 − nan + (n + 1)nan+1 = 0

············



6.2. Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa.



103



Giải hệ này ta tìm được

a1 = a0 (với a0 tuỳ ý)

a1

a2 =

2

a3 tuỳ ý

an

với mọi n = 2

an+1 =

n+1



Thay các hệ số này vào chuỗi y ta được nghiệm

y = a0 1 + x +



x2

2



+ a3 x3 +



x5

x4

+

+···

4

4.5



với a0 và a3 là các hằng số tuỳ ý.

Rõ ràng biểu thức thứ hai ở vế phải của đẳng thức này có thể viết dưới dạng

3!a3



x3 x4 x5

+

+

+···

3!

4!

5!



và chính là

3!a3 ex − 1 + x +



x2

2



Vì vậy ta tìm lại được nghiệm tổng quát (dưới dạng hữu hạn) cho bởi biểu thức

y = C1



x2

1+x+

2



+ C2 ex



trong đó C1 := a0 − 3!a3 và C2 := 3!a3 là những hằng số tuỳ ý.

Ví dụ 2: (Airy) Tìm nghiệm dưới dạng chuổi luỹ thừa tại 0 của phương trình Airy:

y − xy = 0



Giải: Ta tìm nghiệm dưới dạng y =



∞

n=0



rồi thay vào phương trình Airy, ta được:



an xn .



∞



∞



n(n − 1)an x



n−2



−x



n=2



Hay



Tính y và y tương tự như ví dụ trước

an xn = 0

n=0



∞



[(n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 ] xn = 0



2a2 +

n=1



Đồng nhất bằng không các hệ số ta được:

=0

2a2

(n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 = 0



với mọi n = 1, 2, 3, . . .



104



Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân



Tức là



a2 = 0

an−1

an+2 =

(n + 2)(n + 1)



với mọi n = 1, 2, 3, . . .



Hệ phương trình “truy toán” này cho phép ta tính tất cả các hệ số theo a0 và a1 . Kết

quả là:

•



Vì a2 =0 nên a5 = 0, a8 = 0, . . . . Tức là:

a3k+2 = 0



•



Các hệ số a3 , a6, a9 , . . . là bội của a0:

a3k =



•



với mọi k = 1, 2, 3, . . .



1

· a0

(2.3)(5.6) . . . ((3k − 1).3k)



với mọi k = 1, 2, 3, . . .



Các hệ số a4 , a7, a10 , . . . là bội của a1 :

a3k+1 =



1

· a1

(3.4)(6.7) . . . (3k.(3k + 1))



với mọi k = 1, 2, 3, . . .



Đặt tất cả các hệ số này vào trong y ta được nghiệm tổng quát của phương trình Airy

là

∞

x3k

(2.3)(5.6) . . . ((3k − 1).3k)



y(x) = a0 1 +

k=1

∞



+ a1 x +

k=1



x3k+1

(3.4)(6.7) . . . (3k.(3k + 1))



trong đó a0 , a1 là các hằng số tuỳ ý. Hiển nhiên, bài toán Cauchy y(0) = a0, y (0) = a1

có lời giải là chuổi hàm này. Sự hội tụ của chuỗi nghiệm sẽ được đề cập trong mục

sau.

Ví dụ 3: (Euler) Tìm nghiệm dưới dạng chuổi luỹ thừa tại 0 của phương trình tuyến

tính cấp I:

−x2 y + y = x



Cách giải: Ta cũng bắt đầu với chuỗi



được



∞

n=0



∞



−x



an xn .

∞



nan xn−1 +

n=1



Thay vào phương trình đã cho, ta



an xn = x

n=0



Đồng nhất các hệ số ta được

a0 = 0, a1 = 1, . . . , an = (n − 1)an−1 , ∀n > 1



Từ đó



an = (n − 1)!, ∀n ≥ 1



105



6.2. Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa.



Ta thu được chuỗi nghiệm



∞



(n − 1)!xn



y(x) =

n=1



Nhưng, chuỗi mà ta thu được là phân kỳ (chính xác hơn, chỉ hội tụ tại x = 0) nên

nghiệm chỉ có giá trò “hình thức”. Tuy nhiên, trong lý thuyết phép tổng của các chuổi

phân kỳ (theo Borel), chuỗi này hội tụ trên (−1, 1). Bạn đọc quan tâm chi tiết xin

tham khảo [?].



