Phụ lục A: Biến đổi Laplace và phương trình vi phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1007.47 KB, 125 trang )
118
Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
Nếu F (s) là ảnh của biến đổi Laplace của
Laplace ngược của F (s), và ký hiệu là
f (t)
thì ta cũng nói
f (t)
là biến đổi
f (t) = L−1 {F }
Trong mặt phẳng phức, biến đổi Laplace ngược cho bởi
f (t) =
1
2iπ
a+i∞
với a > 0
est F (s)ds,
a−i∞
Các ví dụ:
•
Biến đổi Laplace của 1
L {1} =
•
∞
e−st dt =
0
1
s
Biến đổi Laplace của eat
L e
at
∞
e
=
∞
−st at
e dt =
0
e−(s−a)t dt =
0
1
s−a
với điều kiện s > a.
•
Biến đổi Laplace của sin(at)
L {sin(at)} =
∞
e−st sin(at)dt
0
Bằng cách tích phân từng phần hai lần, ta thu được
L {sin(at)} =
và từ đó
•
1 s2
− L {sin(at)}
a a2
L {sin(at)} =
s2
a
+ a2
Tương tự, biến đổi Laplace của cos(at) là
L {cos(at)} =
s
s2 + a2
Các tính chất:
•
Tính tuyến tính: Biến đổi Laplace và Laplace ngược là các toán tử tuyến tính
L {αf + βg} = αL {f } + βL {g}
L−1 {αF + βG} = αL−1 {F } + βL−1 {G}
119
A.2. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace:
•
Biến đổi Laplace của đạo hàm:
L {f } (s) =
•
∞
0
e−st f dt = sL {f } (s) − f (0)
Biến đổi Laplace của đạo hàm cấp cao:
L f (n) (t) (s) = sn L {f } − sn−1 f (0) − sn−2 f (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0)
•
Biến đổi Laplace của tích phân:
L
•
Phép tònh tiến:
t
f (u)du (s) =
0
L {f }
s
L eat f (t) = L {f } (s − a)
Bảng các phép biến đổi Laplace thông dụng:
f
1
t
tn
tα
eat
L {f (t)} (s)
1
s
1
s2
n!
sn+1
Γ(α+1)
sα+1
1
s−a
Miền xác đònh
s>0
s>0
s > 0, n ∈ N
a>0
s>a
cos(at)
s
s2 +a2
s>0
sin(at)
a
s2 +a2
s>0
cosh(at)
s
s2 −a2
s > |a|
sinh(at)
a
s2 −a2
s > |a|
eat cos(bt)
s−a
(s−a)2 +b2
s>a
eat sin(bt)
b
(s−a)2 +b2
s>a
A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace:
Để giải phương trình vi phân (nhất là đối với các phương trình vi phân tuyến tính)
bằng cách dùng biến đổi Laplace ta có thể tiến hành theo các bước sau.
120
Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
•
Biến đổi Laplace hai vế của phương trình, ta thu được phương trình (vi phân)
theo Y (s) := L {y} (s)
•
Giải phương trình này để tìm Y (s)
•
Trở về nghiệm ban đầu bằng phép biến đổi Laplace ngược y(x) := L−1 {Y } (x)
Ví dụ: Giải bài toán Cauchy sau đây:
y − y − 2y = 0,
y(0) = 1, y (0) = 0
Biến đổi Laplace hai vế, ta thu được:
L {y } − L {y } − 2L {y} = 0
hay tương tương
s2 Y − sy(0) − y (0) − [sY − y(0)] − 2Y = 0
Giải phương trình này với điều kiện ban đầu, ta thu được
Y (s) =
s−1
1 1
2 1
=
+
s2 − s − 2
3s−2 3s+1
Dùng phép biển đổi Laplace ngược ta thu được lời giải
2
1
y(x) = e2t + e−t
3
3
Ví dụ: Giải bài toán Cauchy y
+ y = sin(2x),
với y(0) = 2, y (0) = 1.
Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế, ta thu được
s2 Y (s) − sy(0) − y (0) + Y =
s2
2
+4
Thay điều kiện ban đầu vào biểu thức này rồi giải tìm Y (s), ta được
Y (s) =
2s
5 1
2 1
(2s + 1)(s2 + 4) + 2
= 2
+ 2
− 2
2 + 4)(s2 + 1)
(s
s +1 3s +1 3s +4
Qua phép biến đổi ngược ta thu được
Y (s) = 2 cos t +
1
5
sin t − sin(2t)
3
3
121
A.2. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace:
Biến đổi Laplace của hàm Heaviside:
Hàm Heaviside có bước nhảy tại x = c là hàm đònh nghóa bởi
0 nếu x < 0
Hc (x) =
1 nếu x ≥ c
Biến đổi Laplace của hàm Heaviside là
L {Hc (t)} =
∞
0
∞
e−st Hc (t)dt =
e−st dt =
c
e−sc
(s > 0)
s
Ngoài ra ta cũng có biến đổi Laplace của tích của một hàm bất kỳ với hàm Heaviside:
∞
L {Hc (t)f (t − c)} =
e−st f (t − c)dt = e−sc L {f (t)}
c
Tương tự ta có
L e f (t) =
∞
ct
0
e−st ect f (t)dt = F (s − c)
trong đó F (s) là biến đổi Laplace của f (t).
L−1 {F (s − c)} = ect f (t)
Ví dụ: Giải bài toán y
+ 4y = g(t) với y(0) = 0 và y (0) = 0
nếu t < 5
0
t−5
nếu 5 ≤ t < 10
5
1
nếu 10 ≤ t
ở đây
Trước hết, ta biễu diễn hàm g qua các hàm Heaviside:
g(t) =
1
[H5 (t).(t − 5) − H10 (t).(t − 10)]
5
Biến đổi Laplace Hai vế, ta tìm được
Y (s) =
Ta có L
1
+ 4)
s2 (s2
y(t) =
1
H5 (t)
5
=
1
1
(e−5s − e−10s )
2 (s2 + 4)
5s
t 1
− sin 2t
4 8
và từ đó ta tìm được nghiệm
t − 5 sin 2(t − 5)
−
4
8
− H10 (t)
t − 10 sin 2(t − 10)
−
4
8
Trong vật lý ta thường gặp hàm (suy rộng) Delta của Dirac, ký hiệu là δ(t) đònh
nghóa như sau
∞
δ(t)dt = 1
δ(t) = 0, ∀t = 0, và
−∞
122
Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
Có thể hiểu δ như là giới hạn của hàm sau
ga (t) :=
trong đó a > 0. Dễ thấy rằng
∞
−∞
0
1
2a
nếu |t| > a
nếu |t| ≤ a
ga (t)dt = 1
với mọi a > 0. Khi đó
δ(t) := lim ga (t)
a→0+
Biến đổi Laplace của δ(t) là
L {δ(t − t0 )} =
∞
0
e−st δ(t − t0 )dt = e−st0
A.2. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace:
123
124
Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Hữu Đường, Lý thuyết phương trình vi phân. Nhà xuất bản ĐH và THCN
(1977).
[2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân. Nhà xuất
bản ĐH và THCN (1979).
[3] E.A. Coddington, N.Levinson, Theory of ordinary differential equations.
Newyork (1955).
[4] E.L. Ince, Ordinary differential equations. Dover Pub. (1956).
[5] C.M. Bender, St.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and
engineers. Mc Graw-Hill Book Inc. Company (1978).
