Về phần bài học

Quá trình phân tích dừng lại vì 2 và 3 là số nguyên tố.

Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của 36 là 2. 2. 3. 3 hay 22. 32.

[PA, tr 160]



Tuy nhiên, không như SGK 6.1, sách PA không đưa ra cách kiểm tra một số

có phải là số nguyên tố hay không.

Ngoài ra, khác với SGK 6.1, sách PA còn hướng dẫn cho HS cách phân tích

một đơn thức ra thành tích của các số nguyên tố và các biến với số mũ lớn hơn 1.

Phân tích các đơn thức



Phân tích một số nghĩa là viết số đó dưới dạng



tích các ước của nó. Một đơn thức cũng có thể được phân tích thành tích

của các số nguyên tố và các biến với số mũ lớn hơn 1. Số âm có thể phân

tích với việc dùng –1 như là một thừa số.

Ví dụ 3: Phân tích đơn thức

Phân tích mỗi đơn thức sau:



“FACTOR MONOMIALS To factor a number means to write it as a

product of its factors. A monomial can also be factored as a product of

prime numbers and variables with no exponent greater than 1. Negative

coefficients can be factored using -1 as a factor.”



[PA, tr 161]

Đây là phần khác biệt rất lớn so với nội dung được trình bày trong SGK 6.1.

HS học theo sách PA được làm quen với các đơn thức và cách phân tích các đơn

thức này ra tích của các số và các biến. Phần bài học này cung cấp kiến thức ban

đầu về việc phân tích một đơn thức, tạo điều kiện thuận lợi cho HS khi gặp các kiểu

nhiệm vụ như: đặt thừa số chung cho hai hay nhiều đơn thức lúc giải phương trình

tích; đơn giản phân thức với tử và mẫu là các đơn thức (hay đa thức); phân tích đa

thức thành nhân tử.

Trong khi đó, nội dung này không được đề cập đến trong SGK 6.1.



2.2.



Về phần bài học ƯCLN



Ngay từ đầu, sách PA đã đề ra mục tiêu như sau:

Tìm được ƯCLN của 2 hay nhiều số hay đơn thức.

Dùng tính chất phân phối để phân tích đa thức thành nhân tử.

(“Find the greatest common factor of 2 or more numbers or monomials.

Use the Distributive Property to factor algebraic expressions.”)

[PA, tr 164]

Mục tiêu này cho thấy: có hai kiểu nhiệm vụ trọng tâm trong bài. Đó là: tìm

ƯCLN của hay hay nhiều số hay đơn thức và phân tích đa thức thành nhân tử.

Khác với cách dẫn dắt ở SGK 6.1 về cách tìm ƯCLN của hai số mà không

phải ước của mỗi số, sách PA đặt ra câu hỏi để tiếp cận bài học như sau: Làm thế

nào mà một sơ đồ có thể dùng để tìm ƯCLN? (“How can a diagram be used to find

the greatest common factor?”). Cả hai sách đều cùng hướng đến kỹ thuật tìm ƯCLN

thông qua việc phân tích các số ra thừa số nguyên tố nhưng sách PA lại giới thiệu

cách làm này thông qua sơ đồ Venn.



Hình 3.1

Từ sơ đồ Venn ở hình 3.1, sách PA đặt ra một số câu hỏi dẫn dắt:

a. Số nào nằm trong cả hai hình tròn?

b. Tìm tích của những số nằm trong cả hai hình tròn.

c. Tích đó có phải là ước của 12 và 20 không?

d. Lập một sơ đồ Venn để biểu diễn các thừa số nguyên tố của 16 và 28.



Sau đó, dùng nó để tìm các ước chung của hai số.

(“a. Which numbers are in both circles?

b. Find the product of the numbers that are in both circles.

c. Is the product also a factor of 12 and 20?

d. Make a Venn diagram showing the prime factors of 16 and 28. Then use

it to find the common factors of the numbers.”)

[PA, tr 164]

Bằng cách trình bày đơn giản và trực quan thông qua sơ đồ Venn, sách PA

cho HS thấy ƯCLN của hai số 12 và 20 là tích của hai thừa số 2. Sau đó, sách PA

mới đưa ra định nghĩa của ƯCLN.

Thông thường, các số có vài ước chung. Số lớn nhất trong các ước

chung của hai hay nhiều số được gọi là ước chung lớn nhất.

(“Often, numbers have some of the same factors. The greatest

number that is a factor of two or more numbers is called the greatest

common factor (GCF).”)

[PA, tr 164]

Định nghĩa này cũng giống với định nghĩa được trình bày trong SGK 6.1.