6.2.2 Điểm kỳ dò của phương trình vi phân.

Như đã thấy trong ví dụ 3 ở trên, nghiệm dưới dạng chuỗi thừa tại điểm x0 nào đó của

phương trình vi phân tuyến tính có thể không tồn tại, hoặc tồn tại một cách hình thức

(chuỗi không hội tụ). Điều đó nói chung là do nghiệm thực sự không thể khai triển

được thành chuỗi luỹ thừa. Chẳng hạn trong ví dụ trên, nghiệm tổng quát của PTVP

tuyến tính −x2 y + y = x là

−1/x



y(x) = C.e



x



−1/x



−e



1



1

e1/t dt

t



với C là hằng số tuỳ ý.

Biểu thức ở vế phải không thể khai triển được thành tổng của chuỗi luỹ thừa.

Sau đây, ta xét chủ yếu các phương trình tuyến tính thuần nhất cấp II dạng

(6.4)



P (x)y + Q(x)y + R(x)y = 0



với P, Q, R là các hàm “đủ tốt” (đa thức chẳng hạn).

Đònh nghóa 6.2.1. Nếu x0 là điểm sao cho P (x0) = 0, và ít nhất Q(x0 ) = 0 hay

R(x) = 0 thì x0 được gọi là điểm kỳ dò (singular point) của phương trình (6.4). Ngược

lại, ta nói x0 là điểm thường (ordinary point).

Đònh nghóa 6.2.2. Điểm kỳ dò x0 được gọi là kỳ dò chính qui nếu tồn tại hữu hạn

các giới hạn sau:

lim (x − x0 )



x→x0



Q(x)

=a

P (x)



và



lim (x − x0 )2



x→x0



R(x)

=b

P (x)



Ngược lại, x0 được gọi là kỳ dò không chính qui

Ta lưu ý rằng trong lân cận của điểm thường x0 , phương trình (??) có thể viết dưới

dạng

y + p(x)y + q(x)y = 0



(6.5)



trong đó p(x), q(x) bò chặn trong lân cận của x0 Đònh lý sau đây cho ta thông tin về

bán kính hội tụ của chuỗi nghiệm của (6.5)



106



Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân



Đònh lý 6.2.1 (L.Fuchs (1833-1902)). Giả sử p(x), q(x) trong phương trình (6.5) có thể



khai triển được thành chuỗi luỹ thừa hội tụ trên (−r, r) (với r > 0). Khi đó, với điều kiện

ban đầu y(0) = y0 , y (x0 ) = y0 cho trước, phương trình (6.5) có duy nhất một nghiệm

chuỗi luỹ thừa y(t), mà cũng hội tụ trên (−r, r).



Bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa nghiệm ít nhất là r. Trong trường hợp p(x), q(x)

là đa thức, nghiệm chuỗi luỹ thừa của (6.5) luôn tồn tại và có miền hội tụ là R.

Ví dụ: Nghiệm chuỗi của phương trình Airy hội tụ trên R.

Nhận xét: Trong trường hợp phương trình có x0 như là điểm kỳ dò chính qui, nó có

thể chấp nhận nghiệm có dạng chuỗi luỹ thừa với số mũ âm (trong giải tích phức ta

gọi là khai triển Laurentz) hoặc số mũ không nguyên. Trong khi, đối với điểm kỳ dò

không chính qui, nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn nói chung là phân kỳ (nghiệm hình

thức).



Phương trình Euler và phương pháp Frobenius.

Ta quan tâm đến một lớp phương trình vi phân nhận



phương trình Euler



x0 = 0



là điểm kỳ dò, gọi là

(6.6)



x2 y + Axy + By = 0



trong đó A, B là hai số thực tuỳ ý.

