CHƯƠNG II. ƯCLN TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

được thừa số chung của các đơn thức trong đa thức, HS phải vận dụng ƯCLN. Vì

thế, chúng tôi cũng sẽ nghiên cứu sách giáo khoa Toán lớp 7 và 8.

Ngoài ra, dùng ƯCLN để đơn giản phân số cũng là một trong những thuật

toán cơ bản trong lập trình. HS làm quen với lập trình ở môn Tin học lớp 10. Trong

đó, đơn giản phân số được giới thiệu như là một ví dụ điển hình về lập trình dựa

trên thuật toán. Để làm rõ vị trí và vai trò của kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN trong môn

Tin học, chúng tôi sẽ tham khảo thêm sách giáo khoa ở lớp 10 của môn này.



2. Phân tích sách giáo khoa

Trong phần này, chủ yếu chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa Toán lớp 6 vì

ở cấp lớp này, HS làm quen với bài toán tìm ƯCLN lần đầu tiên. Bên cạnh đó, để

có cái nhìn tổng thể về vai trò, vị trí của bài toán tìm ƯCLN của hai số nguyên

trong chương trình môn Toán ở bậc trung học cơ sở (THCS), chúng tôi tham khảo

sách Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Toán Trung học cơ sở

song song với việc tham khảo sách giáo khoa môn toán lớp 7, 8.

Ngoài ra, do bài toán tìm ƯCLN cũng là một vấn đề cơ bản khi viết thuật

toán nên nó cũng xuất hiện trong chương trình môn tin học ở lớp 10. Do đó, chúng

tôi cũng sẽ phân tích sách giáo khoa này.

Để tiện trích dẫn và tránh rườm rà khi cần dẫn chứng, chúng tôi tạm viết tắt

các giáo trình trên lần lượt thành SGK 6.1, SBT 6.1, SGK 6.2, SBT 6.2, SGV 6.1,

SGV 6.2, SGK 7.1, SGV 7.1, SGK 7.2, SGV 7.2, SGK 8.1, SGV 8.1, SGK Tin 10.

2.1.



Phần bài học



Để việc nghiên cứu được toàn diện và mang tính hệ thống, ngoài việc phân

tích tiết 17 – Ước chung lớn nhất, chúng tôi cũng sẽ phân tích các kiến thức ở

những tiết trước đó làm nền tảng cho bài học này.

2.1.1. SGK 6

2.1.1.1.



Kiến thức chuẩn bị



Trước khi đến với bài học về ƯCLN ở tiết 17, HS được làm quen với một số

kiến thức chuẩn bị, lần lượt ở các tiết:



§11. Dấu hiệu chia hết cho 2, 5.

§12. Dấu hiệu chia hết cho 3, 9.

§13. Ước và bội.

§14. Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố.

§15. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

§16. Ước chung. Bội chung.

Như vậy, HS được học về các dấu hiệu chia hết – một căn cứ để xác định

một số là hợp số hay số nguyên tố. Bên cạnh đó, HS được cung cấp định nghĩa của

ước và bội, cách tìm tập hợp ước và bội của một số ở tiết 13. HS cũng được giới

thiệu thế nào là hợp số, thế nào là số nguyên tố qua bài học ở tiết 14. Đến tiết 15 –

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố, HS được học cách phân tích một số ra thừa

số nguyên tố. Đây là bài học rất quan trọng trong việc cung cấp kiến thức chuẩn bị

cho bài ƯCLN, đặc biệt là đối với cách tìm ƯCLN bằng việc phân tích một hợp số

ra thừa số nguyên tố. Ở bài học này, SGK 6.1 hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ

dạng cây và theo cột dọc.

Tuy nhiên, để xác định một số có là số nguyên tố hay không, hay nói một

cách khác là khi nào ta dừng việc phân tích này lại thì SGK 6.1 không trình bày

trong phần bài học. Phần hướng dẫn chỉ xuất hiện trong phần đọc thêm sau tiết 14.

KIỂM TRA MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ

Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tỏ rằng nó không

chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. Như vậy:

29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5.

67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7.

127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7; 11.

173 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7; 11; 13.

[SGK 6.1, tr 48]



SGK 6.1 cũng đã có bài 123 trang 48 để dẫn dắt cho bài tập dạng này trước

phần đọc thêm.

Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà bình phương của nó không

vượt quá a, tức là a ≥ p2.

a



29



67



49



127



173



253



p



Trước đó, SGK 6.1 cũng có yêu cầu HS xác định số nào là số nguyên tố, số

nào là hợp số như các bài 115, 116, 117, 120 ở trang 47:

115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?

312; 213; 435; 417; 3311; 67.

116. Gọi P là tập hợp các số nguyên tố. Điền kí hiệu ∈, ∉, ⊂ vào ô vuông

cho đúng:

83



P, 91



P, 15



N, P



N.



117. Dùng bảng số nguyên tố ở cuối sách, tìm các số nguyên tố trong các số

sau: 117; 131; 313; 469; 647.

118. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?

a) 3. 4. 5 + 6. 7



b) 7. 9. 911 – 2. 3. 4. 7



c) 3. 5. 7 + 11. 13. 17



d) 16 354 + 67 541



120. Thay chữ số vào dấu * để được số nguyên tố: 5* ; 9* .

[SGK 6.1, tr 47]

Ở những bài tập này, HS chỉ cần căn cứ vào các dấu hiệu chia hết cho 2; 3;

5; 9 là có thể xác định ngay số đó có là số nguyên tố hay không. Thậm chí, đối với

bài 117, SGK 6.1 chỉ cần HS tra cứu ở bảng số nguyên tố ở cuối sách. Riêng đối với



bài 118, HS có thể nhận xét dựa vào tính chẵn lẻ và dấu hiệu chia hết cho 5 hoặc

tính các tổng (hiệu) ra là thấy ngay các tổng (hiệu) trên là hợp số.

Như vậy, cách trình bày của SGK 6.1 cho thấy: kiểm tra một số có là số

nguyên tố hay không không phải là nhiệm vụ trọng tâm mà chương trình nhắm đến.

Các bài tập của dạng bài này cũng chỉ dựa trên các dấu hiệu chia hết đã học.

2.1.1.2.



Bài học ƯCLN



Về nội dung và mục tiêu cho phần kiến thức này được đưa ra trong Sách giáo

viên Toán 6 là:

_ Học sinh hiểu được thế nào là ƯCLN của hai hay nhiều số, thế nào là hai

số nguyên tố cùng nhau, ba số nguyên tố cùng nhau.

_ Học sinh biết tìm ƯCLN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số

đó ra thừa số nguyên tố, từ đó biết cách tìm các ước chung của hai hay

nhiều số.

_ Học sinh biết tìm ƯCLN một cách hợp lí trong từng trường hợp cụ thể,

biết vận dụng tìm ước chung và ƯCLN trong các bài toán thực tế đơn giản.

[SGV 6.1, tr 77]

Bắt đầu bài học ở tiết 17, SGK 6.1 cho HS tìm hiểu ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các ước chung của 12 và 30.

Ta lần lượt tìm được: Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Vậy ƯC(12; 30) = {1; 2; 3; 6}

Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 12 và 30 là 6. Ta nói 6 là ước

chung lớn nhất (ƯCLN) của 12 và 30, kí hiệu

ƯCLN(12, 30) = 6.

[SGK 6.1, tr 54]

Đi từ các ước chung của 12 và 30 rồi chọn số lớn nhất trong tập hợp các ước

chung đó, SGK 6.1 đưa ra định nghĩa về ƯCLN như sau:



Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp

các ước chung của số đó.

[SGK 6.1, tr 54]

Qua cách dẫn dắt vào bài học cũng như thông qua định nghĩa, HS sẽ nghĩ

ngay đến kỹ thuật dựa trên định nghĩa. Tuy nhiên, câu hỏi SGK 6.1 đặt ra ngay từ

đầu bài học: “Có cách nào tìm ước chung của hai hay nhiều số mà không cần liệt kê

các ước của mỗi số hay không?” cho thấy rằng kỹ thuật dựa trên định nghĩa không

phải là kỹ thuật được chương trình hướng HS đến.

Thay vào đó, SGK 6.1 hướng dẫn cho HS một kỹ thuật khác để tìm ƯCLN.