Bên cạnh đó, sách PA giới thiệu có 2 cách để tìm ƯCLN thông qua ví dụ 1:

Tìm ƯCLN của 12 và 20. (“Find the GCF of 12 and 20”)



Ta có thể nói sách PA trình bày với HS hai cách sau:

Cách 1 Liệt kê các ước

Cách 2 Dùng dạng phân tích ra thừa số nguyên tố

Về cơ bản, sách PA cũng trình bày 2 kỹ thuật để tìm ƯCLN. Tuy nhiên, cách

trình bày kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố của hai sách có khác nhau một

chút: trong sách PA, số 12 thay vì được viết thành 12 = 22. 3 thì nó lại được tách

thành 12 = 2. 2. 3. Tương tự như vậy với số 20. Từ đó, sách PA có thể sắp xếp thừa

số chung của hai số này thẳng hàng với nhau và cách viết này giúp HS dễ dàng thấy

được thừa số chung của 12 và 20.

Một điểm thú vị ở đây là sách PA có một bí quyết nho nhỏ ở bên lề cho HS

khi tìm ƯCLN của hai số bằng kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố:

Hãy cố gắng sắp xếp các ước giống nhau cho thẳng hàng để ta dễ khoanh

tròn chúng.

(“Writing Prime Factors

Try to line up the common prime factors so that it is easier to circle them”)

[PA, tr 165]



Nhận xét này cho chúng ta thấy sách PA rất chú trọng đến cách trình bày sao

cho dễ tìm ra các thừa số nguyên tố chung nhất. Mặt khác, nhận xét này cũng thể

hiện kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố là kỹ thuật được ưu tiên.

Tiếp sau đó, sách PA đưa ra phần kiến thức mới: Phân tích biểu thức đại số

(“Factor algebraic expressions”)

Bạn cũng có thể tìm ƯCLN của hai hay nhiều hơn các đơn thức bằng cách

tìm tích của các thừa số nguyên tố chung của chúng.

Ví dụ 4 Tìm ƯCLN của các đơn thức

Tìm ƯCLN của 16xy2 và 30xy.

Phân tích triệt để các biểu thức



ƯCLN của 16xy2 và 30xy là 2. x. y hay 2xy.

FACTOR ALGEBRAIC EXPRESSIONS You can also find the GCF of

two or more monomials by finding the product of their common prime

factors.

Example 4



Find the GCF of Monomials



Find the GCF of 16xy2 and 30xy.

Completely factor each expression.



The GCF of 16xy2 and 30xy is 2. x. y or 2xy.”

[PA, tr 166]

Cũng bằng cách viết các thừa số nguyên tố thẳng hàng rồi khoanh tròn các

thừa số nguyên tố chung nhưng lần này, các thừa số được khoanh tròn ở trên không

chỉ có các số nguyên mà còn có cả những thừa số bằng chữ.

Thêm vào đó, đây là phần khác biệt rất lớn với SGK 6.1. HS ở Việt Nam, HS

không được biết về khái niệm ƯCLN của hai đơn thức, cũng như không biết cách



tìm nhân tử chung của hai hay nhiều đơn thức. Đến chương trình lớp 8, trong bài số

6 – Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, HS ở

Việt Nam mới làm quen với kiểu nhiệm vụ này.

Tuy nhiên, trong bài học, sách giáo khoa lớp 8 của Việt Nam cũng không

giới thiệu cách làm một cách tường minh mà chỉ đưa ra một số ví dụ.

Ví dụ 1. Hãy viết 2x2 – 4x thành một tích của những đa thức.

Gợi ý. Ta thấy 2x2 = 2x.x

4x = 2x.2

Giải.



2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x(x – 2)



Việc biến đổi 2x2 – 4x thành tích 2x(x – 2) được gọi là phân tích đa thức

2x2 – 4x thành nhân tử.

[Sách giáo khoa Toán 8, tr 18]

Sách giáo khoa toán 8 cũng không trình bày khái niệm ƯCLN của hai đơn

thức, dù nó là nhân tử chung “lớn nhất” của hai đơn thức theo nghĩa: khi ta rút

ƯCLN của hai đơn thức ra ngoài làm thừa số chung thì ta không thể rút thêm được

thừa số chung khác 1 nào nữa.

Hơn nữa, ƯCLN của hai đơn thức còn được ứng dụng ngay ở mục 4-5 của

sách PA trong việc đơn giản phân số và phân thức.

ĐƠN GIẢN PHÂN SỐ



Một phân số ở dạng tối giản khi ƯCLN của tử



số và mẫu số là 1.