Theo cách phân loại trên, x0 = 0 là điểm kỳ dò chính qui vì

lim x



x→0



Ax

=A

x2



và



lim x2



x→0



B

=B

x2



Cách tìm nghiệm của phương trình Euler khá đơn giản: chỉ cần để ý rằng để một luỹ

thừa xr nào đó là nghiệm thì số mũ r phải thoả mãn phương trình (giống như phương

trình đặc trưng của phương trình tuyến tính thuần nhất!)

r(r − 1) + Ar + B = 0



hay

(6.7)



r 2 + (A − 1)r + B = 0



Tuỳ theo biệt thức của phương trình này ta phân biệt các trường hợp sau:

•



Nếu (6.7) có 2 nghiệm thực phân biệt

trình Euler là



r 1 , r2 ,



thì nghiệm tổng quát của phương



y(x) = C1 xr1 + C2 xr2



•



Nếu (6.7) có nghiệm kép r0 = 1−A . Để tìm nghiệm thứ hai, ta dùng phương pháp

2

biến thiên hằng số bằng cách đặt y(x) = C(x)xr ; ta tìm thấy C(x) = ln x. Vậy

nghiệm tổng quát là

0



y(x) = C1 xr0 + C2 xr0 ln x



107



6.2. Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa.

•



Nếu (6.7) có 2 nghiệm phức liên hợp α ± iβ , ta có thể viết

xα±iβ = xα e±β ln x = xα [cos(β ln x) ± i sin(β ln x)]



Tách phần thực và phần phức ta thu được nghiệm tổng quát

y(x) = C1 xα cos(β ln x) + C2 xα sin(β ln x)



Ví dụ: Giải phương trình x2 y

Nghiệm tổng quát là



− 2y = 0.

y(x) = C1 x2 +



C2

x



Cách giải phương trình Euler gợi cho ta phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương

trình vi phân (6.5) trong trường hợp nó có kỳ dò chính qui tại x 0 = 0 như sau. Viết lại

phương trình

x2 y + x[xp(x)]y + [x2 q(x)]y = 0



Giả sử ta có thể viết xp(x) và x2 q(x) dưới dạng (vì 0 là điểm kỳ dò chính qui)

∞



pn xn



xp(x) =



và



x2 p(x) =



n=0



∞



qn xn

n=0



khi đó ta có thể tìm nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn

∞

r



an xn



y(x) = x



n=0



Thay chuỗi này vào phương trình đã cho để tìm r và các hệ số

thoả mãn phương trình



an .



Rõ ràng r phải



r 2 + (1 − p0 )r + q0 = 0



mà được gọi là phương trình chỉ số của (6.5).

Phương pháp mà ta vừa trình bày được gọi là phương phương pháp Frobenius. Sau

đây là vài ví dụ

Ví dụ: Tìm nghiệm của PTVP xy + 2y − xy = 0. Phương trình này có x = 0 là điểm

kỳ dò chính qui, theo phương pháp Frobenius ta tìm nghiệm dưới dạng

∞



∞

r



n



y=x



an xn+r



an x =

n=0



n=0



Các đạo hàm y và y là

∞



(n + r)an xn+r−1



y =

n=0



và



∞



(n + r)(n + r − 1)an xn+r−2



y =

n=0



108



Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân



Thay vào phương trình đã cho ta được

∞



∞



(n + r)(n + r − 1)an xn+r−1 + 2

n=0



∞



(n + r)an xn+r−1 −

n=0



an xn+r+1 = 0

n=0



Nhóm các hệ số của cùng luỹ thừa của x và cho tất cả các hệ số này bằng không ta

được hệ

(r + 1)ra0 = 0

(r + 1)(r + 2)a1 = 0

(r + n + 1)(r + n + 2)an+1 − an−1 = 0



với mọi n = 1

Từ phương trình đầu tiên, nếu chọn giá trò r = −1 ta tìm được các hệ số an là

a0 , a1 tuỳ ý

an−1

an+1 =

n(n + 1)



với mọi n = 1



Thay các hệ số vào biểu thức nghiệm ta được nghiệm tổng quát là

y(x) = a0

+ a1



1

x

x3

+ +

+···

x 2! 4!

x2 x4

+

+···

1+

3!

5!



Nếu từ phương trình đầu tiên, ta chọn r = 0 thì chỉ được chuỗi thứ nhất.

Nghiệm tổng quát trên đây thực ra có thể biểu diễn dưới dạng giải tích nếu dùng

các khai triển của các hàm hyperbolic:

cosh x :=



ex + e−x

x2 x4

=1+

+

+···

2

2!