Kỹ thuật đó được trình bày minh họa qua ví dụ:

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN(36; 84; 168)

Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố:

36 = 22. 32

84 = 22. 3. 7

168 = 23. 3. 7

Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ

nhỏ nhất của 3 là 1. Khi đó:

ƯCLN(36; 84; 168) = 22. 3 = 12

[SGK 6.1, tr 55]

Ngay sau đó, SGK 6.1 trình bày kỹ thuật dưới dạng bài học: nội dung kỹ

thuật được in đậm và đóng khung:

Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba

bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ

nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

[SGK 6.1, tr 55]



Phần trình bày trên của SGK 6.1 thể hiện rõ: kỹ thuật tìm ƯCLN thông qua

việc phân tích các số ra thừa số nguyên tố được thể chế ưu tiên. Ta có thể nhận thấy

các bước của kỹ thuật này được minh họa một cách rõ ràng qua Ví dụ 2.

Tuy nhiên, cả ví dụ hay phần bài học đều không được SGK 6.1 giải thích vì

sao kỹ thuật này giúp ta tìm được ƯCLN. Ở ví dụ 2, SGK 6.1 cũng không so sánh

ƯCLN vừa tìm được với ƯCLN có được từ cách làm bằng định nghĩa để chỉ ra cho

HS thấy tính đúng đắn của thuật toán.

Thế nhưng, đối với các số nguyên tố cùng nhau thì ở bước hai, HS không thể

nào chọn ra được các thừa số nguyên tố chung. Do đó, kỹ thuật phân tích ra thừa số

nguyên tố không phải là giải pháp cho mọi trường hợp. Mặt khác, nếu trong các số

đã cho để tìm ƯCLN, nếu tồn tại một số là ước của tất cả các số còn lại thì HS cũng

không cần dùng đến kỹ thuật này. Trong hoạt động 2, HS có thể thấy ngay điều này:

Tìm ƯCLN(8, 9); ƯCLN(8; 12; 15); ƯCLN (24; 16; 8)

[SGK 6.1, tr 55]

Đây là dụng ý của SGK 6.1 nhằm dẫn dắt HS đến các trường hợp đặc biệt

được nêu trong Chú ý ngay sau đó:

Chú ý:

Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố nào chung thì ƯCLN

của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên

tố cùng nhau.

Ví dụ: 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau; 8; 12; 15 là ba số

nguyên tố cùng nhau.

Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì

ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Ví dụ: ƯCLN(24; 16; 8) = 8

[SGK 6.1, tr 55]



Đối với chú ý a, SGK 6.1 đã có phần “Chú ý” trước đó để giải thích:

Chú ý:

Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1, ƯCLN(a, b, 1) = 1

Ví dụ: ƯCLN(5, 1) = 1

ƯCLN(12, 30, 1) = 1

[SGK 6.1, tr 55]

Riêng đối với chú ý b, SGK 6.1 không đưa ra phần giải thích. Chú ý này

cũng chỉ có 1 câu bài tập để áp dụng. Đây là một điểm mà chúng tôi sẽ lưu ý trong

phần thực nghiệm.

2.1.1.3.



Kết luận về phần bài học trong SKG 6.1



Phần trình bày của SGK 6.1 giới thiệu 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ

T – Tìm ƯCLN nhưng chỉ tập trung vào kỹ thuật τ 3 - phân tích ra thừa số nguyên

tố. Tuy nhiên, SGK 6.1 không đưa ra chứng minh cũng như giải thích gì cho kỹ

thuật này. Do đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi: trong dạy học toán lớp 6 thì giáo viên có

thể đưa ra giải thích nào cho kỹ thuật τ 3 ?

Mặt khác, kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố cũng được ưu tiên trong

kiểu nhiệm vụ tìm BCNN của hai hay nhiều số trong bài học ở tiết 18 – Bội chung

nhỏ nhất. Kỹ thuật ở bài này chỉ khác một chút ở bước hai và bước ba:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba

bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn

nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

[SGK 6.1, tr 55]

Do cách trình bày như vậy của SGK 6.1, HS dễ nhầm lẫn kỹ thuật khi giải

quyết hai kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN và tìm BCNN, đặc biệt trong việc chọn thừa số

chung hay vừa chung vừa riêng; chọn số mũ nhỏ nhất hay lớn nhất; …



2.1.2. SGK 7, 8

Trong chương trình của hai cấp lớp này, ƯCLN không còn là đối tượng

nghiên cứu nữa mà kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN trở thành công cụ để giải quyết các

kiểu nhiệm vụ khác.