ĐƠN GIẢN PHÂN THỨC



Một phân số với các biến ở tử số và ở mẫu



số được gọi là phân thức. Một phân thức cũng có thể được viết ở dạng đơn

giản nhất.

“SIMPLIFY NUMERICAL FRACTIONS A fraction is in simplest form

when the GCF of the numerator and the denominator is 1.

SIMPLIFY ALGEBRAIC FRACTIONS A fraction with variables in the

numerator or denominator is called an algebraic fraction. Algebraic

fractions can also be written in simplest form.”

[PA, tr 169]



Định nghĩa phân số tối giản trong sách PA không khác nhiều so với định

nghĩa được giới thiệu trong SGK 6.1, ngoài việc SGK 6.1 còn nêu thêm –1 cũng là

ước chung của tử và mẫu trong phân số tối giản.

Một điểm rất đặc biệt trong sách PA mà ở SGK 6.1 không có: sách PA có

giới thiệu về thuật toán Euclide (mà trong sách PA gọi là thuật toán Trung Hoa ở

trang 168)

56. Lịch sử



9 chương trong Nghệ thuật toán học là 1 quyển sách toán của



Trung Quốc được viết vào thế kỷ thứ nhất. Nó diễn tả một quy trình để tìm

ƯCLN. Hãy làm theo những bước sau để tìm ƯCLN của 86 và 110.

a. Lấy số lớn hơn, b, trừ số nhỏ hơn, a.

b. Nếu kết quả ở bước a là một ước của cả hai số thì nó là ƯCLN.

Nếu kết quả không là ước của cả hai số thì tìm hiệu của a và (b – a)

sao cho hiệu này là một số dương.

c. Tiếp tục trừ và kiểm tra kết quả cho đến khi nào bạn tìm được một

số là ước của hai số.

“56. HISTORY The Nine Chapters on the Mathematical Art is a Chinese

math book written during the first century. It describes a procedure for

finding the greatest common factors. Follow each step below to find the

GCF of 86 and 110.

a. Subtract the lesser number, a, from the greater number, b.

b. If the result in part a is a factor of both numbers, it is the GCF. If

the result is not a factor of both numbers, subtract the result from a

or subtract a from the result so that the difference is a positive

number.

c. Continue subtracting and checking the results until you find a

number that is a factor of both numbers.

[PA, tr 168]

Phần trình bày về thuật toán Trung Hoa này là một phần mở rộng của sách

PA. Qua tham khảo sách giáo khoa của một số nước khác, chúng tôi nhận thấy:



không phải sách nào dành cho HS ở cấp trung học cơ sở cũng trình bày thuật toán

này. Trong SGK 6.1 của Việt Nam, thuật toán này cũng không được giới thiệu. Tuy

nhiên, sách PA cũng chỉ dừng lại ở mức độ giới thiệu chứ không đưa ra giải thích

hay đào sâu về thuật toán này.

So với SGK 6.1, sách PA không đưa hai điểm kiến thức sau vào bài học:

“nếu a là ước của b thì ƯCLN(a, b) = b” và “nếu ƯCLN(a, b) = 1 thì a và b được

gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.” mà nó đều được sách PA đưa vào phần bài tập,

ở những câu hỏi dành cho HS suy nghĩ và trả lời.

57. ĐÀO SÂU SUY NGHĨ



Có khi nào ƯCLN của một tập hợp số bằng



với một số trong đó không? Cho một ví dụ hoặc một phản ví dụ để minh

họa cho câu trả lời của em.

Mở rộng bài học



Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng chỉ



có ước chung là 1. Xác định xem trong những cặp số dưới đây, cặp nào là

nguyên tố cùng nhau. Viết có hoặc không.

61. 7 và 8



62. 13 và 11



63. 27 và 18



64. 20 và 25



65. 22 và 23



66. 8 và 12



“57. CRITICAL THINKING Can the GCF of a set of numbers be equal to

one

of the numbers? Give an example or a counterexample to support your

answer.

Extending the Lesson

Two numbers are relatively prime if their only common factor is 1.

Determine

whether the numbers in each pair are relatively prime. Write yes or no.

61. 7 and 8



62. 13 and 11



63. 27 and 18



64. 20 and 25



65. 22 and 23



66. 8 and 12”



[PA, tr 168]

Sự tương đồng trong nội dung kiến thức được trình bày trong hai sách cho

thấy hai lưu ý trên là khá quan trọng nên chúng đều được cả hai sách giới thiệu.



Thêm nữa, đây cũng là hai trường hợp đặc biệt khi tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.