4!



sinh x :=



ex − e−x

x3 x5

=x+

+

+···

2

3!

5!



và



Từ đó, có thể viết nghiệm tổng quát dưới dạng

y = a0



cosh x

sinh x

+ a1

x

x



hay

y = C1



ex

e−x

+ C2

x

x



Phương trình vi phân Chebyshev:

Phương trình Chebyshev có dạng

(1 − x2 )y − xy + α2 y = 0



(6.8)



6.2. Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa.



109



Nó có các điểm kỳ dò chính qui tại ±1 và ∞.

Ta có thể tìm nghiệm của nó dưới dạng chuỗi luỹ thừa

∞



an xn



y=

n=0



Tính các đạo hàm y và y và thay vào phương trình (6.8) ta được:

(2a2 + α2 a0 ) + [(α2 − 1)a1 + 6a3 ]x+

∞

n=2 [(n



+



+ 2)(n + 1)an+2 + (α2 − n2 )an ]xn = 0



Cân bằng các hệ số của các luỹ thừa của x ta được:

2a2 + α2 a0 = 0,

(α2 − 1)a1 + 6a3 = 0

.....................

an+2 =



n2 − α2

an

(n + 1)(n + 2)



Ví dụ: Giải phương trình Chebyshev với α = 1.



Giả sử nghiệm có dạng y =

có:

a0



tuỳ ý ,



a1



tuỳ ý ,



∞

n=0



an xn .



Áp dụng các công thức trên với α = 1, ta



1

[(2n − 2)2 − 1][(2n − 4)2 − 1] · · · (−1)

a0

a2 = − a0 , . . . , a2n =

2

(2n)!

a3 = 0, . . . , a2n+1 = 0



Ta có

[(2n − 2)2 − 1][(2n − 4)2 − 1] · · · (−1)

(n − 3/2) · · · (1/2)(−1/2)

=

=

(2n)!

n!

=



(1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2 − n + 1)

(−1)n

n!



Do đó nghiệm tổng quát là



∞



y = a1 x + a0 1 +

n=1



Hay



(1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2 − n + 1)

(−1)n x2n

n!

√

y = a1 x + a0 1 − x2



trong đó a0, a1 là các hằng số tuỳ ý. Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình

Chebyshev có thể viết dưới dạng

y = a0 cos(α arcsin x) +



a1

sin(α arcsin x)

α



110



Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân



Và nếu thực hiện phép thế arcsin x =



π

− arccos x

2



ta có thể viết lại



y = C1 cos(α arccos x) + C2 sin(α arccos x)

√

= C1 Tα (x) + C2 1 − x2 Uα−1 (x)



Trong trường hợp α = n ∈ N, Tn và Un là các đa thức, được gọi là đa thức Chebyshev

loại I và loại II tương ứng.



6.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm.

Trong mục này ta xét dáng điệu của nghiệm trong lân cận của điểm kỳ dò không chính

qui. Như đã lưu ý ở mục trước, chuỗi luỹ thừa trong lân cận của điểm đó không hội tụ,

nhưng nói chung lại là khai triển tiệm cận của một nghiệm thực sự của phương trình

đang xét.



6.3.1 Sơ lược về khai triển tiệm cận.

Cho trước các hàm số f (x), g(x) xác đònh trong lân cận của x0 . Ký hiệu

f = o(g),



x → x0



mà để diễn tả “f bé hơn nhiều so với g khi x dần đến x0 ”, nếu

lim



x→x0



Trong khi đó, ký hiệu



f (x)

=0

g(x)



f (x) ∼ g(x),



x → x0



để diễn tả “f tiệm cận với g khi x dần đến x0 ” nếu

f − g = o(g),



hoặc tương đương,

lim



x→x0



x → x0



f (x)

=1

g(x)



Đònh nghóa 6.3.1. Chuỗi luỹ thừa (hình thức)



với hàm f (x) khi x dần đến x0, và viết



∞

n=0



an (x − x0 )n



được gọi là tiệm cận



∞



an (x − x0 )n



f (x) ∼



(x → x0 )



n=0



nếu với mọi số tự nhiên N ta đều có

N



an (x − x0 )n = o(x − x0 )N



f (x) −

n=0



(x → x0 )