Ở chương trình lớp 7, T – tìm ƯCLN đóng vai trò là công cụ cho kiểu nhiệm

vụ đơn giản phân số. Nó cũng giúp đơn giản các tỉ số với số hạng có giá trị tuyệt đối

lớn thành một tỉ số với số hạng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn. Nhờ vậy, việc tìm các

cặp tỉ số bằng nhau để thành lập tỉ lệ thức sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên, ƯCLN

không hề được đề cập lại trong chương I – “Số hữu tỉ. Số thực” dù các bài tập trong

chương này đều ngầm yêu cầu HS phải rút gọn các phân số đã cho, cũng như đơn

giản kết quả cuối cùng về dạng phân số tối giản.

Ví dụ: Trong §1. Tập hợp Q các số hữu tỉ, ở bài tập 2a trang 7 của SGK 7.1,

HS phải rút gọn các phân số đã cho để tìm được phân số biểu diễn



3

.

−4



2. a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ



3

:

−4



− 12 − 15 24 − 20 − 27

;

;

;

;

15

20 − 32 28

36



[SGK 7.1, tr 7]

Đề bài không trực tiếp yêu cầu phải rút gọn các phân số nhưng HS phải tự

thực hiện bước này mới tìm được những phân số thỏa yêu cầu. Đây gần như luôn là

bước đầu tiên mà HS phải thực hiện trước khi tính toán với phân số trong các bài

học sau. Trong phần bài tập của các tiết 2; 3; 4; 7; 8 cũng có một số câu mà HS phải

rút gọn phân số trước khi thực hiện yêu cầu chính của đề. Điều này sẽ được chúng

tôi phân tích rõ hơn trong phần sau.

Sang đến chương trình lớp 8, ƯCLN xuất hiện trong kiểu nhiệm vụ phân tích

đa thức thành nhân tử, bắt đầu từ §6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương

pháp đặt nhân tử chung:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó

thành một tích của những đa thức.



[SGK 8.1, tr 18]

ƯCLN được sử dụng để đưa tối đa các thừa số và các lũy thừa bằng chữ ra

ngoài làm nhân tử chung. Theo SGK 8.1, ở kiểu nhiệm vụ này, HS chỉ cần biến đổi

đa thức ban đầu thành tích của những đa thức. Thế nhưng, HS luôn được yêu cầu

phải rút nhân tử chung một cách triệt để, như một hợp đồng ngầm ẩn giữa GV và

HS. Tuy nhiên, SGK 8.1 không nêu các bước của kỹ thuật rút nhân tử chung trong

phần bài học mà chỉ trình bày một ví dụ và bài giải mẫu. Thế nhưng, trong SGV

8.1, mục tiêu và kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ này được trình bày như sau:

A. MỤC TIÊU

_ HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.

_ Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung.

B. NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý

Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên:

_ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.

_ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy

thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.

[SGV 8.1, tr 25]

Như vậy, kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử, trong đó hệ số của

các đơn thức trong đa thức là số nguyên đã sử dụng T – tìm ƯCLN như một phần

của kỹ thuật. Mặt khác, bước 2 của kỹ thuật được nhắc đến trong SGV 8.1 tương

đồng với bước 2 trong kỹ thuật tìm ƯCLN: cũng chọn các thừa số chung với số mũ

nhỏ nhất.

Hơn nữa, phân tích đa thức thành nhân tử là một bước trung gian cho kiểu

nhiệm vụ giải phương trình bậc nhất một ẩn và giải phương trình tích mà HS sẽ gặp

ở học kỳ 2. Có thể nói, T – tìm ƯCLN có liên quan mật thiết đến các bài toán quan

trọng ở lớp 7 và lớp 8.



2.1.3. SGK Tin 10

SGK Tin 10 thực chất không trình bày kiến thức về ƯCLN. Bài toán này chỉ

được SGK Tin 10 trình bày trong ví dụ minh hoạ cho phần bài học về thuật toán.

Trong đó, kỹ thuật được dùng để vẽ thành lưu đồ là thuật toán Euclide.