Tuy vậy, trong khi SGK 6.1 trình bày kết quả của hai lưu ý này trong phần ghi chú

của bài học thì ở sách PA, chúng lại xuất hiện dưới dạng các câu hỏi ở phần bài tập

mà HS phải tự suy nghĩ và đưa ra nhận xét chứ không cung cấp dưới dạng có sẵn.



3. Về phần bài tập

Sách PA chia các bài tập của mỗi mục kiến thức thành ba phần: Kiểm tra

mức độ hiểu bài (Check for Understanding), Thực hành và Áp dụng (Practice and

Apply) và Ôn lại các kỹ năng (Maintain Your Skills).

Trong phần “Thực hành và áp dụng”, chủ yếu HS sẽ làm các bài tập về tính

toán nhằm giúp HS rèn luyện kỹ năng tìm ƯCLN, điển hình là các câu từ 17 đến 42

đều có chung kiểu nhiệm vụ là tìm ƯCLN. Riêng trong các câu 41, 42 và 43, HS

phải tìm ƯCLN của các đơn thức.

Tìm ƯCLN của mỗi tập hợp số hay đơn thức sau:

(“Find the GCF of each set of numbers or monomials”)

17. 12, 8



18. 3, 9



19. 24, 40



20. 21, 14



21. 20, 30



22. 12, 18



23. 18, 45



24. 22, 21



25. 14, 40



26. 42, 56



27. 30, 35



28. 12, 60



29. 116, 100



30. 135, 315



31. 9, 15, 24



32. 20, 21, 25



33. 20, 28, 36



34. 66, 90, 150



35. 12x, 40x2



36. 18, 45mn



37. 4st, 10s



38. 5ab, 6b2



39. 14b, 56b2



40. 30a3b2, 24a2b



41. ƯCLN của 32mn2, 16n và 12n3 là gì?

42. Tìm ƯCLN của 15v2, 70vw và 36w2.

43. Kể 2 đơn thức có ƯCLN là 2x.

[PA, tr 167]

Các bài từ 17 đến 34 khá bao quát các trường hợp giúp HS thực hành với các

tình huống khác nhau, từ các số nhỏ có 1 hay 2 chữ số đến các số lớn có 3 chữ số



(lớn nhất là 315), trong đó có cả đơn thức với các ước chung khác nhau. Tuy nhiên,

các câu trên đều dừng ở mức độ dáp dụng, không thật sự gây khó khăn cho HS vì

các em dễ dàng nhận thấy ước của từng số hay đơn thức đã cho với thừa số nguyên

tố lớn nhất trong các số trong bài tập trên chỉ dừng ở số 7. Mức độ này cũng khá

tương đồng với các bài tập đầu ở SGK 6.1 của Việt Nam. Riêng dạng bài trong các

câu 41, 42 và 43 là một dạng bài lạ với HS ở nước ta mà qua tìm hiểu của chúng tôi,

HS không bao giờ gặp phải bài toán yêu cầu giải quyết kiểu nhiệm vụ này trong

chương trình phổ thông.

Tương tự như SGK 6.1, sau khi đã rèn luyện kỹ năng tìm ƯCLN, sách PA

cung cấp hai bài toán được mô hình hóa giúp HS ứng dụng nó vào việc giải quyết

các vấn đề thực tế mà kiểu nhiệm vụ chính của bài toán cũng chỉ là tìm ƯCLN.

54. VỀ NGHỀ MỘC Tamika đang giúp ba bạn ấy làm những cái kệ để

đựng dụng cụ thể thao trong nhà để xe. Hỏi có bao nhiêu kệ có kích thước

12 inch-16 inch có thể cắt ra từ miếng gỗ 48 inch - 72 inch mà không làm

dư ra mảnh gỗ nào?

55. THIẾT KẾ Lauren đang bọc lại mặt bàn bằng những viên gạch vuông

nhỏ. Bàn có chiều dài là 30 inch và chiều rộng là 24 inch.

a. Hỏi Lauren có thể dùng nhiều nhất bao nhiêu viên gạch mà không phải

cắt một viên gạch nào?

b. Hỏi Lauren cần bao nhiêu viên gạch?

“54. CARPENTRY Tamika is helping her father make shelves to store her

sports equipment in the garage. How many shelves measuring 12 inches

by 16 inches can be cut from a 48-inch by 72-inch piece of plywood so that

there is no waste?

55. DESIGN Lauren is covering the surface of an end table with equalsized

ceramic tiles. The table is 30 inches long and 24 inches wide.

a. What is the largest square tile that Lauren can use and not have to cut

any tiles?