Ý tưởng: Sử dụng những điều đã biết sau:

_ Nếu M = N thì giá trị chung đó là ƯCLN của M và N

_ Nếu M < N thì ƯCLN(M, N) = ƯCLN(M, N – M)

_ Nếu M > N thì ƯCLN(M, N) = ƯCLN(M – N, N)

[SGK Tin 10, tr 48, 49]

Từ ý tưởng ban đầu trên, thuật toán được trình bày thành các bước như sau:

Bước 1: Nhập M, N.

Bước 2: Nếu M = N thì lấy giá trị chung này làm UWCLN rồi chuyển đến

bước 5.

Bước 3: Nếu M > N thì M ← M – N rồi quay lại bước 2.

Bước 4: N ← N – M rồi quay lại bước 2.

Bước 5: Đưa ra kết quả ƯCLN rồi kết thúc.

[SGK Tin 10, tr 48]

Tuy nhiên kiến thức về ƯCLN được dạy trong chương trình toán ở lớp 6

không còn được sử dụng như yếu tố công nghệ giải thích cho thuật toán nữa và

SGK Tin 10 cũng không đưa ra lời giới thiệu hay chứng minh nào cho phần này.

Qua phần trình bày đó cho thấy: thuật toán Euclide không xuất hiện trong dạy học

toán mà lại xuất hiện trong Tin học để dạy về thuật toán.

2.1.4. Kết luận về phần bài học trong SGK 7, 8 và SGK Tin 10

T – tìm ƯCLN đóng vai trò là công cụ để giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên

quan đến tính toán trên tập hợp số hữu tỉ, cũng như giúp cho việc đưa thừa số chung

của các đơn thức trong đa thức ra ngoài một cách triệt để. Do đó, đối tượng ƯCLN



liên quan mật thiết đến các dạng toán quan trọng ở lớp 7 và lớp 8. Tuy nhiên, kỹ

thuật rút thừa số chung không được nêu một cách tường minh trong phần bài học,

cũng không có lưu ý nào trong SGK 8.1 buộc HS phải đưa tất cả các thừa số chung

ra ngoài một cách triệt để. Nếu có, điều này cũng chỉ là hợp đồng ngầm ẩn giữa GV

và HS.

Chương trình Tin 10 chỉ giới thiệu thuật chia Euclide như là một ví dụ của

bài học về thuật toán mà không có giải thích hay chứng minh gì về tính đúng đắn

của nó. Với vai trò minh họa cho thuật toán chứ không phải là một kiến thức trọng

tâm của bài học, HS có thể không thật sự được học về thuật toán này, dẫn đến việc

HS không lựa chọn nó khi giải quyết kiểu nhiệm vụ T – tìm ƯCLN. Chúng tôi sẽ

làm rõ nhận định này trong phần thực nghiệm ở chương IV.

2.2.



Phần bài tập



Về mặt yêu cầu, trong sách Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kỹ năng

môn Toán Trung học cơ sở, trang 17 có nêu rõ:

Ghi chú:

+ Không ra các bài tập phân tích một số ra thừa số nguyên tố, trong đó có

thừa số nguyên tố lớn hơn 100.

+ Các số cho trước để tìm ƯCLN, BCNN không vượt quá 1 000.

+ Chỉ ra các bài tập đơn giản về tìm ƯCLN, BCNN.

Các kiểu nhiệm vụ sau đây liên quan đến việc tìm ƯCLN xuất hiện trong thể

chế đã chọn:

2.2.1.



Kiểu nhiệm vụ chính T - Tìm ƯCLN của hai/ ba số tự nhiên.



Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong 6 câu nhỏ ở các bài 139, 140, 143 trang

56 SGK 6.1; trong đó có 3 câu yêu cầu tìm ƯCLN của 2 số và 3 câu yêu cầu tìm

ƯCLN của 3 số, chưa kể đến việc HS cũng phải tính ƯCLN của các cặp số được

cho trong 2 bài toán đố 147, 148 ở trang 57. Ngoài ra, kiểu nhiệm vụ này còn xuất

hiện trong 4 câu ở bài 176, 178 trang 28 SBT 6.1 với 2 câu cần tìm ƯCLN của 2 số

và 2 câu cần tìm ƯCLN của 3 số.